Theorem oef1o 8595

Description: A bijection of the base sets induces a bijection on ordinal exponentials. (The assumption ( F ` (/) ) = (/) can be discharged using fveqf1o 6557.) (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.) (Revised by AV, 3-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
oef1o.f	|- ( ph -> F : A -1-1-onto-> C )
oef1o.g	|- ( ph -> G : B -1-1-onto-> D )
oef1o.a	|- ( ph -> A e. ( On \ 1o ) )
oef1o.b	|- ( ph -> B e. On )
oef1o.c	|- ( ph -> C e. On )
oef1o.d	|- ( ph -> D e. On )
oef1o.z	|- ( ph -> ( F ` (/) ) = (/) )
oef1o.k	|- K = ( y e. { x e. ( A ^m B ) | x finSupp (/) } |-> ( F o. ( y o. `' G ) ) )
oef1o.h	|- H = ( ( ( C CNF D ) o. K ) o. `' ( A CNF B ) )

Assertion

Ref	Expression
oef1o	|- ( ph -> H : ( A ^o B ) -1-1-onto-> ( C ^o D ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, C, y   x, D, y   ph, x, y   x, F, y   x, G, y

Allowed substitution hints:   H( x, y)   K( x, y)

Proof of Theorem oef1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . . . 5 |- dom ( C CNF D ) = dom ( C CNF D )
2		oef1o.c	. . . . 5 |- ( ph -> C e. On )
3		oef1o.d	. . . . 5 |- ( ph -> D e. On )
4	1, 2, 3	cantnff1o 8593	. . . 4 |- ( ph -> ( C CNF D ) : dom ( C CNF D ) -1-1-onto-> ( C ^o D ) )
5		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- { x e. ( A ^m B ) | x finSupp (/) } = { x e. ( A ^m B ) | x finSupp (/) }
6		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- { x e. ( C ^m D ) | x finSupp ( F ` (/) ) } = { x e. ( C ^m D ) | x finSupp ( F ` (/) ) }
7		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( F ` (/) ) = ( F ` (/) )
8		oef1o.g	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> G : B -1-1-onto-> D )
9		f1ocnv 6149	. . . . . . . . 9 |- ( G : B -1-1-onto-> D -> `' G : D -1-1-onto-> B )
10	8, 9	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> `' G : D -1-1-onto-> B )
11		oef1o.f	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : A -1-1-onto-> C )
12		ssv 3625	. . . . . . . . 9 |- On C_ _V
13		oef1o.b	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> B e. On )
14	12, 13	sseldi 3601	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B e. _V )
15		oef1o.a	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A e. ( On \ 1o ) )
16	15	eldifad 3586	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. On )
17	12, 16	sseldi 3601	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. _V )
18	12, 3	sseldi 3601	. . . . . . . 8 |- ( ph -> D e. _V )
19	12, 2	sseldi 3601	. . . . . . . 8 |- ( ph -> C e. _V )
20		ondif1 7581	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( On \ 1o ) <-> ( A e. On /\ (/) e. A ) )
21	20	simprbi 480	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( On \ 1o ) -> (/) e. A )
22	15, 21	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> (/) e. A )
23	5, 6, 7, 10, 11, 14, 17, 18, 19, 22	mapfien 8313	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( y e. { x e. ( A ^m B ) | x finSupp (/) } |-> ( F o. ( y o. `' G ) ) ) : { x e. ( A ^m B ) | x finSupp (/) } -1-1-onto-> { x e. ( C ^m D ) | x finSupp ( F ` (/) ) } )
24		oef1o.k	. . . . . . . 8 |- K = ( y e. { x e. ( A ^m B ) | x finSupp (/) } |-> ( F o. ( y o. `' G ) ) )
25		f1oeq1 6127	. . . . . . . 8 |- ( K = ( y e. { x e. ( A ^m B ) | x finSupp (/) } |-> ( F o. ( y o. `' G ) ) ) -> ( K : { x e. ( A ^m B ) | x finSupp (/) } -1-1-onto-> { x e. ( C ^m D ) | x finSupp ( F ` (/) ) } <-> ( y e. { x e. ( A ^m B ) | x finSupp (/) } |-> ( F o. ( y o. `' G ) ) ) : { x e. ( A ^m B ) | x finSupp (/) } -1-1-onto-> { x e. ( C ^m D ) | x finSupp ( F ` (/) ) } ) )
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( K : { x e. ( A ^m B ) | x finSupp (/) } -1-1-onto-> { x e. ( C ^m D ) | x finSupp ( F ` (/) ) } <-> ( y e. { x e. ( A ^m B ) | x finSupp (/) } |-> ( F o. ( y o. `' G ) ) ) : { x e. ( A ^m B ) | x finSupp (/) } -1-1-onto-> { x e. ( C ^m D ) | x finSupp ( F ` (/) ) } )
27	23, 26	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( ph -> K : { x e. ( A ^m B ) | x finSupp (/) } -1-1-onto-> { x e. ( C ^m D ) | x finSupp ( F ` (/) ) } )
28		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- { x e. ( C ^m D ) | x finSupp (/) } = { x e. ( C ^m D ) | x finSupp (/) }
29	28, 2, 3	cantnfdm 8561	. . . . . . . 8 |- ( ph -> dom ( C CNF D ) = { x e. ( C ^m D ) | x finSupp (/) } )
30		oef1o.z	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( F ` (/) ) = (/) )
31	30	breq2d 4665	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x finSupp ( F ` (/) ) <-> x finSupp (/) ) )
32	31	rabbidv 3189	. . . . . . . 8 |- ( ph -> { x e. ( C ^m D ) | x finSupp ( F ` (/) ) } = { x e. ( C ^m D ) | x finSupp (/) } )
33	29, 32	eqtr4d 2659	. . . . . . 7 |- ( ph -> dom ( C CNF D ) = { x e. ( C ^m D ) | x finSupp ( F ` (/) ) } )
34		f1oeq3 6129	. . . . . . 7 |- ( dom ( C CNF D ) = { x e. ( C ^m D ) | x finSupp ( F ` (/) ) } -> ( K : { x e. ( A ^m B ) | x finSupp (/) } -1-1-onto-> dom ( C CNF D ) <-> K : { x e. ( A ^m B ) | x finSupp (/) } -1-1-onto-> { x e. ( C ^m D ) | x finSupp ( F ` (/) ) } ) )
35	33, 34	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( K : { x e. ( A ^m B ) | x finSupp (/) } -1-1-onto-> dom ( C CNF D ) <-> K : { x e. ( A ^m B ) | x finSupp (/) } -1-1-onto-> { x e. ( C ^m D ) | x finSupp ( F ` (/) ) } ) )
36	27, 35	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ph -> K : { x e. ( A ^m B ) | x finSupp (/) } -1-1-onto-> dom ( C CNF D ) )
37	5, 16, 13	cantnfdm 8561	. . . . . 6 |- ( ph -> dom ( A CNF B ) = { x e. ( A ^m B ) | x finSupp (/) } )
38		f1oeq2 6128	. . . . . 6 |- ( dom ( A CNF B ) = { x e. ( A ^m B ) | x finSupp (/) } -> ( K : dom ( A CNF B ) -1-1-onto-> dom ( C CNF D ) <-> K : { x e. ( A ^m B ) | x finSupp (/) } -1-1-onto-> dom ( C CNF D ) ) )
39	37, 38	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( K : dom ( A CNF B ) -1-1-onto-> dom ( C CNF D ) <-> K : { x e. ( A ^m B ) | x finSupp (/) } -1-1-onto-> dom ( C CNF D ) ) )
40	36, 39	mpbird 247	. . . 4 |- ( ph -> K : dom ( A CNF B ) -1-1-onto-> dom ( C CNF D ) )
41		f1oco 6159	. . . 4 |- ( ( ( C CNF D ) : dom ( C CNF D ) -1-1-onto-> ( C ^o D ) /\ K : dom ( A CNF B ) -1-1-onto-> dom ( C CNF D ) ) -> ( ( C CNF D ) o. K ) : dom ( A CNF B ) -1-1-onto-> ( C ^o D ) )
42	4, 40, 41	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> ( ( C CNF D ) o. K ) : dom ( A CNF B ) -1-1-onto-> ( C ^o D ) )
43		eqid 2622	. . . . 5 |- dom ( A CNF B ) = dom ( A CNF B )
44	43, 16, 13	cantnff1o 8593	. . . 4 |- ( ph -> ( A CNF B ) : dom ( A CNF B ) -1-1-onto-> ( A ^o B ) )
45		f1ocnv 6149	. . . 4 |- ( ( A CNF B ) : dom ( A CNF B ) -1-1-onto-> ( A ^o B ) -> `' ( A CNF B ) : ( A ^o B ) -1-1-onto-> dom ( A CNF B ) )
46	44, 45	syl 17	. . 3 |- ( ph -> `' ( A CNF B ) : ( A ^o B ) -1-1-onto-> dom ( A CNF B ) )
47		f1oco 6159	. . 3 |- ( ( ( ( C CNF D ) o. K ) : dom ( A CNF B ) -1-1-onto-> ( C ^o D ) /\ `' ( A CNF B ) : ( A ^o B ) -1-1-onto-> dom ( A CNF B ) ) -> ( ( ( C CNF D ) o. K ) o. `' ( A CNF B ) ) : ( A ^o B ) -1-1-onto-> ( C ^o D ) )
48	42, 46, 47	syl2anc 693	. 2 |- ( ph -> ( ( ( C CNF D ) o. K ) o. `' ( A CNF B ) ) : ( A ^o B ) -1-1-onto-> ( C ^o D ) )
49		oef1o.h	. . 3 |- H = ( ( ( C CNF D ) o. K ) o. `' ( A CNF B ) )
50		f1oeq1 6127	. . 3 |- ( H = ( ( ( C CNF D ) o. K ) o. `' ( A CNF B ) ) -> ( H : ( A ^o B ) -1-1-onto-> ( C ^o D ) <-> ( ( ( C CNF D ) o. K ) o. `' ( A CNF B ) ) : ( A ^o B ) -1-1-onto-> ( C ^o D ) ) )
51	49, 50	ax-mp 5	. 2 |- ( H : ( A ^o B ) -1-1-onto-> ( C ^o D ) <-> ( ( ( C CNF D ) o. K ) o. `' ( A CNF B ) ) : ( A ^o B ) -1-1-onto-> ( C ^o D ) )
52	48, 51	sylibr 224	1 |- ( ph -> H : ( A ^o B ) -1-1-onto-> ( C ^o D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   = wceq 1483   e. wcel 1990   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   o. ccom 5118   Oncon0 5723   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1oc1o 7553   ^o coe 7559   ^m cmap 7857   finSupp cfsupp 8275   CNF ccnf 8558

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-seqom 7543  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-oexp 7566  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-cnf 8559

This theorem is referenced by:  infxpenc  8841