Theorem lss1d 18963

Description: One-dimensional subspace (or zero-dimensional if X is the zero vector). (Contributed by NM, 14-Jan-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lss1d.v	|- V = ( Base ` W )
lss1d.f	|- F = (Scalar ` W )
lss1d.t	|- .x. = ( .s ` W )
lss1d.k	|- K = ( Base ` F )
lss1d.s	|- S = ( LSubSp ` W )

Assertion

Ref	Expression
lss1d	|- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } e. S )

Distinct variable groups:   v, k, K   .x. , k, v   k, V, v   k, F   k, W, v   k, X, v

Allowed substitution hints:   S( v, k)   F( v)

Proof of Theorem lss1d

Dummy variables a b x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lss1d.f	. . 3 |- F = (Scalar ` W )
2	1	a1i 11	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> F = (Scalar ` W ) )
3		lss1d.k	. . 3 |- K = ( Base ` F )
4	3	a1i 11	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> K = ( Base ` F ) )
5		lss1d.v	. . 3 |- V = ( Base ` W )
6	5	a1i 11	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> V = ( Base ` W ) )
7		eqidd 2623	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( +g ` W ) = ( +g ` W ) )
8		lss1d.t	. . 3 |- .x. = ( .s ` W )
9	8	a1i 11	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> .x. = ( .s ` W ) )
10		lss1d.s	. . 3 |- S = ( LSubSp ` W )
11	10	a1i 11	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> S = ( LSubSp ` W ) )
12	5, 1, 8, 3	lmodvscl 18880	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ k e. K /\ X e. V ) -> ( k .x. X ) e. V )
13	12	3expa 1265	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LMod /\ k e. K ) /\ X e. V ) -> ( k .x. X ) e. V )
14	13	an32s 846	. . . . 5 |- ( ( ( W e. LMod /\ X e. V ) /\ k e. K ) -> ( k .x. X ) e. V )
15		eleq1a 2696	. . . . 5 |- ( ( k .x. X ) e. V -> ( v = ( k .x. X ) -> v e. V ) )
16	14, 15	syl 17	. . . 4 |- ( ( ( W e. LMod /\ X e. V ) /\ k e. K ) -> ( v = ( k .x. X ) -> v e. V ) )
17	16	rexlimdva 3031	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( E. k e. K v = ( k .x. X ) -> v e. V ) )
18	17	abssdv 3676	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } C_ V )
19		eqid 2622	. . . . 5 |- ( 0g ` F ) = ( 0g ` F )
20	1, 3, 19	lmod0cl 18889	. . . 4 |- ( W e. LMod -> ( 0g ` F ) e. K )
21	20	adantr 481	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( 0g ` F ) e. K )
22		nfcv 2764	. . . 4 |- F/_ k ( 0g ` F )
23		nfre1 3005	. . . . . 6 |- F/ k E. k e. K v = ( k .x. X )
24	23	nfab 2769	. . . . 5 |- F/_ k { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) }
25		nfcv 2764	. . . . 5 |- F/_ k (/)
26	24, 25	nfne 2894	. . . 4 |- F/ k { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } =/= (/)
27		biidd 252	. . . 4 |- ( k = ( 0g ` F ) -> ( { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } =/= (/) <-> { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } =/= (/) ) )
28		ovex 6678	. . . . . 6 |- ( k .x. X ) e. _V
29	28	elabrex 6501	. . . . 5 |- ( k e. K -> ( k .x. X ) e. { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } )
30		ne0i 3921	. . . . 5 |- ( ( k .x. X ) e. { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } -> { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } =/= (/) )
31	29, 30	syl 17	. . . 4 |- ( k e. K -> { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } =/= (/) )
32	22, 26, 27, 31	vtoclgaf 3271	. . 3 |- ( ( 0g ` F ) e. K -> { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } =/= (/) )
33	21, 32	syl 17	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } =/= (/) )
34		vex 3203	. . . . . . . . . . 11 |- a e. _V
35		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v = a -> ( v = ( k .x. X ) <-> a = ( k .x. X ) ) )
36	35	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . 11 |- ( v = a -> ( E. k e. K v = ( k .x. X ) <-> E. k e. K a = ( k .x. X ) ) )
37	34, 36	elab 3350	. . . . . . . . . 10 |- ( a e. { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } <-> E. k e. K a = ( k .x. X ) )
38		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = y -> ( k .x. X ) = ( y .x. X ) )
39	38	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = y -> ( a = ( k .x. X ) <-> a = ( y .x. X ) ) )
40	39	cbvrexv 3172	. . . . . . . . . 10 |- ( E. k e. K a = ( k .x. X ) <-> E. y e. K a = ( y .x. X ) )
41	37, 40	bitri 264	. . . . . . . . 9 |- ( a e. { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } <-> E. y e. K a = ( y .x. X ) )
42		vex 3203	. . . . . . . . . . 11 |- b e. _V
43		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v = b -> ( v = ( k .x. X ) <-> b = ( k .x. X ) ) )
44	43	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . 11 |- ( v = b -> ( E. k e. K v = ( k .x. X ) <-> E. k e. K b = ( k .x. X ) ) )
45	42, 44	elab 3350	. . . . . . . . . 10 |- ( b e. { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } <-> E. k e. K b = ( k .x. X ) )
46		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = z -> ( k .x. X ) = ( z .x. X ) )
47	46	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = z -> ( b = ( k .x. X ) <-> b = ( z .x. X ) ) )
48	47	cbvrexv 3172	. . . . . . . . . 10 |- ( E. k e. K b = ( k .x. X ) <-> E. z e. K b = ( z .x. X ) )
49	45, 48	bitri 264	. . . . . . . . 9 |- ( b e. { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } <-> E. z e. K b = ( z .x. X ) )
50	41, 49	anbi12i 733	. . . . . . . 8 |- ( ( a e. { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } /\ b e. { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } ) <-> ( E. y e. K a = ( y .x. X ) /\ E. z e. K b = ( z .x. X ) ) )
51		reeanv 3107	. . . . . . . 8 |- ( E. y e. K E. z e. K ( a = ( y .x. X ) /\ b = ( z .x. X ) ) <-> ( E. y e. K a = ( y .x. X ) /\ E. z e. K b = ( z .x. X ) ) )
52	50, 51	bitr4i 267	. . . . . . 7 |- ( ( a e. { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } /\ b e. { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } ) <-> E. y e. K E. z e. K ( a = ( y .x. X ) /\ b = ( z .x. X ) ) )
53		simpll 790	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( W e. LMod /\ X e. V ) /\ ( ( y e. K /\ z e. K ) /\ x e. K ) ) -> W e. LMod )
54		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( W e. LMod /\ X e. V ) /\ ( ( y e. K /\ z e. K ) /\ x e. K ) ) -> x e. K )
55		simprll 802	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( W e. LMod /\ X e. V ) /\ ( ( y e. K /\ z e. K ) /\ x e. K ) ) -> y e. K )
56		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( .r ` F ) = ( .r ` F )
57	1, 3, 56	lmodmcl 18875	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( W e. LMod /\ x e. K /\ y e. K ) -> ( x ( .r ` F ) y ) e. K )
58	53, 54, 55, 57	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( W e. LMod /\ X e. V ) /\ ( ( y e. K /\ z e. K ) /\ x e. K ) ) -> ( x ( .r ` F ) y ) e. K )
59		simprlr 803	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( W e. LMod /\ X e. V ) /\ ( ( y e. K /\ z e. K ) /\ x e. K ) ) -> z e. K )
60		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( +g ` F ) = ( +g ` F )
61	1, 3, 60	lmodacl 18874	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( W e. LMod /\ ( x ( .r ` F ) y ) e. K /\ z e. K ) -> ( ( x ( .r ` F ) y ) ( +g ` F ) z ) e. K )
62	53, 58, 59, 61	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( W e. LMod /\ X e. V ) /\ ( ( y e. K /\ z e. K ) /\ x e. K ) ) -> ( ( x ( .r ` F ) y ) ( +g ` F ) z ) e. K )
63		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( W e. LMod /\ X e. V ) /\ ( ( y e. K /\ z e. K ) /\ x e. K ) ) -> X e. V )
64		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( +g ` W ) = ( +g ` W )
65	5, 64, 1, 8, 3, 60	lmodvsdir 18887	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( x ( .r ` F ) y ) e. K /\ z e. K /\ X e. V ) ) -> ( ( ( x ( .r ` F ) y ) ( +g ` F ) z ) .x. X ) = ( ( ( x ( .r ` F ) y ) .x. X ) ( +g ` W ) ( z .x. X ) ) )
66	53, 58, 59, 63, 65	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( W e. LMod /\ X e. V ) /\ ( ( y e. K /\ z e. K ) /\ x e. K ) ) -> ( ( ( x ( .r ` F ) y ) ( +g ` F ) z ) .x. X ) = ( ( ( x ( .r ` F ) y ) .x. X ) ( +g ` W ) ( z .x. X ) ) )
67	5, 1, 8, 3, 56	lmodvsass 18888	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( W e. LMod /\ ( x e. K /\ y e. K /\ X e. V ) ) -> ( ( x ( .r ` F ) y ) .x. X ) = ( x .x. ( y .x. X ) ) )
68	53, 54, 55, 63, 67	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( W e. LMod /\ X e. V ) /\ ( ( y e. K /\ z e. K ) /\ x e. K ) ) -> ( ( x ( .r ` F ) y ) .x. X ) = ( x .x. ( y .x. X ) ) )
69	68	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( W e. LMod /\ X e. V ) /\ ( ( y e. K /\ z e. K ) /\ x e. K ) ) -> ( ( ( x ( .r ` F ) y ) .x. X ) ( +g ` W ) ( z .x. X ) ) = ( ( x .x. ( y .x. X ) ) ( +g ` W ) ( z .x. X ) ) )
70	66, 69	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( W e. LMod /\ X e. V ) /\ ( ( y e. K /\ z e. K ) /\ x e. K ) ) -> ( ( x .x. ( y .x. X ) ) ( +g ` W ) ( z .x. X ) ) = ( ( ( x ( .r ` F ) y ) ( +g ` F ) z ) .x. X ) )
71		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = ( ( x ( .r ` F ) y ) ( +g ` F ) z ) -> ( k .x. X ) = ( ( ( x ( .r ` F ) y ) ( +g ` F ) z ) .x. X ) )
72	71	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = ( ( x ( .r ` F ) y ) ( +g ` F ) z ) -> ( ( ( x .x. ( y .x. X ) ) ( +g ` W ) ( z .x. X ) ) = ( k .x. X ) <-> ( ( x .x. ( y .x. X ) ) ( +g ` W ) ( z .x. X ) ) = ( ( ( x ( .r ` F ) y ) ( +g ` F ) z ) .x. X ) ) )
73	72	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x ( .r ` F ) y ) ( +g ` F ) z ) e. K /\ ( ( x .x. ( y .x. X ) ) ( +g ` W ) ( z .x. X ) ) = ( ( ( x ( .r ` F ) y ) ( +g ` F ) z ) .x. X ) ) -> E. k e. K ( ( x .x. ( y .x. X ) ) ( +g ` W ) ( z .x. X ) ) = ( k .x. X ) )
74	62, 70, 73	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( W e. LMod /\ X e. V ) /\ ( ( y e. K /\ z e. K ) /\ x e. K ) ) -> E. k e. K ( ( x .x. ( y .x. X ) ) ( +g ` W ) ( z .x. X ) ) = ( k .x. X ) )
75		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = ( y .x. X ) -> ( x .x. a ) = ( x .x. ( y .x. X ) ) )
76		oveq12 6659	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x .x. a ) = ( x .x. ( y .x. X ) ) /\ b = ( z .x. X ) ) -> ( ( x .x. a ) ( +g ` W ) b ) = ( ( x .x. ( y .x. X ) ) ( +g ` W ) ( z .x. X ) ) )
77	75, 76	sylan 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( a = ( y .x. X ) /\ b = ( z .x. X ) ) -> ( ( x .x. a ) ( +g ` W ) b ) = ( ( x .x. ( y .x. X ) ) ( +g ` W ) ( z .x. X ) ) )
78	77	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( a = ( y .x. X ) /\ b = ( z .x. X ) ) -> ( ( ( x .x. a ) ( +g ` W ) b ) = ( k .x. X ) <-> ( ( x .x. ( y .x. X ) ) ( +g ` W ) ( z .x. X ) ) = ( k .x. X ) ) )
79	78	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( a = ( y .x. X ) /\ b = ( z .x. X ) ) -> ( E. k e. K ( ( x .x. a ) ( +g ` W ) b ) = ( k .x. X ) <-> E. k e. K ( ( x .x. ( y .x. X ) ) ( +g ` W ) ( z .x. X ) ) = ( k .x. X ) ) )
80	74, 79	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( W e. LMod /\ X e. V ) /\ ( ( y e. K /\ z e. K ) /\ x e. K ) ) -> ( ( a = ( y .x. X ) /\ b = ( z .x. X ) ) -> E. k e. K ( ( x .x. a ) ( +g ` W ) b ) = ( k .x. X ) ) )
81	80	expr 643	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( W e. LMod /\ X e. V ) /\ ( y e. K /\ z e. K ) ) -> ( x e. K -> ( ( a = ( y .x. X ) /\ b = ( z .x. X ) ) -> E. k e. K ( ( x .x. a ) ( +g ` W ) b ) = ( k .x. X ) ) ) )
82	81	com23 86	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. LMod /\ X e. V ) /\ ( y e. K /\ z e. K ) ) -> ( ( a = ( y .x. X ) /\ b = ( z .x. X ) ) -> ( x e. K -> E. k e. K ( ( x .x. a ) ( +g ` W ) b ) = ( k .x. X ) ) ) )
83	82	rexlimdvva 3038	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( E. y e. K E. z e. K ( a = ( y .x. X ) /\ b = ( z .x. X ) ) -> ( x e. K -> E. k e. K ( ( x .x. a ) ( +g ` W ) b ) = ( k .x. X ) ) ) )
84	52, 83	syl5bi 232	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( ( a e. { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } /\ b e. { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } ) -> ( x e. K -> E. k e. K ( ( x .x. a ) ( +g ` W ) b ) = ( k .x. X ) ) ) )
85	84	expcomd 454	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( b e. { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } -> ( a e. { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } -> ( x e. K -> E. k e. K ( ( x .x. a ) ( +g ` W ) b ) = ( k .x. X ) ) ) ) )
86	85	com24 95	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( x e. K -> ( a e. { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } -> ( b e. { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } -> E. k e. K ( ( x .x. a ) ( +g ` W ) b ) = ( k .x. X ) ) ) ) )
87	86	3imp2 1282	. . 3 |- ( ( ( W e. LMod /\ X e. V ) /\ ( x e. K /\ a e. { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } /\ b e. { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } ) ) -> E. k e. K ( ( x .x. a ) ( +g ` W ) b ) = ( k .x. X ) )
88		ovex 6678	. . . 4 |- ( ( x .x. a ) ( +g ` W ) b ) e. _V
89		eqeq1 2626	. . . . 5 |- ( v = ( ( x .x. a ) ( +g ` W ) b ) -> ( v = ( k .x. X ) <-> ( ( x .x. a ) ( +g ` W ) b ) = ( k .x. X ) ) )
90	89	rexbidv 3052	. . . 4 |- ( v = ( ( x .x. a ) ( +g ` W ) b ) -> ( E. k e. K v = ( k .x. X ) <-> E. k e. K ( ( x .x. a ) ( +g ` W ) b ) = ( k .x. X ) ) )
91	88, 90	elab 3350	. . 3 |- ( ( ( x .x. a ) ( +g ` W ) b ) e. { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } <-> E. k e. K ( ( x .x. a ) ( +g ` W ) b ) = ( k .x. X ) )
92	87, 91	sylibr 224	. 2 |- ( ( ( W e. LMod /\ X e. V ) /\ ( x e. K /\ a e. { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } /\ b e. { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } ) ) -> ( ( x .x. a ) ( +g ` W ) b ) e. { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } )
93	2, 4, 6, 7, 9, 11, 18, 33, 92	islssd 18936	1 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> { v | E. k e. K v = ( k .x. X ) } e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   =/= wne 2794   E.wrex 2913   (/)c0 3915   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   .rcmulr 15942  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   0gc0g 16100   LModclmod 18863   LSubSpclss 18932

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-mgp 18490  df-ring 18549  df-lmod 18865  df-lss 18933

This theorem is referenced by:  lspsn  19002