Theorem ltexprlem7 9864

Description: Lemma for Proposition 9-3.5(iv) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 8-Apr-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltexprlem.1	|- C = { x | E. y ( -. y e. A /\ ( y +Q x ) e. B ) }

Assertion

Ref	Expression
ltexprlem7	|- ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ A C. B ) -> B C_ ( A +P. C ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, C

Allowed substitution hint:   C( y)

Proof of Theorem ltexprlem7

Dummy variables z w v f g h are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltexprlem.1	. . . . . . . 8 |- C = { x | E. y ( -. y e. A /\ ( y +Q x ) e. B ) }
2	1	ltexprlem5 9862	. . . . . . 7 |- ( ( B e. P. /\ A C. B ) -> C e. P. )
3		ltaddpr 9856	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. P. /\ C e. P. ) -> A <P ( A +P. C ) )
4		addclpr 9840	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. P. /\ C e. P. ) -> ( A +P. C ) e. P. )
5		ltprord 9852	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. P. /\ ( A +P. C ) e. P. ) -> ( A <P ( A +P. C ) <-> A C. ( A +P. C ) ) )
6	4, 5	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. P. /\ C e. P. ) -> ( A <P ( A +P. C ) <-> A C. ( A +P. C ) ) )
7	3, 6	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. P. /\ C e. P. ) -> A C. ( A +P. C ) )
8	7	pssssd 3704	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. P. /\ C e. P. ) -> A C_ ( A +P. C ) )
9	8	sseld 3602	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. P. /\ C e. P. ) -> ( w e. A -> w e. ( A +P. C ) ) )
10	9	2a1d 26	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. P. /\ C e. P. ) -> ( B e. P. -> ( w e. B -> ( w e. A -> w e. ( A +P. C ) ) ) ) )
11	10	com4r 94	. . . . . . . . 9 |- ( w e. A -> ( ( A e. P. /\ C e. P. ) -> ( B e. P. -> ( w e. B -> w e. ( A +P. C ) ) ) ) )
12	11	expd 452	. . . . . . . 8 |- ( w e. A -> ( A e. P. -> ( C e. P. -> ( B e. P. -> ( w e. B -> w e. ( A +P. C ) ) ) ) ) )
13		prnmadd 9819	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. P. /\ w e. B ) -> E. v ( w +Q v ) e. B )
14	13	ex 450	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. P. -> ( w e. B -> E. v ( w +Q v ) e. B ) )
15		elprnq 9813	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( B e. P. /\ ( w +Q v ) e. B ) -> ( w +Q v ) e. Q. )
16		addnqf 9770	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- +Q : ( Q. X. Q. ) --> Q.
17	16	fdmi 6052	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- dom +Q = ( Q. X. Q. )
18		0nnq 9746	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- -. (/) e. Q.
19	17, 18	ndmovrcl 6820	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( w +Q v ) e. Q. -> ( w e. Q. /\ v e. Q. ) )
20	15, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( B e. P. /\ ( w +Q v ) e. B ) -> ( w e. Q. /\ v e. Q. ) )
21	20	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. P. /\ ( w +Q v ) e. B ) -> w e. Q. )
22		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- v e. _V
23	22	prlem934 9855	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A e. P. -> E. z e. A -. ( z +Q v ) e. A )
24	23	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. P. /\ C e. P. ) -> E. z e. A -. ( z +Q v ) e. A )
25		prub 9816	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( A e. P. /\ z e. A ) /\ w e. Q. ) -> ( -. w e. A -> z <Q w ) )
26		ltexnq 9797	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( w e. Q. -> ( z <Q w <-> E. x ( z +Q x ) = w ) )
27	26	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( A e. P. /\ z e. A ) /\ w e. Q. ) -> ( z <Q w <-> E. x ( z +Q x ) = w ) )
28	25, 27	sylibd 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( A e. P. /\ z e. A ) /\ w e. Q. ) -> ( -. w e. A -> E. x ( z +Q x ) = w ) )
29	28	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A e. P. /\ z e. A ) -> ( w e. Q. -> ( -. w e. A -> E. x ( z +Q x ) = w ) ) )
30	29	ad2ant2r 783	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. P. /\ C e. P. ) /\ ( z e. A /\ -. ( z +Q v ) e. A ) ) -> ( w e. Q. -> ( -. w e. A -> E. x ( z +Q x ) = w ) ) )
31		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- z e. _V
32		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- x e. _V
33		addcomnq 9773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( f +Q g ) = ( g +Q f )
34		addassnq 9780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( f +Q g ) +Q h ) = ( f +Q ( g +Q h ) )
35	31, 22, 32, 33, 34	caov32 6861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( z +Q v ) +Q x ) = ( ( z +Q x ) +Q v )
36		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( z +Q x ) = w -> ( ( z +Q x ) +Q v ) = ( w +Q v ) )
37	35, 36	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( z +Q x ) = w -> ( ( z +Q v ) +Q x ) = ( w +Q v ) )
38	37	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( z +Q x ) = w -> ( ( ( z +Q v ) +Q x ) e. B <-> ( w +Q v ) e. B ) )
39	38	biimpar 502	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( z +Q x ) = w /\ ( w +Q v ) e. B ) -> ( ( z +Q v ) +Q x ) e. B )
40		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( z +Q v ) e. _V
41		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( y = ( z +Q v ) -> ( y e. A <-> ( z +Q v ) e. A ) )
42	41	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( y = ( z +Q v ) -> ( -. y e. A <-> -. ( z +Q v ) e. A ) )
43		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( y = ( z +Q v ) -> ( y +Q x ) = ( ( z +Q v ) +Q x ) )
44	43	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( y = ( z +Q v ) -> ( ( y +Q x ) e. B <-> ( ( z +Q v ) +Q x ) e. B ) )
45	42, 44	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( y = ( z +Q v ) -> ( ( -. y e. A /\ ( y +Q x ) e. B ) <-> ( -. ( z +Q v ) e. A /\ ( ( z +Q v ) +Q x ) e. B ) ) )
46	40, 45	spcev 3300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( -. ( z +Q v ) e. A /\ ( ( z +Q v ) +Q x ) e. B ) -> E. y ( -. y e. A /\ ( y +Q x ) e. B ) )
47	1	abeq2i 2735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( x e. C <-> E. y ( -. y e. A /\ ( y +Q x ) e. B ) )
48	46, 47	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( -. ( z +Q v ) e. A /\ ( ( z +Q v ) +Q x ) e. B ) -> x e. C )
49	39, 48	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( -. ( z +Q v ) e. A /\ ( ( z +Q x ) = w /\ ( w +Q v ) e. B ) ) -> x e. C )
50		df-plp 9805	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- +P. = ( x e. P. , w e. P. |-> { z | E. f e. x E. v e. w z = ( f +Q v ) } )
51		addclnq 9767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( f e. Q. /\ v e. Q. ) -> ( f +Q v ) e. Q. )
52	50, 51	genpprecl 9823	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( A e. P. /\ C e. P. ) -> ( ( z e. A /\ x e. C ) -> ( z +Q x ) e. ( A +P. C ) ) )
53	49, 52	sylan2i 687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( A e. P. /\ C e. P. ) -> ( ( z e. A /\ ( -. ( z +Q v ) e. A /\ ( ( z +Q x ) = w /\ ( w +Q v ) e. B ) ) ) -> ( z +Q x ) e. ( A +P. C ) ) )
54	53	exp4d 637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( A e. P. /\ C e. P. ) -> ( z e. A -> ( -. ( z +Q v ) e. A -> ( ( ( z +Q x ) = w /\ ( w +Q v ) e. B ) -> ( z +Q x ) e. ( A +P. C ) ) ) ) )
55	54	imp42 620	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( A e. P. /\ C e. P. ) /\ ( z e. A /\ -. ( z +Q v ) e. A ) ) /\ ( ( z +Q x ) = w /\ ( w +Q v ) e. B ) ) -> ( z +Q x ) e. ( A +P. C ) )
56		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( z +Q x ) = w -> ( ( z +Q x ) e. ( A +P. C ) <-> w e. ( A +P. C ) ) )
57	56	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( A e. P. /\ C e. P. ) /\ ( z e. A /\ -. ( z +Q v ) e. A ) ) /\ ( ( z +Q x ) = w /\ ( w +Q v ) e. B ) ) -> ( ( z +Q x ) e. ( A +P. C ) <-> w e. ( A +P. C ) ) )
58	55, 57	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( A e. P. /\ C e. P. ) /\ ( z e. A /\ -. ( z +Q v ) e. A ) ) /\ ( ( z +Q x ) = w /\ ( w +Q v ) e. B ) ) -> w e. ( A +P. C ) )
59	58	exp32 631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A e. P. /\ C e. P. ) /\ ( z e. A /\ -. ( z +Q v ) e. A ) ) -> ( ( z +Q x ) = w -> ( ( w +Q v ) e. B -> w e. ( A +P. C ) ) ) )
60	59	exlimdv 1861	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. P. /\ C e. P. ) /\ ( z e. A /\ -. ( z +Q v ) e. A ) ) -> ( E. x ( z +Q x ) = w -> ( ( w +Q v ) e. B -> w e. ( A +P. C ) ) ) )
61	30, 60	syl6d 75	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. P. /\ C e. P. ) /\ ( z e. A /\ -. ( z +Q v ) e. A ) ) -> ( w e. Q. -> ( -. w e. A -> ( ( w +Q v ) e. B -> w e. ( A +P. C ) ) ) ) )
62	24, 61	rexlimddv 3035	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. P. /\ C e. P. ) -> ( w e. Q. -> ( -. w e. A -> ( ( w +Q v ) e. B -> w e. ( A +P. C ) ) ) ) )
63	62	com14 96	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( w +Q v ) e. B -> ( w e. Q. -> ( -. w e. A -> ( ( A e. P. /\ C e. P. ) -> w e. ( A +P. C ) ) ) ) )
64	63	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. P. /\ ( w +Q v ) e. B ) -> ( w e. Q. -> ( -. w e. A -> ( ( A e. P. /\ C e. P. ) -> w e. ( A +P. C ) ) ) ) )
65	21, 64	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. P. /\ ( w +Q v ) e. B ) -> ( -. w e. A -> ( ( A e. P. /\ C e. P. ) -> w e. ( A +P. C ) ) ) )
66	65	ex 450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. P. -> ( ( w +Q v ) e. B -> ( -. w e. A -> ( ( A e. P. /\ C e. P. ) -> w e. ( A +P. C ) ) ) ) )
67	66	exlimdv 1861	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. P. -> ( E. v ( w +Q v ) e. B -> ( -. w e. A -> ( ( A e. P. /\ C e. P. ) -> w e. ( A +P. C ) ) ) ) )
68	14, 67	syld 47	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. P. -> ( w e. B -> ( -. w e. A -> ( ( A e. P. /\ C e. P. ) -> w e. ( A +P. C ) ) ) ) )
69	68	com4t 93	. . . . . . . . 9 |- ( -. w e. A -> ( ( A e. P. /\ C e. P. ) -> ( B e. P. -> ( w e. B -> w e. ( A +P. C ) ) ) ) )
70	69	expd 452	. . . . . . . 8 |- ( -. w e. A -> ( A e. P. -> ( C e. P. -> ( B e. P. -> ( w e. B -> w e. ( A +P. C ) ) ) ) ) )
71	12, 70	pm2.61i 176	. . . . . . 7 |- ( A e. P. -> ( C e. P. -> ( B e. P. -> ( w e. B -> w e. ( A +P. C ) ) ) ) )
72	2, 71	syl5 34	. . . . . 6 |- ( A e. P. -> ( ( B e. P. /\ A C. B ) -> ( B e. P. -> ( w e. B -> w e. ( A +P. C ) ) ) ) )
73	72	expd 452	. . . . 5 |- ( A e. P. -> ( B e. P. -> ( A C. B -> ( B e. P. -> ( w e. B -> w e. ( A +P. C ) ) ) ) ) )
74	73	com34 91	. . . 4 |- ( A e. P. -> ( B e. P. -> ( B e. P. -> ( A C. B -> ( w e. B -> w e. ( A +P. C ) ) ) ) ) )
75	74	pm2.43d 53	. . 3 |- ( A e. P. -> ( B e. P. -> ( A C. B -> ( w e. B -> w e. ( A +P. C ) ) ) ) )
76	75	imp31 448	. 2 |- ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ A C. B ) -> ( w e. B -> w e. ( A +P. C ) ) )
77	76	ssrdv 3609	1 |- ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ A C. B ) -> B C_ ( A +P. C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   E.wrex 2913   C_ wss 3574   C. wpss 3575   class class class wbr 4653   X. cxp 5112  (class class class)co 6650   Q.cnq 9674   +Q cplq 9677   <Q cltq 9680   P.cnp 9681   +P. cpp 9683   <P cltp 9685

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-ni 9694  df-pli 9695  df-mi 9696  df-lti 9697  df-plpq 9730  df-mpq 9731  df-ltpq 9732  df-enq 9733  df-nq 9734  df-erq 9735  df-plq 9736  df-mq 9737  df-1nq 9738  df-rq 9739  df-ltnq 9740  df-np 9803  df-plp 9805  df-ltp 9807

This theorem is referenced by:  ltexpri  9865