itgaddnclem2 - Mathbox for Brendan Leahy

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Theorem itgaddnclem2 33469

Description: Lemma for itgaddnc 33470; cf. itgaddlem2 23590. (Contributed by Brendan Leahy, 10-Nov-2017.) (Revised by Brendan Leahy, 3-Apr-2018.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
ibladdnc.1	$/\$
ibladdnc.2
ibladdnc.3	$/\$
ibladdnc.4
ibladdnc.m	MblFn
itgaddnclem.1	$/\$
itgaddnclem.2	$/\$

**Assertion**
Ref	Expression
itgaddnclem2

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

(

)

**Proof of Theorem itgaddnclem2**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgaddnclem.1	. . . . . . . . . 10 $/\$
2		max0sub 12027	. . . . . . . . . 10
3	1, 2	syl 17	. . . . . . . . 9 $/\$
4		itgaddnclem.2	. . . . . . . . . 10 $/\$
5		max0sub 12027	. . . . . . . . . 10
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . 9 $/\$
7	3, 6	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 $/\$
8		0re 10040	. . . . . . . . . . 11
9		ifcl 4130	. . . . . . . . . . 11 $/\$
10	1, 8, 9	sylancl 694	. . . . . . . . . 10 $/\$
11	10	recnd 10068	. . . . . . . . 9 $/\$
12		ifcl 4130	. . . . . . . . . . 11 $/\$
13	4, 8, 12	sylancl 694	. . . . . . . . . 10 $/\$
14	13	recnd 10068	. . . . . . . . 9 $/\$
15	1	renegcld 10457	. . . . . . . . . . 11 $/\$
16		ifcl 4130	. . . . . . . . . . 11 $/\$
17	15, 8, 16	sylancl 694	. . . . . . . . . 10 $/\$
18	17	recnd 10068	. . . . . . . . 9 $/\$
19	4	renegcld 10457	. . . . . . . . . . 11 $/\$
20		ifcl 4130	. . . . . . . . . . 11 $/\$
21	19, 8, 20	sylancl 694	. . . . . . . . . 10 $/\$
22	21	recnd 10068	. . . . . . . . 9 $/\$
23	11, 14, 18, 22	addsub4d 10439	. . . . . . . 8 $/\$
24	1, 4	readdcld 10069	. . . . . . . . 9 $/\$
25		max0sub 12027	. . . . . . . . 9
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . 8 $/\$
27	7, 23, 26	3eqtr4rd 2667	. . . . . . 7 $/\$
28	24	renegcld 10457	. . . . . . . . . 10 $/\$
29		ifcl 4130	. . . . . . . . . 10 $/\$
30	28, 8, 29	sylancl 694	. . . . . . . . 9 $/\$
31	30	recnd 10068	. . . . . . . 8 $/\$
32	10, 13	readdcld 10069	. . . . . . . . 9 $/\$
33	32	recnd 10068	. . . . . . . 8 $/\$
34		ifcl 4130	. . . . . . . . . 10 $/\$
35	24, 8, 34	sylancl 694	. . . . . . . . 9 $/\$
36	35	recnd 10068	. . . . . . . 8 $/\$
37	17, 21	readdcld 10069	. . . . . . . . 9 $/\$
38	37	recnd 10068	. . . . . . . 8 $/\$
39	31, 33, 36, 38	addsubeq4d 10443	. . . . . . 7 $/\$
40	27, 39	mpbird 247	. . . . . 6 $/\$
41	40	itgeq2dv 23548	. . . . 5
42		ibladdnc.2	. . . . . . . . 9
43		ibladdnc.4	. . . . . . . . 9
44		ibladdnc.m	. . . . . . . . 9 MblFn
45	1, 42, 4, 43, 44	ibladdnc 33467	. . . . . . . 8
46	24	iblre 23560	. . . . . . . 8 $/\$
47	45, 46	mpbid 222	. . . . . . 7 $/\$
48	47	simprd 479	. . . . . 6
49	1	iblre 23560	. . . . . . . . 9 $/\$
50	42, 49	mpbid 222	. . . . . . . 8 $/\$
51	50	simpld 475	. . . . . . 7
52	4	iblre 23560	. . . . . . . . 9 $/\$
53	43, 52	mpbid 222	. . . . . . . 8 $/\$
54	53	simpld 475	. . . . . . 7
55		iblmbf 23534	. . . . . . . . 9 MblFn
56	42, 55	syl 17	. . . . . . . 8 MblFn
57		iblmbf 23534	. . . . . . . . 9 MblFn
58	43, 57	syl 17	. . . . . . . 8 MblFn
59	56, 1, 58, 4, 44	mbfposadd 33457	. . . . . . 7 MblFn
60	10, 51, 13, 54, 59	ibladdnc 33467	. . . . . 6
61		max1 12016	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
62	8, 1, 61	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 $/\$
63		max1 12016	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
64	8, 4, 63	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 $/\$
65	10, 13, 62, 64	addge0d 10603	. . . . . . . . . 10 $/\$
66	65	iftrued 4094	. . . . . . . . 9 $/\$
67	66	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 $/\$
68	67	mpteq2dva 4744	. . . . . . 7
69	24, 44	mbfneg 23417	. . . . . . . 8 MblFn
70	1	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
71	4	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
72	70, 71	negdid 10405	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
73	72	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 $/\$
74	15	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
75	19	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
76	74, 75, 11, 14	add4d 10264	. . . . . . . . . . 11 $/\$
77		negeq 10273	. . . . . . . . . . . . . . . 16
78		neg0 10327	. . . . . . . . . . . . . . . 16
79	77, 78	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . 15
80		0le0 11110	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
81	80, 79	syl5breqr 4691	. . . . . . . . . . . . . . . 16
82	81	iftrued 4094	. . . . . . . . . . . . . . 15
83		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
84	80, 83	syl5breqr 4691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
85	84	iftrued 4094	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
86	85, 83	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
87	79, 86	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . 16
88		00id 10211	. . . . . . . . . . . . . . . 16
89	87, 88	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . 15
90	79, 82, 89	3eqtr4rd 2667	. . . . . . . . . . . . . 14
91	90	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
92		ovif2 6738	. . . . . . . . . . . . . 14
93	70	negne0bd 10385	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
94	93	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
95	1	le0neg2d 10600	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
96		leloe 10124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $\/$
97	15, 8, 96	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $\/$
98	95, 97	bitrd 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $\/$
99		df-ne 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
100		biorf 420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $\/$
101	99, 100	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $\/$
102		orcom 402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $\/$ $\/$
103	101, 102	syl6rbb 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $\/$
104	98, 103	sylan9bb 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
105	94, 104	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
106		ltnle 10117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
107	15, 8, 106	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
108	107	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
109	105, 108	bitrd 268	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
110	74, 70	addcomd 10238	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
111	70	negidd 10382	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
112	110, 111	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
113	112	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
114	74	addid1d 10236	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
115	114	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
116	109, 113, 115	ifbieq12d 4113	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
117		ifnot 4133	. . . . . . . . . . . . . . 15
118	116, 117	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
119	92, 118	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
120	91, 119	pm2.61dane 2881	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
121		negeq 10273	. . . . . . . . . . . . . . . 16
122	121, 78	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . 15
123	80, 122	syl5breqr 4691	. . . . . . . . . . . . . . . 16
124	123	iftrued 4094	. . . . . . . . . . . . . . 15
125		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
126	80, 125	syl5breqr 4691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
127	126	iftrued 4094	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
128	127, 125	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
129	122, 128	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . 16
130	129, 88	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . 15
131	122, 124, 130	3eqtr4rd 2667	. . . . . . . . . . . . . 14
132	131	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
133		ovif2 6738	. . . . . . . . . . . . . 14
134	71	negne0bd 10385	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
135	134	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
136	4	le0neg2d 10600	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
137		leloe 10124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $\/$
138	19, 8, 137	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $\/$
139	136, 138	bitrd 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $\/$
140		df-ne 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
141		biorf 420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $\/$
142	140, 141	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $\/$
143		orcom 402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $\/$ $\/$
144	142, 143	syl6rbb 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $\/$
145	139, 144	sylan9bb 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
146	135, 145	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
147		ltnle 10117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
148	19, 8, 147	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
149	148	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
150	146, 149	bitrd 268	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
151	75, 71	addcomd 10238	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
152	71	negidd 10382	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
153	151, 152	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
154	153	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
155	75	addid1d 10236	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
156	155	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
157	150, 154, 156	ifbieq12d 4113	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
158		ifnot 4133	. . . . . . . . . . . . . . 15
159	157, 158	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
160	133, 159	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
161	132, 160	pm2.61dane 2881	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
162	120, 161	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 $/\$
163	73, 76, 162	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . 10 $/\$
164	163	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . 9
165	1, 56	mbfneg 23417	. . . . . . . . . 10 MblFn
166	4, 58	mbfneg 23417	. . . . . . . . . 10 MblFn
167	72	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . . . 11
168	167, 69	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . 10 MblFn
169	165, 15, 166, 19, 168	mbfposadd 33457	. . . . . . . . 9 MblFn
170	164, 169	eqeltrd 2701	. . . . . . . 8 MblFn
171	69, 28, 59, 32, 170	mbfposadd 33457	. . . . . . 7 MblFn
172	68, 171	eqeltrrd 2702	. . . . . 6 MblFn
173		max1 12016	. . . . . . 7 $/\$
174	8, 28, 173	sylancr 695	. . . . . 6 $/\$
175	30, 48, 32, 60, 172, 30, 32, 174, 65	itgaddnclem1 33468	. . . . 5
176	47	simpld 475	. . . . . 6
177	50	simprd 479	. . . . . . 7
178	53	simprd 479	. . . . . . 7
179	17, 177, 21, 178, 169	ibladdnc 33467	. . . . . 6
180		max1 12016	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
181	8, 15, 180	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 $/\$
182		max1 12016	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
183	8, 19, 182	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 $/\$
184	17, 21, 181, 183	addge0d 10603	. . . . . . . . . 10 $/\$
185	184	iftrued 4094	. . . . . . . . 9 $/\$
186	185	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 $/\$
187	186	mpteq2dva 4744	. . . . . . 7
188	70, 71, 18, 22	add4d 10264	. . . . . . . . . . 11 $/\$
189	82, 79	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
190	83, 189	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . 16
191	190, 88	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . 15
192	83, 85, 191	3eqtr4rd 2667	. . . . . . . . . . . . . 14
193	192	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
194		ovif2 6738	. . . . . . . . . . . . . 14
195	1	le0neg1d 10599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
196		leloe 10124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $\/$
197	1, 8, 196	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $\/$
198	195, 197	bitr3d 270	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $\/$
199		df-ne 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
200		biorf 420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $\/$
201	199, 200	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $\/$
202		orcom 402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $\/$ $\/$
203	201, 202	syl6rbb 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $\/$
204	198, 203	sylan9bb 736	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
205		ltnle 10117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
206	1, 8, 205	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
207	206	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
208	204, 207	bitrd 268	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
209	111	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
210	70	addid1d 10236	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
211	210	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
212	208, 209, 211	ifbieq12d 4113	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
213		ifnot 4133	. . . . . . . . . . . . . . 15
214	212, 213	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
215	194, 214	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
216	193, 215	pm2.61dane 2881	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
217	124, 122	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
218	125, 217	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . 16
219	218, 88	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . 15
220	125, 127, 219	3eqtr4rd 2667	. . . . . . . . . . . . . 14
221	220	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
222		ovif2 6738	. . . . . . . . . . . . . 14
223	4	le0neg1d 10599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
224		leloe 10124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $\/$
225	4, 8, 224	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $\/$
226	223, 225	bitr3d 270	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $\/$
227		df-ne 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
228		biorf 420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $\/$
229	227, 228	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $\/$
230		orcom 402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $\/$ $\/$
231	229, 230	syl6rbb 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $\/$
232	226, 231	sylan9bb 736	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
233		ltnle 10117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
234	4, 8, 233	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
235	234	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
236	232, 235	bitrd 268	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
237	152	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
238	71	addid1d 10236	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
239	238	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
240	236, 237, 239	ifbieq12d 4113	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
241		ifnot 4133	. . . . . . . . . . . . . . 15
242	240, 241	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
243	222, 242	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
244	221, 243	pm2.61dane 2881	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
245	216, 244	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 $/\$
246	188, 245	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 $/\$
247	246	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . 9
248	247, 59	eqeltrd 2701	. . . . . . . 8 MblFn
249	44, 24, 169, 37, 248	mbfposadd 33457	. . . . . . 7 MblFn
250	187, 249	eqeltrrd 2702	. . . . . 6 MblFn
251		max1 12016	. . . . . . 7 $/\$
252	8, 24, 251	sylancr 695	. . . . . 6 $/\$
253	35, 176, 37, 179, 250, 35, 37, 252, 184	itgaddnclem1 33468	. . . . 5
254	41, 175, 253	3eqtr3d 2664	. . . 4
255	30, 48	itgcl 23550	. . . . 5
256	10, 51, 13, 54, 59, 10, 13, 62, 64	itgaddnclem1 33468	. . . . . 6
257	10, 51	itgcl 23550	. . . . . . 7
258	13, 54	itgcl 23550	. . . . . . 7
259	257, 258	addcld 10059	. . . . . 6
260	256, 259	eqeltrd 2701	. . . . 5
261	35, 176	itgcl 23550	. . . . 5
262	17, 177, 21, 178, 169, 17, 21, 181, 183	itgaddnclem1 33468	. . . . . 6
263	17, 177	itgcl 23550	. . . . . . 7
264	21, 178	itgcl 23550	. . . . . . 7
265	263, 264	addcld 10059	. . . . . 6
266	262, 265	eqeltrd 2701	. . . . 5
267	255, 260, 261, 266	addsubeq4d 10443	. . . 4
268	254, 267	mpbid 222	. . 3
269	256, 262	oveq12d 6668	. . 3
270	257, 258, 263, 264	addsub4d 10439	. . 3
271	268, 269, 270	3eqtrd 2660	. 2
272	24, 45	itgreval 23563	. 2
273	1, 42	itgreval 23563	. . 3
274	4, 43	itgreval 23563	. . 3
275	273, 274	oveq12d 6668	. 2
276	271, 272, 275	3eqtr4d 2666	1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $\/$ wo 383 $/\$ wa 384

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794

cif 4086 class class class wbr 4653

cmpt 4729 (class class class)co 6650

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

caddc 9939

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cneg 10267 MblFncmbf 23383

cibl 23386

citg 23387

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014 ax-addf 10015

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-disj 4621 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-of 6897 df-ofr 6898 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-pm 7860 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-fi 8317 df-sup 8348 df-inf 8349 df-oi 8415 df-card 8765 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-4 11081 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-xneg 11946 df-xadd 11947 df-xmul 11948 df-ioo 12179 df-ico 12181 df-icc 12182 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-mod 12669 df-seq 12802 df-exp 12861 df-hash 13118 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-clim 14219 df-sum 14417 df-rest 16083 df-topgen 16104 df-psmet 19738 df-xmet 19739 df-met 19740 df-bl 19741 df-mopn 19742 df-top 20699 df-topon 20716 df-bases 20750 df-cmp 21190 df-ovol 23233 df-vol 23234 df-mbf 23388 df-itg1 23389 df-itg2 23390 df-ibl 23391 df-itg 23392 df-0p 23437

This theorem is referenced by: itgaddnc 33470

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