Theorem lssat 34303

Description: Two subspaces in a proper subset relationship imply the existence of a 1-dim subspace less than or equal to one but not the other. (chpssati 29222 analog.) (Contributed by NM, 9-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssat.s	|- S = ( LSubSp ` W )
lssat.a	|- A = (LSAtoms ` W )

Assertion

Ref	Expression
lssat	|- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ V e. S ) /\ U C. V ) -> E. p e. A ( p C_ V /\ -. p C_ U ) )

Distinct variable groups:   A, p   S, p   U, p   V, p   W, p

Proof of Theorem lssat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfpss3 3693	. . 3 |- ( U C. V <-> ( U C_ V /\ -. V C_ U ) )
2	1	simprbi 480	. 2 |- ( U C. V -> -. V C_ U )
3		ss2rab 3678	. . . . . 6 |- ( { p e. A | p C_ V } C_ { p e. A | p C_ U } <-> A. p e. A ( p C_ V -> p C_ U ) )
4		iman 440	. . . . . . 7 |- ( ( p C_ V -> p C_ U ) <-> -. ( p C_ V /\ -. p C_ U ) )
5	4	ralbii 2980	. . . . . 6 |- ( A. p e. A ( p C_ V -> p C_ U ) <-> A. p e. A -. ( p C_ V /\ -. p C_ U ) )
6	3, 5	bitr2i 265	. . . . 5 |- ( A. p e. A -. ( p C_ V /\ -. p C_ U ) <-> { p e. A | p C_ V } C_ { p e. A | p C_ U } )
7		simpl1 1064	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ V e. S ) /\ { p e. A | p C_ V } C_ { p e. A | p C_ U } ) -> W e. LMod )
8		lssat.s	. . . . . . . . . . 11 |- S = ( LSubSp ` W )
9		lssat.a	. . . . . . . . . . 11 |- A = (LSAtoms ` W )
10	8, 9	lsatlss 34283	. . . . . . . . . 10 |- ( W e. LMod -> A C_ S )
11		rabss2 3685	. . . . . . . . . 10 |- ( A C_ S -> { p e. A | p C_ U } C_ { p e. S | p C_ U } )
12		uniss 4458	. . . . . . . . . 10 |- ( { p e. A | p C_ U } C_ { p e. S | p C_ U } -> U. { p e. A | p C_ U } C_ U. { p e. S | p C_ U } )
13	7, 10, 11, 12	4syl 19	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ V e. S ) /\ { p e. A | p C_ V } C_ { p e. A | p C_ U } ) -> U. { p e. A | p C_ U } C_ U. { p e. S | p C_ U } )
14		simpl2 1065	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ V e. S ) /\ { p e. A | p C_ V } C_ { p e. A | p C_ U } ) -> U e. S )
15		unimax 4473	. . . . . . . . . . 11 |- ( U e. S -> U. { p e. S | p C_ U } = U )
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ V e. S ) /\ { p e. A | p C_ V } C_ { p e. A | p C_ U } ) -> U. { p e. S | p C_ U } = U )
17		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
18	17, 8	lssss 18937	. . . . . . . . . . 11 |- ( U e. S -> U C_ ( Base ` W ) )
19	14, 18	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ V e. S ) /\ { p e. A | p C_ V } C_ { p e. A | p C_ U } ) -> U C_ ( Base ` W ) )
20	16, 19	eqsstrd 3639	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ V e. S ) /\ { p e. A | p C_ V } C_ { p e. A | p C_ U } ) -> U. { p e. S | p C_ U } C_ ( Base ` W ) )
21	13, 20	sstrd 3613	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ V e. S ) /\ { p e. A | p C_ V } C_ { p e. A | p C_ U } ) -> U. { p e. A | p C_ U } C_ ( Base ` W ) )
22		uniss 4458	. . . . . . . . 9 |- ( { p e. A | p C_ V } C_ { p e. A | p C_ U } -> U. { p e. A | p C_ V } C_ U. { p e. A | p C_ U } )
23	22	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ V e. S ) /\ { p e. A | p C_ V } C_ { p e. A | p C_ U } ) -> U. { p e. A | p C_ V } C_ U. { p e. A | p C_ U } )
24		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( LSpan ` W ) = ( LSpan ` W )
25	17, 24	lspss 18984	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ U. { p e. A | p C_ U } C_ ( Base ` W ) /\ U. { p e. A | p C_ V } C_ U. { p e. A | p C_ U } ) -> ( ( LSpan ` W ) ` U. { p e. A | p C_ V } ) C_ ( ( LSpan ` W ) ` U. { p e. A | p C_ U } ) )
26	7, 21, 23, 25	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ V e. S ) /\ { p e. A | p C_ V } C_ { p e. A | p C_ U } ) -> ( ( LSpan ` W ) ` U. { p e. A | p C_ V } ) C_ ( ( LSpan ` W ) ` U. { p e. A | p C_ U } ) )
27		simpl3 1066	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ V e. S ) /\ { p e. A | p C_ V } C_ { p e. A | p C_ U } ) -> V e. S )
28	8, 24, 9	lssats 34299	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ V e. S ) -> V = ( ( LSpan ` W ) ` U. { p e. A | p C_ V } ) )
29	7, 27, 28	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ V e. S ) /\ { p e. A | p C_ V } C_ { p e. A | p C_ U } ) -> V = ( ( LSpan ` W ) ` U. { p e. A | p C_ V } ) )
30	8, 24, 9	lssats 34299	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> U = ( ( LSpan ` W ) ` U. { p e. A | p C_ U } ) )
31	7, 14, 30	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ V e. S ) /\ { p e. A | p C_ V } C_ { p e. A | p C_ U } ) -> U = ( ( LSpan ` W ) ` U. { p e. A | p C_ U } ) )
32	26, 29, 31	3sstr4d 3648	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ V e. S ) /\ { p e. A | p C_ V } C_ { p e. A | p C_ U } ) -> V C_ U )
33	32	ex 450	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ V e. S ) -> ( { p e. A | p C_ V } C_ { p e. A | p C_ U } -> V C_ U ) )
34	6, 33	syl5bi 232	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ V e. S ) -> ( A. p e. A -. ( p C_ V /\ -. p C_ U ) -> V C_ U ) )
35	34	con3dimp 457	. . 3 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ V e. S ) /\ -. V C_ U ) -> -. A. p e. A -. ( p C_ V /\ -. p C_ U ) )
36		dfrex2 2996	. . 3 |- ( E. p e. A ( p C_ V /\ -. p C_ U ) <-> -. A. p e. A -. ( p C_ V /\ -. p C_ U ) )
37	35, 36	sylibr 224	. 2 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ V e. S ) /\ -. V C_ U ) -> E. p e. A ( p C_ V /\ -. p C_ U ) )
38	2, 37	sylan2 491	1 |- ( ( ( W e. LMod /\ U e. S /\ V e. S ) /\ U C. V ) -> E. p e. A ( p C_ V /\ -. p C_ U ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   C_ wss 3574   C. wpss 3575   U.cuni 4436   ` cfv 5888   Basecbs 15857   LModclmod 18863   LSubSpclss 18932   LSpanclspn 18971  LSAtomsclsa 34261

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-lsatoms 34263

This theorem is referenced by: (None)