mbfi1flimlem - Metamath Proof Explorer

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Theorem mbfi1flimlem 23489

Description: Lemma for mbfi1flim 23490. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
mbfi1flim.1	MblFn
mbfi1flimlem.2

**Assertion**
Ref	Expression
mbfi1flimlem	$/\$

Distinct variable groups:

Proof of Theorem mbfi1flimlem Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mbfi1flimlem.2	. . . . 5
2	1	ffvelrnda 6359	. . . 4 $/\$
3	1	feqmptd 6249	. . . . 5
4		mbfi1flim.1	. . . . 5 MblFn
5	3, 4	eqeltrrd 2702	. . . 4 MblFn
6	2, 5	mbfpos 23418	. . 3 MblFn
7		0re 10040	. . . . . 6
8		ifcl 4130	. . . . . 6 $/\$
9	2, 7, 8	sylancl 694	. . . . 5 $/\$
10		max1 12016	. . . . . 6 $/\$
11	7, 2, 10	sylancr 695	. . . . 5 $/\$
12		elrege0 12278	. . . . 5 $/\$
13	9, 11, 12	sylanbrc 698	. . . 4 $/\$
14		eqid 2622	. . . 4
15	13, 14	fmptd 6385	. . 3
16	6, 15	mbfi1fseq 23488	. 2 $/\$ $/\$ $/\$
17	2	renegcld 10457	. . . 4 $/\$
18	2, 5	mbfneg 23417	. . . 4 MblFn
19	17, 18	mbfpos 23418	. . 3 MblFn
20		ifcl 4130	. . . . . 6 $/\$
21	17, 7, 20	sylancl 694	. . . . 5 $/\$
22		max1 12016	. . . . . 6 $/\$
23	7, 17, 22	sylancr 695	. . . . 5 $/\$
24		elrege0 12278	. . . . 5 $/\$
25	21, 23, 24	sylanbrc 698	. . . 4 $/\$
26		eqid 2622	. . . 4
27	25, 26	fmptd 6385	. . 3
28	19, 27	mbfi1fseq 23488	. 2 $/\$ $/\$ $/\$
29		eeanv 2182	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
30		3simpb 1059	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
31		3simpb 1059	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
32	30, 31	anim12i 590	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
33		an4 865	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
34	32, 33	sylib 208	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
35		r19.26 3064	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
36		i1fsub 23475	. . . . . . . . . 10 $/\$
37	36	adantl 482	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
38		simprl 794	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
39		simprr 796	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
40		nnex 11026	. . . . . . . . . 10
41	40	a1i 11	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
42		inidm 3822	. . . . . . . . 9
43	37, 38, 39, 41, 41, 42	off 6912	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
44		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16
45	44	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . 15
46	45, 44	ifbieq1d 4109	. . . . . . . . . . . . . 14
47		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . 15
48		c0ex 10034	. . . . . . . . . . . . . . 15
49	47, 48	ifex 4156	. . . . . . . . . . . . . 14
50	46, 14, 49	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . 13
51	50	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . 12
52	44	negeqd 10275	. . . . . . . . . . . . . . . 16
53	52	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . 15
54	53, 52	ifbieq1d 4109	. . . . . . . . . . . . . 14
55		negex 10279	. . . . . . . . . . . . . . 15
56	55, 48	ifex 4156	. . . . . . . . . . . . . 14
57	54, 26, 56	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . 13
58	57	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . 12
59	51, 58	anbi12d 747	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
60	59	adantl 482	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
61		nnuz 11723	. . . . . . . . . . . . 13
62		1zzd 11408	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
63		simprl 794	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
64	40	mptex 6486	. . . . . . . . . . . . . 14
65	64	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
66		simprr 796	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
67	38	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
68		i1ff 23443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
69	67, 68	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
70	69	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
71	70	an32s 846	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
72	71	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
73		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16
74	72, 73	fmptd 6385	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
75	74	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
76	75	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
77	39	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
78		i1ff 23443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
79	77, 78	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
80	79	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
81	80	an32s 846	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
82	81	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
83		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16
84	82, 83	fmptd 6385	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
85	84	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
86	85	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
87		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
88	38, 87	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
89		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
90	39, 89	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
91		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
92		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
93	88, 90, 41, 41, 42, 91, 92	ofval 6906	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
94	93	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
95	94	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
96	38	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
97		i1ff 23443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
98		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
99	96, 97, 98	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
100	39	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
101		i1ff 23443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
102		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
103	100, 101, 102	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
104		reex 10027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
105	104	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
106		inidm 3822	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
107		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
108		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
109	99, 103, 105, 105, 106, 107, 108	ofval 6906	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
110	95, 109	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
111	110	an32s 846	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
112		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
113	112	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
114		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
115		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
116	113, 114, 115	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . . . 16
117	116	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
118		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
119	118	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
120		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
121	119, 73, 120	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
122		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
123	122	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
124		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
125	123, 83, 124	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
126	121, 125	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . 16
127	126	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
128	111, 117, 127	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
129	128	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
130	61, 62, 63, 65, 66, 76, 86, 129	climsub 14364	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
131	1	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
132	131	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
133		max0sub 12027	. . . . . . . . . . . . . 14
134	132, 133	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
135	134	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
136	130, 135	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
137	136	ex 450	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
138	60, 137	sylbid 230	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
139	138	ralimdva 2962	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
140		ovex 6678	. . . . . . . . 9
141		feq1 6026	. . . . . . . . . 10
142		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . . 14
143	142	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . 13
144	143	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . . . 12
145	144	breq1d 4663	. . . . . . . . . . 11
146	145	ralbidv 2986	. . . . . . . . . 10
147	141, 146	anbi12d 747	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
148	140, 147	spcev 3300	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
149	43, 139, 148	syl6an 568	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
150	35, 149	syl5bir 233	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
151	150	expimpd 629	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
152	34, 151	syl5 34	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
153	152	exlimdvv 1862	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
154	29, 153	syl5bir 233	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
155	16, 28, 154	mp2and 715	1 $/\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wex 1704

wcel 1990

wral 2912

cvv 3200

cif 4086 class class class wbr 4653

cmpt 4729

cdm 5114

wfn 5883

wf 5884

cfv 5888 (class class class)co 6650

cof 6895

cofr 6896

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cpnf 10071

cle 10075

cmin 10266

cneg 10267

cn 11020

cico 12177

cli 14215 MblFncmbf 23383

citg1 23384

c0p 23436

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-of 6897 df-ofr 6898 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-pm 7860 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-fi 8317 df-sup 8348 df-inf 8349 df-oi 8415 df-card 8765 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-xneg 11946 df-xadd 11947 df-xmul 11948 df-ioo 12179 df-ico 12181 df-icc 12182 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-seq 12802 df-exp 12861 df-hash 13118 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-clim 14219 df-rlim 14220 df-sum 14417 df-rest 16083 df-topgen 16104 df-psmet 19738 df-xmet 19739 df-met 19740 df-bl 19741 df-mopn 19742 df-top 20699 df-topon 20716 df-bases 20750 df-cmp 21190 df-ovol 23233 df-vol 23234 df-mbf 23388 df-itg1 23389 df-0p 23437

This theorem is referenced by: mbfi1flim 23490

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