MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  max0sub Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem max0sub 12027
Description: Decompose a real number into positive and negative parts. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
max0sub |- ( A e. RR -> ( if ( 0 <_ A , A , 0 ) - if ( 0 <_ -u A , -u A , 0 ) ) = A )
Proof of Theorem max0sub
StepHypRef Expression
1 0red 10041 . 2 |- ( A e. RR -> 0 e. RR )
2 id 22 . 2 |- ( A e. RR -> A e. RR )
3 iftrue 4092 . . . . 5 |- ( 0 <_ A -> if ( 0 <_ A , A , 0 ) = A )
43adantl 482 . . . 4 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> if ( 0 <_ A , A , 0 ) = A )
5 0xr 10086 . . . . . 6 |- 0 e. RR*
65a1i 11 . . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> 0 e. RR* )
7 renegcl 10344 . . . . . . 7 |- ( A e. RR -> -u A e. RR )
87adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> -u A e. RR )
98rexrd 10089 . . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> -u A e. RR* )
10 le0neg2 10537 . . . . . 6 |- ( A e. RR -> ( 0 <_ A <-> -u A <_ 0 ) )
1110biimpa 501 . . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> -u A <_ 0 )
12 xrmaxeq 12010 . . . . 5 |- ( ( 0 e. RR* /\ -u A e. RR* /\ -u A <_ 0 ) -> if ( 0 <_ -u A , -u A , 0 ) = 0 )
136, 9, 11, 12syl3anc 1326 . . . 4 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> if ( 0 <_ -u A , -u A , 0 ) = 0 )
144, 13oveq12d 6668 . . 3 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( if ( 0 <_ A , A , 0 ) - if ( 0 <_ -u A , -u A , 0 ) ) = ( A - 0 ) )
15 recn 10026 . . . . 5 |- ( A e. RR -> A e. CC )
1615adantr 481 . . . 4 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> A e. CC )
1716subid1d 10381 . . 3 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( A - 0 ) = A )
1814, 17eqtrd 2656 . 2 |- ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( if ( 0 <_ A , A , 0 ) - if ( 0 <_ -u A , -u A , 0 ) ) = A )
195a1i 11 . . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ A <_ 0 ) -> 0 e. RR* )
20 rexr 10085 . . . . . 6 |- ( A e. RR -> A e. RR* )
2120adantr 481 . . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ A <_ 0 ) -> A e. RR* )
22 simpr 477 . . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ A <_ 0 ) -> A <_ 0 )
23 xrmaxeq 12010 . . . . 5 |- ( ( 0 e. RR* /\ A e. RR* /\ A <_ 0 ) -> if ( 0 <_ A , A , 0 ) = 0 )
2419, 21, 22, 23syl3anc 1326 . . . 4 |- ( ( A e. RR /\ A <_ 0 ) -> if ( 0 <_ A , A , 0 ) = 0 )
25 le0neg1 10536 . . . . . 6 |- ( A e. RR -> ( A <_ 0 <-> 0 <_ -u A ) )
2625biimpa 501 . . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ A <_ 0 ) -> 0 <_ -u A )
2726iftrued 4094 . . . 4 |- ( ( A e. RR /\ A <_ 0 ) -> if ( 0 <_ -u A , -u A , 0 ) = -u A )
2824, 27oveq12d 6668 . . 3 |- ( ( A e. RR /\ A <_ 0 ) -> ( if ( 0 <_ A , A , 0 ) - if ( 0 <_ -u A , -u A , 0 ) ) = ( 0 - -u A ) )
29 df-neg 10269 . . . 4 |- -u -u A = ( 0 - -u A )
3015adantr 481 . . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ A <_ 0 ) -> A e. CC )
3130negnegd 10383 . . . 4 |- ( ( A e. RR /\ A <_ 0 ) -> -u -u A = A )
3229, 31syl5eqr 2670 . . 3 |- ( ( A e. RR /\ A <_ 0 ) -> ( 0 - -u A ) = A )
3328, 32eqtrd 2656 . 2 |- ( ( A e. RR /\ A <_ 0 ) -> ( if ( 0 <_ A , A , 0 ) - if ( 0 <_ -u A , -u A , 0 ) ) = A )
341, 2, 18, 33lecasei 10143 1 |- ( A e. RR -> ( if ( 0 <_ A , A , 0 ) - if ( 0 <_ -u A , -u A , 0 ) ) = A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   ifcif 4086   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   RR*cxr 10073   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269
This theorem is referenced by:  mbfi1flimlem  23489  itgitg1  23575  itgconst  23585  itgaddlem2  23590  itgmulc2lem2  23599  itgaddnclem2  33469  itgmulc2nclem2  33477
  Copyright terms: Public domain W3C validator