Theorem itgitg1 23575

Description: Transfer an integral using S.1 to an equivalent integral using S.. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
itgitg1	|- ( F e. dom S.1 -> S. RR ( F ` x ) _d x = ( S.1 ` F ) )

Distinct variable group:   x, F

Proof of Theorem itgitg1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		i1ff 23443	. . . 4 |- ( F e. dom S.1 -> F : RR --> RR )
2	1	ffvelrnda 6359	. . 3 |- ( ( F e. dom S.1 /\ x e. RR ) -> ( F ` x ) e. RR )
3	1	feqmptd 6249	. . . 4 |- ( F e. dom S.1 -> F = ( x e. RR |-> ( F ` x ) ) )
4		i1fibl 23574	. . . 4 |- ( F e. dom S.1 -> F e. L^1 )
5	3, 4	eqeltrrd 2702	. . 3 |- ( F e. dom S.1 -> ( x e. RR |-> ( F ` x ) ) e. L^1 )
6	2, 5	itgreval 23563	. 2 |- ( F e. dom S.1 -> S. RR ( F ` x ) _d x = ( S. RR if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) _d x - S. RR if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) _d x ) )
7		0re 10040	. . . . . . 7 |- 0 e. RR
8		ifcl 4130	. . . . . . 7 |- ( ( ( F ` x ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) e. RR )
9	2, 7, 8	sylancl 694	. . . . . 6 |- ( ( F e. dom S.1 /\ x e. RR ) -> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) e. RR )
10		max1 12016	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. RR /\ ( F ` x ) e. RR ) -> 0 <_ if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) )
11	7, 2, 10	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( ( F e. dom S.1 /\ x e. RR ) -> 0 <_ if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) )
12		id 22	. . . . . . . . 9 |- ( F e. dom S.1 -> F e. dom S.1 )
13	3, 12	eqeltrrd 2702	. . . . . . . 8 |- ( F e. dom S.1 -> ( x e. RR |-> ( F ` x ) ) e. dom S.1 )
14	13	i1fposd 23474	. . . . . . 7 |- ( F e. dom S.1 -> ( x e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) ) e. dom S.1 )
15		i1fibl 23574	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) ) e. dom S.1 -> ( x e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) ) e. L^1 )
16	14, 15	syl 17	. . . . . 6 |- ( F e. dom S.1 -> ( x e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) ) e. L^1 )
17	9, 11, 16	itgitg2 23573	. . . . 5 |- ( F e. dom S.1 -> S. RR if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) _d x = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) ) ) )
18	11	ralrimiva 2966	. . . . . . . 8 |- ( F e. dom S.1 -> A. x e. RR 0 <_ if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) )
19		reex 10027	. . . . . . . . . 10 |- RR e. _V
20	19	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( F e. dom S.1 -> RR e. _V )
21	7	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. dom S.1 /\ x e. RR ) -> 0 e. RR )
22		fconstmpt 5163	. . . . . . . . . 10 |- ( RR X. { 0 } ) = ( x e. RR |-> 0 )
23	22	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( F e. dom S.1 -> ( RR X. { 0 } ) = ( x e. RR |-> 0 ) )
24		eqidd 2623	. . . . . . . . 9 |- ( F e. dom S.1 -> ( x e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) ) )
25	20, 21, 9, 23, 24	ofrfval2 6915	. . . . . . . 8 |- ( F e. dom S.1 -> ( ( RR X. { 0 } ) oR <_ ( x e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) ) <-> A. x e. RR 0 <_ if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) ) )
26	18, 25	mpbird 247	. . . . . . 7 |- ( F e. dom S.1 -> ( RR X. { 0 } ) oR <_ ( x e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) ) )
27		ax-resscn 9993	. . . . . . . . 9 |- RR C_ CC
28	27	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( F e. dom S.1 -> RR C_ CC )
29		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) )
30	9, 29	fmptd 6385	. . . . . . . . 9 |- ( F e. dom S.1 -> ( x e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) ) : RR --> RR )
31		ffn 6045	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) ) : RR --> RR -> ( x e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) ) Fn RR )
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( F e. dom S.1 -> ( x e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) ) Fn RR )
33	28, 32	0pledm 23440	. . . . . . 7 |- ( F e. dom S.1 -> ( 0p oR <_ ( x e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) ) <-> ( RR X. { 0 } ) oR <_ ( x e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) ) ) )
34	26, 33	mpbird 247	. . . . . 6 |- ( F e. dom S.1 -> 0p oR <_ ( x e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) ) )
35		itg2itg1 23503	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) ) e. dom S.1 /\ 0p oR <_ ( x e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) ) ) -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) ) ) = ( S.1 ` ( x e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) ) ) )
36	14, 34, 35	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( F e. dom S.1 -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) ) ) = ( S.1 ` ( x e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) ) ) )
37	17, 36	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( F e. dom S.1 -> S. RR if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) _d x = ( S.1 ` ( x e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) ) ) )
38	2	renegcld 10457	. . . . . . 7 |- ( ( F e. dom S.1 /\ x e. RR ) -> -u ( F ` x ) e. RR )
39		ifcl 4130	. . . . . . 7 |- ( ( -u ( F ` x ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) e. RR )
40	38, 7, 39	sylancl 694	. . . . . 6 |- ( ( F e. dom S.1 /\ x e. RR ) -> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) e. RR )
41		max1 12016	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. RR /\ -u ( F ` x ) e. RR ) -> 0 <_ if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) )
42	7, 38, 41	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( ( F e. dom S.1 /\ x e. RR ) -> 0 <_ if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) )
43		neg1rr 11125	. . . . . . . . . . . 12 |- -u 1 e. RR
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. dom S.1 /\ x e. RR ) -> -u 1 e. RR )
45		fconstmpt 5163	. . . . . . . . . . . 12 |- ( RR X. { -u 1 } ) = ( x e. RR |-> -u 1 )
46	45	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( F e. dom S.1 -> ( RR X. { -u 1 } ) = ( x e. RR |-> -u 1 ) )
47	20, 44, 2, 46, 3	offval2 6914	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. dom S.1 -> ( ( RR X. { -u 1 } ) oF x. F ) = ( x e. RR |-> ( -u 1 x. ( F ` x ) ) ) )
48	2	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. dom S.1 /\ x e. RR ) -> ( F ` x ) e. CC )
49	48	mulm1d 10482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. dom S.1 /\ x e. RR ) -> ( -u 1 x. ( F ` x ) ) = -u ( F ` x ) )
50	49	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. dom S.1 -> ( x e. RR |-> ( -u 1 x. ( F ` x ) ) ) = ( x e. RR |-> -u ( F ` x ) ) )
51	47, 50	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( F e. dom S.1 -> ( ( RR X. { -u 1 } ) oF x. F ) = ( x e. RR |-> -u ( F ` x ) ) )
52	43	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. dom S.1 -> -u 1 e. RR )
53	12, 52	i1fmulc 23470	. . . . . . . . 9 |- ( F e. dom S.1 -> ( ( RR X. { -u 1 } ) oF x. F ) e. dom S.1 )
54	51, 53	eqeltrrd 2702	. . . . . . . 8 |- ( F e. dom S.1 -> ( x e. RR |-> -u ( F ` x ) ) e. dom S.1 )
55	54	i1fposd 23474	. . . . . . 7 |- ( F e. dom S.1 -> ( x e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) e. dom S.1 )
56		i1fibl 23574	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) e. dom S.1 -> ( x e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) e. L^1 )
57	55, 56	syl 17	. . . . . 6 |- ( F e. dom S.1 -> ( x e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) e. L^1 )
58	40, 42, 57	itgitg2 23573	. . . . 5 |- ( F e. dom S.1 -> S. RR if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) _d x = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) ) )
59	42	ralrimiva 2966	. . . . . . . 8 |- ( F e. dom S.1 -> A. x e. RR 0 <_ if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) )
60		eqidd 2623	. . . . . . . . 9 |- ( F e. dom S.1 -> ( x e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) )
61	20, 21, 40, 23, 60	ofrfval2 6915	. . . . . . . 8 |- ( F e. dom S.1 -> ( ( RR X. { 0 } ) oR <_ ( x e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) <-> A. x e. RR 0 <_ if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) )
62	59, 61	mpbird 247	. . . . . . 7 |- ( F e. dom S.1 -> ( RR X. { 0 } ) oR <_ ( x e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) )
63		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) )
64	40, 63	fmptd 6385	. . . . . . . . 9 |- ( F e. dom S.1 -> ( x e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) : RR --> RR )
65		ffn 6045	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) : RR --> RR -> ( x e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) Fn RR )
66	64, 65	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( F e. dom S.1 -> ( x e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) Fn RR )
67	28, 66	0pledm 23440	. . . . . . 7 |- ( F e. dom S.1 -> ( 0p oR <_ ( x e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) <-> ( RR X. { 0 } ) oR <_ ( x e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) ) )
68	62, 67	mpbird 247	. . . . . 6 |- ( F e. dom S.1 -> 0p oR <_ ( x e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) )
69		itg2itg1 23503	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) e. dom S.1 /\ 0p oR <_ ( x e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) ) -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) ) = ( S.1 ` ( x e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) ) )
70	55, 68, 69	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( F e. dom S.1 -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) ) = ( S.1 ` ( x e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) ) )
71	58, 70	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( F e. dom S.1 -> S. RR if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) _d x = ( S.1 ` ( x e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) ) )
72	37, 71	oveq12d 6668	. . 3 |- ( F e. dom S.1 -> ( S. RR if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) _d x - S. RR if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) _d x ) = ( ( S.1 ` ( x e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) ) ) - ( S.1 ` ( x e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) )
73		itg1sub 23476	. . . 4 |- ( ( ( x e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) ) e. dom S.1 /\ ( x e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) e. dom S.1 ) -> ( S.1 ` ( ( x e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) ) oF - ( x e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) = ( ( S.1 ` ( x e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) ) ) - ( S.1 ` ( x e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) )
74	14, 55, 73	syl2anc 693	. . 3 |- ( F e. dom S.1 -> ( S.1 ` ( ( x e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) ) oF - ( x e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) = ( ( S.1 ` ( x e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) ) ) - ( S.1 ` ( x e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) )
75	72, 74	eqtr4d 2659	. 2 |- ( F e. dom S.1 -> ( S. RR if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) _d x - S. RR if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) _d x ) = ( S.1 ` ( ( x e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) ) oF - ( x e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) )
76		max0sub 12027	. . . . . 6 |- ( ( F ` x ) e. RR -> ( if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) - if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) = ( F ` x ) )
77	2, 76	syl 17	. . . . 5 |- ( ( F e. dom S.1 /\ x e. RR ) -> ( if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) - if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) = ( F ` x ) )
78	77	mpteq2dva 4744	. . . 4 |- ( F e. dom S.1 -> ( x e. RR |-> ( if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) - if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) ) = ( x e. RR |-> ( F ` x ) ) )
79	20, 9, 40, 24, 60	offval2 6914	. . . 4 |- ( F e. dom S.1 -> ( ( x e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) ) oF - ( x e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) ) = ( x e. RR |-> ( if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) - if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) ) )
80	78, 79, 3	3eqtr4d 2666	. . 3 |- ( F e. dom S.1 -> ( ( x e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) ) oF - ( x e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) ) = F )
81	80	fveq2d 6195	. 2 |- ( F e. dom S.1 -> ( S.1 ` ( ( x e. RR |-> if ( 0 <_ ( F ` x ) , ( F ` x ) , 0 ) ) oF - ( x e. RR |-> if ( 0 <_ -u ( F ` x ) , -u ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) = ( S.1 ` F ) )
82	6, 75, 81	3eqtrd 2660	1 |- ( F e. dom S.1 -> S. RR ( F ` x ) _d x = ( S.1 ` F ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   ifcif 4086   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   dom cdm 5114   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   oRcofr 6896   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   S.1citg1 23384   S.2citg2 23385   L^1cibl 23386   S.citg 23387   0pc0p 23436

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cmp 21190  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389  df-itg2 23390  df-ibl 23391  df-itg 23392  df-0p 23437

This theorem is referenced by: (None)