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Theorem itgconst 23585
Description: Integral of a constant function. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
itgconst |- ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) -> S. A B _d x = ( B x. ( vol ` A ) ) )
Distinct variable groups:   x, A   x, B
Proof of Theorem itgconst
Dummy variable y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 recl 13850 . . . . . 6 |- ( B e. CC -> ( Re ` B ) e. RR )
213ad2ant3 1084 . . . . 5 |- ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) -> ( Re ` B ) e. RR )
3 simplr 792 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) /\ y e. RR ) /\ x e. A ) -> y e. RR )
4 fconstmpt 5163 . . . . . . . . 9 |- ( A X. { y } ) = ( x e. A |-> y )
5 simpl1 1064 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) /\ y e. RR ) -> A e. dom vol )
6 simp2 1062 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) -> ( vol ` A ) e. RR )
76adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) /\ y e. RR ) -> ( vol ` A ) e. RR )
8 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) /\ y e. RR ) -> y e. RR )
98recnd 10068 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) /\ y e. RR ) -> y e. CC )
10 iblconst 23584 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ y e. CC ) -> ( A X. { y } ) e. L^1 )
115, 7, 9, 10syl3anc 1326 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) /\ y e. RR ) -> ( A X. { y } ) e. L^1 )
124, 11syl5eqelr 2706 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) /\ y e. RR ) -> ( x e. A |-> y ) e. L^1 )
133, 12itgrevallem1 23561 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) /\ y e. RR ) -> S. A y _d x = ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ y ) , y , 0 ) ) ) - ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u y ) , -u y , 0 ) ) ) ) )
14 ifan 4134 . . . . . . . . . . . 12 |- if ( ( x e. A /\ 0 <_ y ) , y , 0 ) = if ( x e. A , if ( 0 <_ y , y , 0 ) , 0 )
1514mpteq2i 4741 . . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ y ) , y , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , if ( 0 <_ y , y , 0 ) , 0 ) )
1615fveq2i 6194 . . . . . . . . . 10 |- ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ y ) , y , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , if ( 0 <_ y , y , 0 ) , 0 ) ) )
17 0re 10040 . . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. RR
18 ifcl 4130 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. RR /\ 0 e. RR ) -> if ( 0 <_ y , y , 0 ) e. RR )
198, 17, 18sylancl 694 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) /\ y e. RR ) -> if ( 0 <_ y , y , 0 ) e. RR )
20 max1 12016 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 e. RR /\ y e. RR ) -> 0 <_ if ( 0 <_ y , y , 0 ) )
2117, 8, 20sylancr 695 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) /\ y e. RR ) -> 0 <_ if ( 0 <_ y , y , 0 ) )
22 elrege0 12278 . . . . . . . . . . . 12 |- ( if ( 0 <_ y , y , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( if ( 0 <_ y , y , 0 ) e. RR /\ 0 <_ if ( 0 <_ y , y , 0 ) ) )
2319, 21, 22sylanbrc 698 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) /\ y e. RR ) -> if ( 0 <_ y , y , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
24 itg2const 23507 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ if ( 0 <_ y , y , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , if ( 0 <_ y , y , 0 ) , 0 ) ) ) = ( if ( 0 <_ y , y , 0 ) x. ( vol ` A ) ) )
255, 7, 23, 24syl3anc 1326 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) /\ y e. RR ) -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , if ( 0 <_ y , y , 0 ) , 0 ) ) ) = ( if ( 0 <_ y , y , 0 ) x. ( vol ` A ) ) )
2616, 25syl5eq 2668 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) /\ y e. RR ) -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ y ) , y , 0 ) ) ) = ( if ( 0 <_ y , y , 0 ) x. ( vol ` A ) ) )
27 ifan 4134 . . . . . . . . . . . 12 |- if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u y ) , -u y , 0 ) = if ( x e. A , if ( 0 <_ -u y , -u y , 0 ) , 0 )
2827mpteq2i 4741 . . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u y ) , -u y , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , if ( 0 <_ -u y , -u y , 0 ) , 0 ) )
2928fveq2i 6194 . . . . . . . . . 10 |- ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u y ) , -u y , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , if ( 0 <_ -u y , -u y , 0 ) , 0 ) ) )
30 renegcl 10344 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. RR -> -u y e. RR )
3130adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) /\ y e. RR ) -> -u y e. RR )
32 ifcl 4130 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -u y e. RR /\ 0 e. RR ) -> if ( 0 <_ -u y , -u y , 0 ) e. RR )
3331, 17, 32sylancl 694 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) /\ y e. RR ) -> if ( 0 <_ -u y , -u y , 0 ) e. RR )
34 max1 12016 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 e. RR /\ -u y e. RR ) -> 0 <_ if ( 0 <_ -u y , -u y , 0 ) )
3517, 31, 34sylancr 695 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) /\ y e. RR ) -> 0 <_ if ( 0 <_ -u y , -u y , 0 ) )
36 elrege0 12278 . . . . . . . . . . . 12 |- ( if ( 0 <_ -u y , -u y , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( if ( 0 <_ -u y , -u y , 0 ) e. RR /\ 0 <_ if ( 0 <_ -u y , -u y , 0 ) ) )
3733, 35, 36sylanbrc 698 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) /\ y e. RR ) -> if ( 0 <_ -u y , -u y , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
38 itg2const 23507 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ if ( 0 <_ -u y , -u y , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , if ( 0 <_ -u y , -u y , 0 ) , 0 ) ) ) = ( if ( 0 <_ -u y , -u y , 0 ) x. ( vol ` A ) ) )
395, 7, 37, 38syl3anc 1326 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) /\ y e. RR ) -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , if ( 0 <_ -u y , -u y , 0 ) , 0 ) ) ) = ( if ( 0 <_ -u y , -u y , 0 ) x. ( vol ` A ) ) )
4029, 39syl5eq 2668 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) /\ y e. RR ) -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u y ) , -u y , 0 ) ) ) = ( if ( 0 <_ -u y , -u y , 0 ) x. ( vol ` A ) ) )
4126, 40oveq12d 6668 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) /\ y e. RR ) -> ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ y ) , y , 0 ) ) ) - ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u y ) , -u y , 0 ) ) ) ) = ( ( if ( 0 <_ y , y , 0 ) x. ( vol ` A ) ) - ( if ( 0 <_ -u y , -u y , 0 ) x. ( vol ` A ) ) ) )
4219recnd 10068 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) /\ y e. RR ) -> if ( 0 <_ y , y , 0 ) e. CC )
4333recnd 10068 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) /\ y e. RR ) -> if ( 0 <_ -u y , -u y , 0 ) e. CC )
446recnd 10068 . . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) -> ( vol ` A ) e. CC )
4544adantr 481 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) /\ y e. RR ) -> ( vol ` A ) e. CC )
4642, 43, 45subdird 10487 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) /\ y e. RR ) -> ( ( if ( 0 <_ y , y , 0 ) - if ( 0 <_ -u y , -u y , 0 ) ) x. ( vol ` A ) ) = ( ( if ( 0 <_ y , y , 0 ) x. ( vol ` A ) ) - ( if ( 0 <_ -u y , -u y , 0 ) x. ( vol ` A ) ) ) )
47 max0sub 12027 . . . . . . . . . 10 |- ( y e. RR -> ( if ( 0 <_ y , y , 0 ) - if ( 0 <_ -u y , -u y , 0 ) ) = y )
4847adantl 482 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) /\ y e. RR ) -> ( if ( 0 <_ y , y , 0 ) - if ( 0 <_ -u y , -u y , 0 ) ) = y )
4948oveq1d 6665 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) /\ y e. RR ) -> ( ( if ( 0 <_ y , y , 0 ) - if ( 0 <_ -u y , -u y , 0 ) ) x. ( vol ` A ) ) = ( y x. ( vol ` A ) ) )
5041, 46, 493eqtr2rd 2663 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) /\ y e. RR ) -> ( y x. ( vol ` A ) ) = ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ y ) , y , 0 ) ) ) - ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ -u y ) , -u y , 0 ) ) ) ) )
5113, 50eqtr4d 2659 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) /\ y e. RR ) -> S. A y _d x = ( y x. ( vol ` A ) ) )
5251ralrimiva 2966 . . . . 5 |- ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) -> A. y e. RR S. A y _d x = ( y x. ( vol ` A ) ) )
53 simpl 473 . . . . . . . 8 |- ( ( y = ( Re ` B ) /\ x e. A ) -> y = ( Re ` B ) )
5453itgeq2dv 23548 . . . . . . 7 |- ( y = ( Re ` B ) -> S. A y _d x = S. A ( Re ` B ) _d x )
55 oveq1 6657 . . . . . . 7 |- ( y = ( Re ` B ) -> ( y x. ( vol ` A ) ) = ( ( Re ` B ) x. ( vol ` A ) ) )
5654, 55eqeq12d 2637 . . . . . 6 |- ( y = ( Re ` B ) -> ( S. A y _d x = ( y x. ( vol ` A ) ) <-> S. A ( Re ` B ) _d x = ( ( Re ` B ) x. ( vol ` A ) ) ) )
5756rspcv 3305 . . . . 5 |- ( ( Re ` B ) e. RR -> ( A. y e. RR S. A y _d x = ( y x. ( vol ` A ) ) -> S. A ( Re ` B ) _d x = ( ( Re ` B ) x. ( vol ` A ) ) ) )
582, 52, 57sylc 65 . . . 4 |- ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) -> S. A ( Re ` B ) _d x = ( ( Re ` B ) x. ( vol ` A ) ) )
59 imcl 13851 . . . . . . . 8 |- ( B e. CC -> ( Im ` B ) e. RR )
60593ad2ant3 1084 . . . . . . 7 |- ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) -> ( Im ` B ) e. RR )
61 simpl 473 . . . . . . . . . 10 |- ( ( y = ( Im ` B ) /\ x e. A ) -> y = ( Im ` B ) )
6261itgeq2dv 23548 . . . . . . . . 9 |- ( y = ( Im ` B ) -> S. A y _d x = S. A ( Im ` B ) _d x )
63 oveq1 6657 . . . . . . . . 9 |- ( y = ( Im ` B ) -> ( y x. ( vol ` A ) ) = ( ( Im ` B ) x. ( vol ` A ) ) )
6462, 63eqeq12d 2637 . . . . . . . 8 |- ( y = ( Im ` B ) -> ( S. A y _d x = ( y x. ( vol ` A ) ) <-> S. A ( Im ` B ) _d x = ( ( Im ` B ) x. ( vol ` A ) ) ) )
6564rspcv 3305 . . . . . . 7 |- ( ( Im ` B ) e. RR -> ( A. y e. RR S. A y _d x = ( y x. ( vol ` A ) ) -> S. A ( Im ` B ) _d x = ( ( Im ` B ) x. ( vol ` A ) ) ) )
6660, 52, 65sylc 65 . . . . . 6 |- ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) -> S. A ( Im ` B ) _d x = ( ( Im ` B ) x. ( vol ` A ) ) )
6766oveq2d 6666 . . . . 5 |- ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) -> ( _i x. S. A ( Im ` B ) _d x ) = ( _i x. ( ( Im ` B ) x. ( vol ` A ) ) ) )
68 ax-icn 9995 . . . . . . 7 |- _i e. CC
6968a1i 11 . . . . . 6 |- ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) -> _i e. CC )
7060recnd 10068 . . . . . 6 |- ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) -> ( Im ` B ) e. CC )
7169, 70, 44mulassd 10063 . . . . 5 |- ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) -> ( ( _i x. ( Im ` B ) ) x. ( vol ` A ) ) = ( _i x. ( ( Im ` B ) x. ( vol ` A ) ) ) )
7267, 71eqtr4d 2659 . . . 4 |- ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) -> ( _i x. S. A ( Im ` B ) _d x ) = ( ( _i x. ( Im ` B ) ) x. ( vol ` A ) ) )
7358, 72oveq12d 6668 . . 3 |- ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) -> ( S. A ( Re ` B ) _d x + ( _i x. S. A ( Im ` B ) _d x ) ) = ( ( ( Re ` B ) x. ( vol ` A ) ) + ( ( _i x. ( Im ` B ) ) x. ( vol ` A ) ) ) )
742recnd 10068 . . . 4 |- ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) -> ( Re ` B ) e. CC )
75 mulcl 10020 . . . . 5 |- ( ( _i e. CC /\ ( Im ` B ) e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` B ) ) e. CC )
7668, 70, 75sylancr 695 . . . 4 |- ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) -> ( _i x. ( Im ` B ) ) e. CC )
7774, 76, 44adddird 10065 . . 3 |- ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) -> ( ( ( Re ` B ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) x. ( vol ` A ) ) = ( ( ( Re ` B ) x. ( vol ` A ) ) + ( ( _i x. ( Im ` B ) ) x. ( vol ` A ) ) ) )
7873, 77eqtr4d 2659 . 2 |- ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) -> ( S. A ( Re ` B ) _d x + ( _i x. S. A ( Im ` B ) _d x ) ) = ( ( ( Re ` B ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) x. ( vol ` A ) ) )
79 simpl3 1066 . . 3 |- ( ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) /\ x e. A ) -> B e. CC )
80 fconstmpt 5163 . . . 4 |- ( A X. { B } ) = ( x e. A |-> B )
81 iblconst 23584 . . . 4 |- ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) -> ( A X. { B } ) e. L^1 )
8280, 81syl5eqelr 2706 . . 3 |- ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) -> ( x e. A |-> B ) e. L^1 )
8379, 82itgcnval 23566 . 2 |- ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) -> S. A B _d x = ( S. A ( Re ` B ) _d x + ( _i x. S. A ( Im ` B ) _d x ) ) )
84 replim 13856 . . . 4 |- ( B e. CC -> B = ( ( Re ` B ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) )
85843ad2ant3 1084 . . 3 |- ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) -> B = ( ( Re ` B ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) )
8685oveq1d 6665 . 2 |- ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) -> ( B x. ( vol ` A ) ) = ( ( ( Re ` B ) + ( _i x. ( Im ` B ) ) ) x. ( vol ` A ) ) )
8778, 83, 863eqtr4d 2666 1 |- ( ( A e. dom vol /\ ( vol ` A ) e. RR /\ B e. CC ) -> S. A B _d x = ( B x. ( vol ` A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   ifcif 4086   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   dom cdm 5114   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   _ici 9938   + caddc 9939   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   [,)cico 12177   Recre 13837   Imcim 13838   volcvol 23232   S.2citg2 23385   L^1cibl 23386   S.citg 23387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xadd 11947  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-xmet 19739  df-met 19740  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389  df-itg2 23390  df-ibl 23391  df-itg 23392  df-0p 23437
This theorem is referenced by:  ftc1lem4  23802  itgulm  24162  itgexpif  30684  ftc1cnnclem  33483  arearect  37801  areaquad  37802  wallispilem2  40283  fourierdlem87  40410  sqwvfoura  40445  etransclem23  40474
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