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Theorem itgmulc2nclem2 33477
Description: Lemma for itgmulc2nc 33478; cf. itgmulc2lem2 23599. (Contributed by Brendan Leahy, 19-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
itgmulc2nc.1 |- ( ph -> C e. CC )
itgmulc2nc.2 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. V )
itgmulc2nc.3 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. L^1 )
itgmulc2nc.m |- ( ph -> ( x e. A |-> ( C x. B ) ) e. MblFn )
itgmulc2nc.4 |- ( ph -> C e. RR )
itgmulc2nc.5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR )
Assertion
Ref Expression
itgmulc2nclem2 |- ( ph -> ( C x. S. A B _d x ) = S. A ( C x. B ) _d x )
Distinct variable groups:   x, A   x, C   ph, x   x, V
Allowed substitution hint:   B( x)
Proof of Theorem itgmulc2nclem2
StepHypRef Expression
1 itgmulc2nc.4 . . . . . . 7 |- ( ph -> C e. RR )
2 max0sub 12027 . . . . . . 7 |- ( C e. RR -> ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) - if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) ) = C )
31, 2syl 17 . . . . . 6 |- ( ph -> ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) - if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) ) = C )
43oveq1d 6665 . . . . 5 |- ( ph -> ( ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) - if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) ) x. B ) = ( C x. B ) )
54adantr 481 . . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) - if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) ) x. B ) = ( C x. B ) )
6 0re 10040 . . . . . . . 8 |- 0 e. RR
7 ifcl 4130 . . . . . . . 8 |- ( ( C e. RR /\ 0 e. RR ) -> if ( 0 <_ C , C , 0 ) e. RR )
81, 6, 7sylancl 694 . . . . . . 7 |- ( ph -> if ( 0 <_ C , C , 0 ) e. RR )
98recnd 10068 . . . . . 6 |- ( ph -> if ( 0 <_ C , C , 0 ) e. CC )
109adantr 481 . . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ C , C , 0 ) e. CC )
111renegcld 10457 . . . . . . . 8 |- ( ph -> -u C e. RR )
12 ifcl 4130 . . . . . . . 8 |- ( ( -u C e. RR /\ 0 e. RR ) -> if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) e. RR )
1311, 6, 12sylancl 694 . . . . . . 7 |- ( ph -> if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) e. RR )
1413recnd 10068 . . . . . 6 |- ( ph -> if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) e. CC )
1514adantr 481 . . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) e. CC )
16 itgmulc2nc.5 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR )
1716recnd 10068 . . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. CC )
1810, 15, 17subdird 10487 . . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) - if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) ) x. B ) = ( ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. B ) - ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. B ) ) )
195, 18eqtr3d 2658 . . 3 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( C x. B ) = ( ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. B ) - ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. B ) ) )
2019itgeq2dv 23548 . 2 |- ( ph -> S. A ( C x. B ) _d x = S. A ( ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. B ) - ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. B ) ) _d x )
21 ovexd 6680 . . 3 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. B ) e. _V )
22 itgmulc2nc.3 . . . 4 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. L^1 )
23 itgmulc2nc.m . . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( C x. B ) ) e. MblFn )
24 ovexd 6680 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( C x. B ) e. _V )
2523, 24mbfdm2 23405 . . . . . 6 |- ( ph -> A e. dom vol )
268adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ C , C , 0 ) e. RR )
27 fconstmpt 5163 . . . . . . 7 |- ( A X. { if ( 0 <_ C , C , 0 ) } ) = ( x e. A |-> if ( 0 <_ C , C , 0 ) )
2827a1i 11 . . . . . 6 |- ( ph -> ( A X. { if ( 0 <_ C , C , 0 ) } ) = ( x e. A |-> if ( 0 <_ C , C , 0 ) ) )
29 eqidd 2623 . . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> B ) )
3025, 26, 16, 28, 29offval2 6914 . . . . 5 |- ( ph -> ( ( A X. { if ( 0 <_ C , C , 0 ) } ) oF x. ( x e. A |-> B ) ) = ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. B ) ) )
31 iblmbf 23534 . . . . . . 7 |- ( ( x e. A |-> B ) e. L^1 -> ( x e. A |-> B ) e. MblFn )
3222, 31syl 17 . . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. MblFn )
33 eqid 2622 . . . . . . 7 |- ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> B )
3417, 33fmptd 6385 . . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) : A --> CC )
3532, 8, 34mbfmulc2re 23415 . . . . 5 |- ( ph -> ( ( A X. { if ( 0 <_ C , C , 0 ) } ) oF x. ( x e. A |-> B ) ) e. MblFn )
3630, 35eqeltrrd 2702 . . . 4 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. B ) ) e. MblFn )
379, 16, 22, 36iblmulc2nc 33475 . . 3 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. B ) ) e. L^1 )
38 ovexd 6680 . . 3 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. B ) e. _V )
3913adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) e. RR )
40 fconstmpt 5163 . . . . . . 7 |- ( A X. { if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) } ) = ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) )
4140a1i 11 . . . . . 6 |- ( ph -> ( A X. { if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) } ) = ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) ) )
4225, 39, 16, 41, 29offval2 6914 . . . . 5 |- ( ph -> ( ( A X. { if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) } ) oF x. ( x e. A |-> B ) ) = ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. B ) ) )
4332, 13, 34mbfmulc2re 23415 . . . . 5 |- ( ph -> ( ( A X. { if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) } ) oF x. ( x e. A |-> B ) ) e. MblFn )
4442, 43eqeltrrd 2702 . . . 4 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. B ) ) e. MblFn )
4514, 16, 22, 44iblmulc2nc 33475 . . 3 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. B ) ) e. L^1 )
4619mpteq2dva 4744 . . . 4 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( C x. B ) ) = ( x e. A |-> ( ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. B ) - ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. B ) ) ) )
4746, 23eqeltrrd 2702 . . 3 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. B ) - ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. B ) ) ) e. MblFn )
4821, 37, 38, 45, 47itgsubnc 33472 . 2 |- ( ph -> S. A ( ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. B ) - ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. B ) ) _d x = ( S. A ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. B ) _d x - S. A ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. B ) _d x ) )
49 ovexd 6680 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) e. _V )
50 ifcl 4130 . . . . . . . 8 |- ( ( B e. RR /\ 0 e. RR ) -> if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. RR )
5116, 6, 50sylancl 694 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. RR )
5216iblre 23560 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> B ) e. L^1 <-> ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) e. L^1 /\ ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) e. L^1 ) ) )
5322, 52mpbid 222 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) e. L^1 /\ ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) e. L^1 ) )
5453simpld 475 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) e. L^1 )
55 eqidd 2623 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) = ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) )
5625, 26, 51, 28, 55offval2 6914 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A X. { if ( 0 <_ C , C , 0 ) } ) oF x. ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) ) = ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) ) )
5716, 32mbfpos 23418 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) e. MblFn )
5851recnd 10068 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ B , B , 0 ) e. CC )
59 eqid 2622 . . . . . . . . . 10 |- ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) = ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) )
6058, 59fmptd 6385 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) : A --> CC )
6157, 8, 60mbfmulc2re 23415 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A X. { if ( 0 <_ C , C , 0 ) } ) oF x. ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) ) e. MblFn )
6256, 61eqeltrrd 2702 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) ) e. MblFn )
639, 51, 54, 62iblmulc2nc 33475 . . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) ) e. L^1 )
64 ovexd 6680 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) e. _V )
6516renegcld 10457 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> -u B e. RR )
66 ifcl 4130 . . . . . . . 8 |- ( ( -u B e. RR /\ 0 e. RR ) -> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) e. RR )
6765, 6, 66sylancl 694 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) e. RR )
6853simprd 479 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) e. L^1 )
69 eqidd 2623 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) = ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) )
7025, 26, 67, 28, 69offval2 6914 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A X. { if ( 0 <_ C , C , 0 ) } ) oF x. ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) = ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) )
7116, 32mbfneg 23417 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. A |-> -u B ) e. MblFn )
7265, 71mbfpos 23418 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) e. MblFn )
7367recnd 10068 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) e. CC )
74 eqid 2622 . . . . . . . . . 10 |- ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) = ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) )
7573, 74fmptd 6385 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) : A --> CC )
7672, 8, 75mbfmulc2re 23415 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A X. { if ( 0 <_ C , C , 0 ) } ) oF x. ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) e. MblFn )
7770, 76eqeltrrd 2702 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) e. MblFn )
789, 67, 68, 77iblmulc2nc 33475 . . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) e. L^1 )
79 max0sub 12027 . . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. RR -> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) - if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) = B )
8016, 79syl 17 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) - if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) = B )
8180oveq2d 6666 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) - if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) = ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. B ) )
8210, 58, 73subdid 10486 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) - if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) = ( ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) - ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) )
8381, 82eqtr3d 2658 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. B ) = ( ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) - ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) )
8483mpteq2dva 4744 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. B ) ) = ( x e. A |-> ( ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) - ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) ) )
8530, 84eqtrd 2656 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( A X. { if ( 0 <_ C , C , 0 ) } ) oF x. ( x e. A |-> B ) ) = ( x e. A |-> ( ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) - ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) ) )
8685, 35eqeltrrd 2702 . . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) - ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) ) e. MblFn )
8749, 63, 64, 78, 86itgsubnc 33472 . . . . 5 |- ( ph -> S. A ( ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) - ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) _d x = ( S. A ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) _d x - S. A ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) _d x ) )
8883itgeq2dv 23548 . . . . 5 |- ( ph -> S. A ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. B ) _d x = S. A ( ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) - ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) _d x )
8916, 22itgreval 23563 . . . . . . 7 |- ( ph -> S. A B _d x = ( S. A if ( 0 <_ B , B , 0 ) _d x - S. A if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) _d x ) )
9089oveq2d 6666 . . . . . 6 |- ( ph -> ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. S. A B _d x ) = ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. ( S. A if ( 0 <_ B , B , 0 ) _d x - S. A if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) _d x ) ) )
9151, 54itgcl 23550 . . . . . . 7 |- ( ph -> S. A if ( 0 <_ B , B , 0 ) _d x e. CC )
9267, 68itgcl 23550 . . . . . . 7 |- ( ph -> S. A if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) _d x e. CC )
939, 91, 92subdid 10486 . . . . . 6 |- ( ph -> ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. ( S. A if ( 0 <_ B , B , 0 ) _d x - S. A if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) _d x ) ) = ( ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. S. A if ( 0 <_ B , B , 0 ) _d x ) - ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. S. A if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) _d x ) ) )
94 max1 12016 . . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. RR /\ C e. RR ) -> 0 <_ if ( 0 <_ C , C , 0 ) )
956, 1, 94sylancr 695 . . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 <_ if ( 0 <_ C , C , 0 ) )
96 max1 12016 . . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. RR /\ B e. RR ) -> 0 <_ if ( 0 <_ B , B , 0 ) )
976, 16, 96sylancr 695 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 <_ if ( 0 <_ B , B , 0 ) )
989, 51, 54, 62, 8, 51, 95, 97itgmulc2nclem1 33476 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. S. A if ( 0 <_ B , B , 0 ) _d x ) = S. A ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) _d x )
99 max1 12016 . . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. RR /\ -u B e. RR ) -> 0 <_ if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) )
1006, 65, 99sylancr 695 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 <_ if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) )
1019, 67, 68, 77, 8, 67, 95, 100itgmulc2nclem1 33476 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. S. A if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) _d x ) = S. A ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) _d x )
10298, 101oveq12d 6668 . . . . . 6 |- ( ph -> ( ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. S. A if ( 0 <_ B , B , 0 ) _d x ) - ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. S. A if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) _d x ) ) = ( S. A ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) _d x - S. A ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) _d x ) )
10390, 93, 1023eqtrd 2660 . . . . 5 |- ( ph -> ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. S. A B _d x ) = ( S. A ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) _d x - S. A ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) _d x ) )
10487, 88, 1033eqtr4d 2666 . . . 4 |- ( ph -> S. A ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. B ) _d x = ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. S. A B _d x ) )
105 ovexd 6680 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) e. _V )
10625, 39, 51, 41, 55offval2 6914 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A X. { if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) } ) oF x. ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) ) = ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) ) )
10757, 13, 60mbfmulc2re 23415 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A X. { if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) } ) oF x. ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) ) e. MblFn )
108106, 107eqeltrrd 2702 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) ) e. MblFn )
10914, 51, 54, 108iblmulc2nc 33475 . . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) ) e. L^1 )
110 ovexd 6680 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) e. _V )
11125, 39, 67, 41, 69offval2 6914 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A X. { if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) } ) oF x. ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) = ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) )
11272, 13, 75mbfmulc2re 23415 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A X. { if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) } ) oF x. ( x e. A |-> if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) e. MblFn )
113111, 112eqeltrrd 2702 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) e. MblFn )
11414, 67, 68, 113iblmulc2nc 33475 . . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) e. L^1 )
11580oveq2d 6666 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) - if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) = ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. B ) )
11615, 58, 73subdid 10486 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. ( if ( 0 <_ B , B , 0 ) - if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) = ( ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) - ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) )
117115, 116eqtr3d 2658 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. B ) = ( ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) - ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) )
118117mpteq2dva 4744 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. B ) ) = ( x e. A |-> ( ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) - ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) ) )
11942, 118eqtrd 2656 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( A X. { if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) } ) oF x. ( x e. A |-> B ) ) = ( x e. A |-> ( ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) - ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) ) )
120119, 43eqeltrrd 2702 . . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) - ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) ) e. MblFn )
121105, 109, 110, 114, 120itgsubnc 33472 . . . . 5 |- ( ph -> S. A ( ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) - ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) _d x = ( S. A ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) _d x - S. A ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) _d x ) )
122117itgeq2dv 23548 . . . . 5 |- ( ph -> S. A ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. B ) _d x = S. A ( ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) - ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) ) _d x )
12389oveq2d 6666 . . . . . 6 |- ( ph -> ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. S. A B _d x ) = ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. ( S. A if ( 0 <_ B , B , 0 ) _d x - S. A if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) _d x ) ) )
12414, 91, 92subdid 10486 . . . . . 6 |- ( ph -> ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. ( S. A if ( 0 <_ B , B , 0 ) _d x - S. A if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) _d x ) ) = ( ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. S. A if ( 0 <_ B , B , 0 ) _d x ) - ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. S. A if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) _d x ) ) )
125 max1 12016 . . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. RR /\ -u C e. RR ) -> 0 <_ if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) )
1266, 11, 125sylancr 695 . . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 <_ if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) )
12714, 51, 54, 108, 13, 51, 126, 97itgmulc2nclem1 33476 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. S. A if ( 0 <_ B , B , 0 ) _d x ) = S. A ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) _d x )
12814, 67, 68, 113, 13, 67, 126, 100itgmulc2nclem1 33476 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. S. A if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) _d x ) = S. A ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) _d x )
129127, 128oveq12d 6668 . . . . . 6 |- ( ph -> ( ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. S. A if ( 0 <_ B , B , 0 ) _d x ) - ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. S. A if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) _d x ) ) = ( S. A ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) _d x - S. A ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) _d x ) )
130123, 124, 1293eqtrd 2660 . . . . 5 |- ( ph -> ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. S. A B _d x ) = ( S. A ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) _d x - S. A ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. if ( 0 <_ -u B , -u B , 0 ) ) _d x ) )
131121, 122, 1303eqtr4d 2666 . . . 4 |- ( ph -> S. A ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. B ) _d x = ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. S. A B _d x ) )
132104, 131oveq12d 6668 . . 3 |- ( ph -> ( S. A ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. B ) _d x - S. A ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. B ) _d x ) = ( ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. S. A B _d x ) - ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. S. A B _d x ) ) )
13316, 22itgcl 23550 . . . 4 |- ( ph -> S. A B _d x e. CC )
1349, 14, 133subdird 10487 . . 3 |- ( ph -> ( ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) - if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) ) x. S. A B _d x ) = ( ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. S. A B _d x ) - ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. S. A B _d x ) ) )
1353oveq1d 6665 . . 3 |- ( ph -> ( ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) - if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) ) x. S. A B _d x ) = ( C x. S. A B _d x ) )
136132, 134, 1353eqtr2d 2662 . 2 |- ( ph -> ( S. A ( if ( 0 <_ C , C , 0 ) x. B ) _d x - S. A ( if ( 0 <_ -u C , -u C , 0 ) x. B ) _d x ) = ( C x. S. A B _d x ) )
13720, 48, 1363eqtrrd 2661 1 |- ( ph -> ( C x. S. A B _d x ) = S. A ( C x. B ) _d x )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   ifcif 4086   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   dom cdm 5114  (class class class)co 6650   oFcof 6895   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   x. cmul 9941   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   volcvol 23232  MblFncmbf 23383   L^1cibl 23386   S.citg 23387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cmp 21190  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389  df-itg2 23390  df-ibl 23391  df-itg 23392  df-0p 23437
This theorem is referenced by:  itgmulc2nc  33478
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