Theorem ltexprlem6 9863

Description: Lemma for Proposition 9-3.5(iv) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 8-Apr-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltexprlem.1	|- C = { x | E. y ( -. y e. A /\ ( y +Q x ) e. B ) }

Assertion

Ref	Expression
ltexprlem6	|- ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ A C. B ) -> ( A +P. C ) C_ B )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, C

Allowed substitution hint:   C( y)

Proof of Theorem ltexprlem6

Dummy variables z w v f g h u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltexprlem.1	. . . . . 6 |- C = { x | E. y ( -. y e. A /\ ( y +Q x ) e. B ) }
2	1	ltexprlem5 9862	. . . . 5 |- ( ( B e. P. /\ A C. B ) -> C e. P. )
3		df-plp 9805	. . . . . 6 |- +P. = ( z e. P. , y e. P. |-> { f | E. g e. z E. h e. y f = ( g +Q h ) } )
4		addclnq 9767	. . . . . 6 |- ( ( g e. Q. /\ h e. Q. ) -> ( g +Q h ) e. Q. )
5	3, 4	genpelv 9822	. . . . 5 |- ( ( A e. P. /\ C e. P. ) -> ( z e. ( A +P. C ) <-> E. w e. A E. x e. C z = ( w +Q x ) ) )
6	2, 5	sylan2 491	. . . 4 |- ( ( A e. P. /\ ( B e. P. /\ A C. B ) ) -> ( z e. ( A +P. C ) <-> E. w e. A E. x e. C z = ( w +Q x ) ) )
7	1	abeq2i 2735	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. C <-> E. y ( -. y e. A /\ ( y +Q x ) e. B ) )
8		elprnq 9813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( B e. P. /\ ( y +Q x ) e. B ) -> ( y +Q x ) e. Q. )
9		addnqf 9770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- +Q : ( Q. X. Q. ) --> Q.
10	9	fdmi 6052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- dom +Q = ( Q. X. Q. )
11		0nnq 9746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- -. (/) e. Q.
12	10, 11	ndmovrcl 6820	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y +Q x ) e. Q. -> ( y e. Q. /\ x e. Q. ) )
13	12	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y +Q x ) e. Q. -> y e. Q. )
14	8, 13	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( B e. P. /\ ( y +Q x ) e. B ) -> y e. Q. )
15		prub 9816	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. P. /\ w e. A ) /\ y e. Q. ) -> ( -. y e. A -> w <Q y ) )
16	14, 15	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. P. /\ w e. A ) /\ ( B e. P. /\ ( y +Q x ) e. B ) ) -> ( -. y e. A -> w <Q y ) )
17	12	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( y +Q x ) e. Q. -> x e. Q. )
18		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- w e. _V
19		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- y e. _V
20		ltanq 9793	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( u e. Q. -> ( z <Q v <-> ( u +Q z ) <Q ( u +Q v ) ) )
21		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- x e. _V
22		addcomnq 9773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( z +Q v ) = ( v +Q z )
23	18, 19, 20, 21, 22	caovord2 6846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. Q. -> ( w <Q y <-> ( w +Q x ) <Q ( y +Q x ) ) )
24	8, 17, 23	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( B e. P. /\ ( y +Q x ) e. B ) -> ( w <Q y <-> ( w +Q x ) <Q ( y +Q x ) ) )
25		prcdnq 9815	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( B e. P. /\ ( y +Q x ) e. B ) -> ( ( w +Q x ) <Q ( y +Q x ) -> ( w +Q x ) e. B ) )
26	24, 25	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( B e. P. /\ ( y +Q x ) e. B ) -> ( w <Q y -> ( w +Q x ) e. B ) )
27	26	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. P. /\ w e. A ) /\ ( B e. P. /\ ( y +Q x ) e. B ) ) -> ( w <Q y -> ( w +Q x ) e. B ) )
28	16, 27	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. P. /\ w e. A ) /\ ( B e. P. /\ ( y +Q x ) e. B ) ) -> ( -. y e. A -> ( w +Q x ) e. B ) )
29	28	exp32 631	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. P. /\ w e. A ) -> ( B e. P. -> ( ( y +Q x ) e. B -> ( -. y e. A -> ( w +Q x ) e. B ) ) ) )
30	29	com34 91	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. P. /\ w e. A ) -> ( B e. P. -> ( -. y e. A -> ( ( y +Q x ) e. B -> ( w +Q x ) e. B ) ) ) )
31	30	imp4b 613	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. P. /\ w e. A ) /\ B e. P. ) -> ( ( -. y e. A /\ ( y +Q x ) e. B ) -> ( w +Q x ) e. B ) )
32	31	exlimdv 1861	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. P. /\ w e. A ) /\ B e. P. ) -> ( E. y ( -. y e. A /\ ( y +Q x ) e. B ) -> ( w +Q x ) e. B ) )
33	7, 32	syl5bi 232	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. P. /\ w e. A ) /\ B e. P. ) -> ( x e. C -> ( w +Q x ) e. B ) )
34	33	exp31 630	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. P. -> ( w e. A -> ( B e. P. -> ( x e. C -> ( w +Q x ) e. B ) ) ) )
35	34	com23 86	. . . . . . . . 9 |- ( A e. P. -> ( B e. P. -> ( w e. A -> ( x e. C -> ( w +Q x ) e. B ) ) ) )
36	35	imp43 621	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( w e. A /\ x e. C ) ) -> ( w +Q x ) e. B )
37		eleq1 2689	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( w +Q x ) -> ( z e. B <-> ( w +Q x ) e. B ) )
38	37	biimparc 504	. . . . . . . 8 |- ( ( ( w +Q x ) e. B /\ z = ( w +Q x ) ) -> z e. B )
39	36, 38	sylan 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( w e. A /\ x e. C ) ) /\ z = ( w +Q x ) ) -> z e. B )
40	39	exp31 630	. . . . . 6 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. ) -> ( ( w e. A /\ x e. C ) -> ( z = ( w +Q x ) -> z e. B ) ) )
41	40	rexlimdvv 3037	. . . . 5 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. ) -> ( E. w e. A E. x e. C z = ( w +Q x ) -> z e. B ) )
42	41	adantrr 753	. . . 4 |- ( ( A e. P. /\ ( B e. P. /\ A C. B ) ) -> ( E. w e. A E. x e. C z = ( w +Q x ) -> z e. B ) )
43	6, 42	sylbid 230	. . 3 |- ( ( A e. P. /\ ( B e. P. /\ A C. B ) ) -> ( z e. ( A +P. C ) -> z e. B ) )
44	43	ssrdv 3609	. 2 |- ( ( A e. P. /\ ( B e. P. /\ A C. B ) ) -> ( A +P. C ) C_ B )
45	44	anassrs 680	1 |- ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ A C. B ) -> ( A +P. C ) C_ B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   E.wrex 2913   C_ wss 3574   C. wpss 3575   class class class wbr 4653   X. cxp 5112  (class class class)co 6650   Q.cnq 9674   +Q cplq 9677   <Q cltq 9680   P.cnp 9681   +P. cpp 9683

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-ni 9694  df-pli 9695  df-mi 9696  df-lti 9697  df-plpq 9730  df-mpq 9731  df-ltpq 9732  df-enq 9733  df-nq 9734  df-erq 9735  df-plq 9736  df-mq 9737  df-1nq 9738  df-ltnq 9740  df-np 9803  df-plp 9805

This theorem is referenced by:  ltexpri  9865