Theorem rexrabdioph 37358

Description: Diophantine set builder for existential quantification. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
rexrabdioph.1	|- M = ( N + 1 )
rexrabdioph.2	|- ( v = ( t ` M ) -> ( ps <-> ch ) )
rexrabdioph.3	|- ( u = ( t |` ( 1 ... N ) ) -> ( ch <-> ph ) )

Assertion

Ref	Expression
rexrabdioph	|- ( ( N e. NN0 /\ { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) | ph } e. (Dioph ` M ) ) -> { u e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | E. v e. NN0 ps } e. (Dioph ` N ) )

Distinct variable groups:   t, N, u, v   t, M, u, v   ph, u, v   ps, t   ch, v

Allowed substitution hints:   ph( t)   ps( v, u)   ch( u, t)

Proof of Theorem rexrabdioph

Dummy variables a b c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rab 2921	. . . . . 6 |- { a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | E. b e. NN0 [. b / v ]. [. a / u ]. ps } = { a | ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ E. b e. NN0 [. b / v ]. [. a / u ]. ps ) }
2		dfsbcq 3437	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = c -> ( [. b / v ]. [. a / u ]. ps <-> [. c / v ]. [. a / u ]. ps ) )
3	2	cbvrexv 3172	. . . . . . . . . 10 |- ( E. b e. NN0 [. b / v ]. [. a / u ]. ps <-> E. c e. NN0 [. c / v ]. [. a / u ]. ps )
4	3	anbi2i 730	. . . . . . . . 9 |- ( ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ E. b e. NN0 [. b / v ]. [. a / u ]. ps ) <-> ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ E. c e. NN0 [. c / v ]. [. a / u ]. ps ) )
5		r19.42v 3092	. . . . . . . . 9 |- ( E. c e. NN0 ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ [. c / v ]. [. a / u ]. ps ) <-> ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ E. c e. NN0 [. c / v ]. [. a / u ]. ps ) )
6	4, 5	bitr4i 267	. . . . . . . 8 |- ( ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ E. b e. NN0 [. b / v ]. [. a / u ]. ps ) <-> E. c e. NN0 ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ [. c / v ]. [. a / u ]. ps ) )
7		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN0 /\ c e. NN0 ) /\ a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) ) -> N e. NN0 )
8		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN0 /\ c e. NN0 ) /\ a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) ) -> a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) )
9		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN0 /\ c e. NN0 ) /\ a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) ) -> c e. NN0 )
10		rexrabdioph.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- M = ( N + 1 )
11	10	mapfzcons 37279	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN0 /\ a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ c e. NN0 ) -> ( a u. { <. M , c >. } ) e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) )
12	7, 8, 9, 11	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN0 /\ c e. NN0 ) /\ a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) ) -> ( a u. { <. M , c >. } ) e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) )
13	12	adantrr 753	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN0 /\ c e. NN0 ) /\ ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ [. c / v ]. [. a / u ]. ps ) ) -> ( a u. { <. M , c >. } ) e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) )
14	10	mapfzcons2 37282	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ c e. NN0 ) -> ( ( a u. { <. M , c >. } ) ` M ) = c )
15	8, 9, 14	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( N e. NN0 /\ c e. NN0 ) /\ a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) ) -> ( ( a u. { <. M , c >. } ) ` M ) = c )
16	15	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. NN0 /\ c e. NN0 ) /\ a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) ) -> c = ( ( a u. { <. M , c >. } ) ` M ) )
17	10	mapfzcons1 37280	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) -> ( ( a u. { <. M , c >. } ) |` ( 1 ... N ) ) = a )
18	17	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( N e. NN0 /\ c e. NN0 ) /\ a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) ) -> ( ( a u. { <. M , c >. } ) |` ( 1 ... N ) ) = a )
19	18	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( N e. NN0 /\ c e. NN0 ) /\ a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) ) -> a = ( ( a u. { <. M , c >. } ) |` ( 1 ... N ) ) )
20	19	sbceq1d 3440	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. NN0 /\ c e. NN0 ) /\ a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) ) -> ( [. a / u ]. ps <-> [. ( ( a u. { <. M , c >. } ) |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps ) )
21	16, 20	sbceqbid 3442	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN0 /\ c e. NN0 ) /\ a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) ) -> ( [. c / v ]. [. a / u ]. ps <-> [. ( ( a u. { <. M , c >. } ) ` M ) / v ]. [. ( ( a u. { <. M , c >. } ) |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps ) )
22	21	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN0 /\ c e. NN0 ) /\ a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) ) -> ( [. c / v ]. [. a / u ]. ps -> [. ( ( a u. { <. M , c >. } ) ` M ) / v ]. [. ( ( a u. { <. M , c >. } ) |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps ) )
23	22	impr 649	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN0 /\ c e. NN0 ) /\ ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ [. c / v ]. [. a / u ]. ps ) ) -> [. ( ( a u. { <. M , c >. } ) ` M ) / v ]. [. ( ( a u. { <. M , c >. } ) |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps )
24	19	adantrr 753	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN0 /\ c e. NN0 ) /\ ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ [. c / v ]. [. a / u ]. ps ) ) -> a = ( ( a u. { <. M , c >. } ) |` ( 1 ... N ) ) )
25		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b = ( a u. { <. M , c >. } ) -> ( b ` M ) = ( ( a u. { <. M , c >. } ) ` M ) )
26		reseq1 5390	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( b = ( a u. { <. M , c >. } ) -> ( b |` ( 1 ... N ) ) = ( ( a u. { <. M , c >. } ) |` ( 1 ... N ) ) )
27	26	sbceq1d 3440	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b = ( a u. { <. M , c >. } ) -> ( [. ( b |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps <-> [. ( ( a u. { <. M , c >. } ) |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps ) )
28	25, 27	sbceqbid 3442	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b = ( a u. { <. M , c >. } ) -> ( [. ( b ` M ) / v ]. [. ( b |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps <-> [. ( ( a u. { <. M , c >. } ) ` M ) / v ]. [. ( ( a u. { <. M , c >. } ) |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps ) )
29	26	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b = ( a u. { <. M , c >. } ) -> ( a = ( b |` ( 1 ... N ) ) <-> a = ( ( a u. { <. M , c >. } ) |` ( 1 ... N ) ) ) )
30	28, 29	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b = ( a u. { <. M , c >. } ) -> ( ( [. ( b ` M ) / v ]. [. ( b |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps /\ a = ( b |` ( 1 ... N ) ) ) <-> ( [. ( ( a u. { <. M , c >. } ) ` M ) / v ]. [. ( ( a u. { <. M , c >. } ) |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps /\ a = ( ( a u. { <. M , c >. } ) |` ( 1 ... N ) ) ) ) )
31	30	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( a u. { <. M , c >. } ) e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) /\ ( [. ( ( a u. { <. M , c >. } ) ` M ) / v ]. [. ( ( a u. { <. M , c >. } ) |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps /\ a = ( ( a u. { <. M , c >. } ) |` ( 1 ... N ) ) ) ) -> E. b e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) ( [. ( b ` M ) / v ]. [. ( b |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps /\ a = ( b |` ( 1 ... N ) ) ) )
32	13, 23, 24, 31	syl12anc 1324	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN0 /\ c e. NN0 ) /\ ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ [. c / v ]. [. a / u ]. ps ) ) -> E. b e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) ( [. ( b ` M ) / v ]. [. ( b |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps /\ a = ( b |` ( 1 ... N ) ) ) )
33	32	ex 450	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ c e. NN0 ) -> ( ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ [. c / v ]. [. a / u ]. ps ) -> E. b e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) ( [. ( b ` M ) / v ]. [. ( b |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps /\ a = ( b |` ( 1 ... N ) ) ) ) )
34	33	rexlimdva 3031	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> ( E. c e. NN0 ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ [. c / v ]. [. a / u ]. ps ) -> E. b e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) ( [. ( b ` M ) / v ]. [. ( b |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps /\ a = ( b |` ( 1 ... N ) ) ) ) )
35		elmapi 7879	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) -> b : ( 1 ... M ) --> NN0 )
36		nn0p1nn 11332	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN )
37	10, 36	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. NN0 -> M e. NN )
38		elfz1end 12371	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( M e. NN <-> M e. ( 1 ... M ) )
39	37, 38	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN0 -> M e. ( 1 ... M ) )
40		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( b : ( 1 ... M ) --> NN0 /\ M e. ( 1 ... M ) ) -> ( b ` M ) e. NN0 )
41	35, 39, 40	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN0 /\ b e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) ) -> ( b ` M ) e. NN0 )
42	41	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN0 /\ b e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) ) /\ ( [. ( b ` M ) / v ]. [. ( b |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps /\ a = ( b |` ( 1 ... N ) ) ) ) -> ( b ` M ) e. NN0 )
43		simprr 796	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN0 /\ b e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) ) /\ ( [. ( b ` M ) / v ]. [. ( b |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps /\ a = ( b |` ( 1 ... N ) ) ) ) -> a = ( b |` ( 1 ... N ) ) )
44	10	mapfzcons1cl 37281	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) -> ( b |` ( 1 ... N ) ) e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) )
45	44	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN0 /\ b e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) ) /\ ( [. ( b ` M ) / v ]. [. ( b |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps /\ a = ( b |` ( 1 ... N ) ) ) ) -> ( b |` ( 1 ... N ) ) e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) )
46	43, 45	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN0 /\ b e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) ) /\ ( [. ( b ` M ) / v ]. [. ( b |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps /\ a = ( b |` ( 1 ... N ) ) ) ) -> a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) )
47		simprl 794	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN0 /\ b e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) ) /\ ( [. ( b ` M ) / v ]. [. ( b |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps /\ a = ( b |` ( 1 ... N ) ) ) ) -> [. ( b ` M ) / v ]. [. ( b |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps )
48		dfsbcq 3437	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a = ( b |` ( 1 ... N ) ) -> ( [. a / u ]. ps <-> [. ( b |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps ) )
49	48	sbcbidv 3490	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = ( b |` ( 1 ... N ) ) -> ( [. ( b ` M ) / v ]. [. a / u ]. ps <-> [. ( b ` M ) / v ]. [. ( b |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps ) )
50	49	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN0 /\ b e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) ) /\ ( [. ( b ` M ) / v ]. [. ( b |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps /\ a = ( b |` ( 1 ... N ) ) ) ) -> ( [. ( b ` M ) / v ]. [. a / u ]. ps <-> [. ( b ` M ) / v ]. [. ( b |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps ) )
51	47, 50	mpbird 247	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN0 /\ b e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) ) /\ ( [. ( b ` M ) / v ]. [. ( b |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps /\ a = ( b |` ( 1 ... N ) ) ) ) -> [. ( b ` M ) / v ]. [. a / u ]. ps )
52		dfsbcq 3437	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( c = ( b ` M ) -> ( [. c / v ]. [. a / u ]. ps <-> [. ( b ` M ) / v ]. [. a / u ]. ps ) )
53	52	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( c = ( b ` M ) -> ( ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ [. c / v ]. [. a / u ]. ps ) <-> ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ [. ( b ` M ) / v ]. [. a / u ]. ps ) ) )
54	53	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( b ` M ) e. NN0 /\ ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ [. ( b ` M ) / v ]. [. a / u ]. ps ) ) -> E. c e. NN0 ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ [. c / v ]. [. a / u ]. ps ) )
55	42, 46, 51, 54	syl12anc 1324	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN0 /\ b e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) ) /\ ( [. ( b ` M ) / v ]. [. ( b |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps /\ a = ( b |` ( 1 ... N ) ) ) ) -> E. c e. NN0 ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ [. c / v ]. [. a / u ]. ps ) )
56	55	ex 450	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ b e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) ) -> ( ( [. ( b ` M ) / v ]. [. ( b |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps /\ a = ( b |` ( 1 ... N ) ) ) -> E. c e. NN0 ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ [. c / v ]. [. a / u ]. ps ) ) )
57	56	rexlimdva 3031	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> ( E. b e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) ( [. ( b ` M ) / v ]. [. ( b |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps /\ a = ( b |` ( 1 ... N ) ) ) -> E. c e. NN0 ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ [. c / v ]. [. a / u ]. ps ) ) )
58	34, 57	impbid 202	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> ( E. c e. NN0 ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ [. c / v ]. [. a / u ]. ps ) <-> E. b e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) ( [. ( b ` M ) / v ]. [. ( b |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps /\ a = ( b |` ( 1 ... N ) ) ) ) )
59	6, 58	syl5bb 272	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ E. b e. NN0 [. b / v ]. [. a / u ]. ps ) <-> E. b e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) ( [. ( b ` M ) / v ]. [. ( b |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps /\ a = ( b |` ( 1 ... N ) ) ) ) )
60	59	abbidv 2741	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> { a | ( a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) /\ E. b e. NN0 [. b / v ]. [. a / u ]. ps ) } = { a | E. b e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) ( [. ( b ` M ) / v ]. [. ( b |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps /\ a = ( b |` ( 1 ... N ) ) ) } )
61	1, 60	syl5eq 2668	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> { a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | E. b e. NN0 [. b / v ]. [. a / u ]. ps } = { a | E. b e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) ( [. ( b ` M ) / v ]. [. ( b |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps /\ a = ( b |` ( 1 ... N ) ) ) } )
62		nfcv 2764	. . . . . 6 |- F/_ u ( NN0 ^m ( 1 ... N ) )
63		nfcv 2764	. . . . . 6 |- F/_ a ( NN0 ^m ( 1 ... N ) )
64		nfv 1843	. . . . . 6 |- F/ a E. v e. NN0 ps
65		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ u NN0
66		nfcv 2764	. . . . . . . 8 |- F/_ u b
67		nfsbc1v 3455	. . . . . . . 8 |- F/ u [. a / u ]. ps
68	66, 67	nfsbc 3457	. . . . . . 7 |- F/ u [. b / v ]. [. a / u ]. ps
69	65, 68	nfrex 3007	. . . . . 6 |- F/ u E. b e. NN0 [. b / v ]. [. a / u ]. ps
70		sbceq1a 3446	. . . . . . . 8 |- ( u = a -> ( ps <-> [. a / u ]. ps ) )
71	70	rexbidv 3052	. . . . . . 7 |- ( u = a -> ( E. v e. NN0 ps <-> E. v e. NN0 [. a / u ]. ps ) )
72		nfv 1843	. . . . . . . 8 |- F/ b [. a / u ]. ps
73		nfsbc1v 3455	. . . . . . . 8 |- F/ v [. b / v ]. [. a / u ]. ps
74		sbceq1a 3446	. . . . . . . 8 |- ( v = b -> ( [. a / u ]. ps <-> [. b / v ]. [. a / u ]. ps ) )
75	72, 73, 74	cbvrex 3168	. . . . . . 7 |- ( E. v e. NN0 [. a / u ]. ps <-> E. b e. NN0 [. b / v ]. [. a / u ]. ps )
76	71, 75	syl6bb 276	. . . . . 6 |- ( u = a -> ( E. v e. NN0 ps <-> E. b e. NN0 [. b / v ]. [. a / u ]. ps ) )
77	62, 63, 64, 69, 76	cbvrab 3198	. . . . 5 |- { u e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | E. v e. NN0 ps } = { a e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | E. b e. NN0 [. b / v ]. [. a / u ]. ps }
78		fveq1 6190	. . . . . . . 8 |- ( t = b -> ( t ` M ) = ( b ` M ) )
79		reseq1 5390	. . . . . . . . 9 |- ( t = b -> ( t |` ( 1 ... N ) ) = ( b |` ( 1 ... N ) ) )
80	79	sbceq1d 3440	. . . . . . . 8 |- ( t = b -> ( [. ( t |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps <-> [. ( b |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps ) )
81	78, 80	sbceqbid 3442	. . . . . . 7 |- ( t = b -> ( [. ( t ` M ) / v ]. [. ( t |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps <-> [. ( b ` M ) / v ]. [. ( b |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps ) )
82	81	rexrab 3370	. . . . . 6 |- ( E. b e. { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) | [. ( t ` M ) / v ]. [. ( t |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps } a = ( b |` ( 1 ... N ) ) <-> E. b e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) ( [. ( b ` M ) / v ]. [. ( b |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps /\ a = ( b |` ( 1 ... N ) ) ) )
83	82	abbii 2739	. . . . 5 |- { a | E. b e. { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) | [. ( t ` M ) / v ]. [. ( t |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps } a = ( b |` ( 1 ... N ) ) } = { a | E. b e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) ( [. ( b ` M ) / v ]. [. ( b |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps /\ a = ( b |` ( 1 ... N ) ) ) }
84	61, 77, 83	3eqtr4g 2681	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> { u e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | E. v e. NN0 ps } = { a | E. b e. { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) | [. ( t ` M ) / v ]. [. ( t |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps } a = ( b |` ( 1 ... N ) ) } )
85		fvex 6201	. . . . . . . . 9 |- ( t ` M ) e. _V
86		vex 3203	. . . . . . . . . 10 |- t e. _V
87	86	resex 5443	. . . . . . . . 9 |- ( t |` ( 1 ... N ) ) e. _V
88		rexrabdioph.2	. . . . . . . . . 10 |- ( v = ( t ` M ) -> ( ps <-> ch ) )
89		rexrabdioph.3	. . . . . . . . . 10 |- ( u = ( t |` ( 1 ... N ) ) -> ( ch <-> ph ) )
90	88, 89	sylan9bb 736	. . . . . . . . 9 |- ( ( v = ( t ` M ) /\ u = ( t |` ( 1 ... N ) ) ) -> ( ps <-> ph ) )
91	85, 87, 90	sbc2ie 3505	. . . . . . . 8 |- ( [. ( t ` M ) / v ]. [. ( t |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps <-> ph )
92	91	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( t e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) -> ( [. ( t ` M ) / v ]. [. ( t |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps <-> ph ) )
93	92	rabbiia 3185	. . . . . 6 |- { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) | [. ( t ` M ) / v ]. [. ( t |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps } = { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) | ph }
94	93	rexeqi 3143	. . . . 5 |- ( E. b e. { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) | [. ( t ` M ) / v ]. [. ( t |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps } a = ( b |` ( 1 ... N ) ) <-> E. b e. { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) | ph } a = ( b |` ( 1 ... N ) ) )
95	94	abbii 2739	. . . 4 |- { a | E. b e. { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) | [. ( t ` M ) / v ]. [. ( t |` ( 1 ... N ) ) / u ]. ps } a = ( b |` ( 1 ... N ) ) } = { a | E. b e. { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) | ph } a = ( b |` ( 1 ... N ) ) }
96	84, 95	syl6eq 2672	. . 3 |- ( N e. NN0 -> { u e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | E. v e. NN0 ps } = { a | E. b e. { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) | ph } a = ( b |` ( 1 ... N ) ) } )
97	96	adantr 481	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) | ph } e. (Dioph ` M ) ) -> { u e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | E. v e. NN0 ps } = { a | E. b e. { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) | ph } a = ( b |` ( 1 ... N ) ) } )
98		simpl 473	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) | ph } e. (Dioph ` M ) ) -> N e. NN0 )
99		nn0z 11400	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
100		uzid 11702	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> N e. ( ZZ>= ` N ) )
101		peano2uz 11741	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` N ) -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` N ) )
102	99, 100, 101	3syl 18	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` N ) )
103	10, 102	syl5eqel 2705	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> M e. ( ZZ>= ` N ) )
104	103	adantr 481	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) | ph } e. (Dioph ` M ) ) -> M e. ( ZZ>= ` N ) )
105		simpr 477	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) | ph } e. (Dioph ` M ) ) -> { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) | ph } e. (Dioph ` M ) )
106		diophrex 37339	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ M e. ( ZZ>= ` N ) /\ { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) | ph } e. (Dioph ` M ) ) -> { a | E. b e. { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) | ph } a = ( b |` ( 1 ... N ) ) } e. (Dioph ` N ) )
107	98, 104, 105, 106	syl3anc 1326	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) | ph } e. (Dioph ` M ) ) -> { a | E. b e. { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) | ph } a = ( b |` ( 1 ... N ) ) } e. (Dioph ` N ) )
108	97, 107	eqeltrd 2701	1 |- ( ( N e. NN0 /\ { t e. ( NN0 ^m ( 1 ... M ) ) | ph } e. (Dioph ` M ) ) -> { u e. ( NN0 ^m ( 1 ... N ) ) | E. v e. NN0 ps } e. (Dioph ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   E.wrex 2913   {crab 2916   [.wsbc 3435   u. cun 3572   {csn 4177   <.cop 4183   |` cres 5116   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   1c1 9937   + caddc 9939   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326  Diophcdioph 37318

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-hash 13118  df-mzpcl 37286  df-mzp 37287  df-dioph 37319

This theorem is referenced by:  rexfrabdioph  37359  elnn0rabdioph  37367  dvdsrabdioph  37374