Theorem mclsval 31460

Description: The function mapping variables to variable expressions is one-to-one. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mclsval.d	|- D = (mDV ` T )
mclsval.e	|- E = (mEx ` T )
mclsval.c	|- C = (mCls ` T )
mclsval.1	|- ( ph -> T e. mFS )
mclsval.2	|- ( ph -> K C_ D )
mclsval.3	|- ( ph -> B C_ E )
mclsval.h	|- H = (mVH ` T )
mclsval.a	|- A = (mAx ` T )
mclsval.s	|- S = (mSubst ` T )
mclsval.v	|- V = (mVars ` T )

Assertion

Ref	Expression
mclsval	|- ( ph -> ( K C B ) = |^| { c | ( ( B u. ran H ) C_ c /\ A. m A. o A. p ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran S ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( V ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( V ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. c ) ) ) } )

Distinct variable groups:   m, c, o, p, s, E   x, c, H, m, o, p, s   y, c, B, m, o, p, s, x   C, m, o, p, s, x   A, c, m, o, p, s   S, c, s, x, y   T, c, m, o, p, s, x, y   ph, c, m, o, p, s, x, y   V, c, x   K, c, m, o, p, s, x, y

Allowed substitution hints:   A( x, y)   C( y, c)   D( x, y, m, o, s, p, c)   S( m, o, p)   E( x, y)   H( y)   V( y, m, o, s, p)

Proof of Theorem mclsval

Dummy variables h d t are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mclsval.c	. . 3 |- C = (mCls ` T )
2		mclsval.1	. . . 4 |- ( ph -> T e. mFS )
3		elex 3212	. . . 4 |- ( T e. mFS -> T e. _V )
4		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( t = T -> (mDV ` t ) = (mDV ` T ) )
5		mclsval.d	. . . . . . . 8 |- D = (mDV ` T )
6	4, 5	syl6eqr 2674	. . . . . . 7 |- ( t = T -> (mDV ` t ) = D )
7	6	pweqd 4163	. . . . . 6 |- ( t = T -> ~P (mDV ` t ) = ~P D )
8		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( t = T -> (mEx ` t ) = (mEx ` T ) )
9		mclsval.e	. . . . . . . 8 |- E = (mEx ` T )
10	8, 9	syl6eqr 2674	. . . . . . 7 |- ( t = T -> (mEx ` t ) = E )
11	10	pweqd 4163	. . . . . 6 |- ( t = T -> ~P (mEx ` t ) = ~P E )
12		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = T -> (mVH ` t ) = (mVH ` T ) )
13		mclsval.h	. . . . . . . . . . . . 13 |- H = (mVH ` T )
14	12, 13	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t = T -> (mVH ` t ) = H )
15	14	rneqd 5353	. . . . . . . . . . 11 |- ( t = T -> ran (mVH ` t ) = ran H )
16	15	uneq2d 3767	. . . . . . . . . 10 |- ( t = T -> ( h u. ran (mVH ` t ) ) = ( h u. ran H ) )
17	16	sseq1d 3632	. . . . . . . . 9 |- ( t = T -> ( ( h u. ran (mVH ` t ) ) C_ c <-> ( h u. ran H ) C_ c ) )
18		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( t = T -> (mAx ` t ) = (mAx ` T ) )
19		mclsval.a	. . . . . . . . . . . . . 14 |- A = (mAx ` T )
20	18, 19	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = T -> (mAx ` t ) = A )
21	20	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t = T -> ( <. m , o , p >. e. (mAx ` t ) <-> <. m , o , p >. e. A ) )
22		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( t = T -> (mSubst ` t ) = (mSubst ` T ) )
23		mclsval.s	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- S = (mSubst ` T )
24	22, 23	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( t = T -> (mSubst ` t ) = S )
25	24	rneqd 5353	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = T -> ran (mSubst ` t ) = ran S )
26	15	uneq2d 3767	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( t = T -> ( o u. ran (mVH ` t ) ) = ( o u. ran H ) )
27	26	imaeq2d 5466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( t = T -> ( s " ( o u. ran (mVH ` t ) ) ) = ( s " ( o u. ran H ) ) )
28	27	sseq1d 3632	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( t = T -> ( ( s " ( o u. ran (mVH ` t ) ) ) C_ c <-> ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c ) )
29		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( t = T -> (mVars ` t ) = (mVars ` T ) )
30		mclsval.v	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- V = (mVars ` T )
31	29, 30	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( t = T -> (mVars ` t ) = V )
32	14	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( t = T -> ( (mVH ` t ) ` x ) = ( H ` x ) )
33	32	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( t = T -> ( s ` ( (mVH ` t ) ` x ) ) = ( s ` ( H ` x ) ) )
34	31, 33	fveq12d 6197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( t = T -> ( (mVars ` t ) ` ( s ` ( (mVH ` t ) ` x ) ) ) = ( V ` ( s ` ( H ` x ) ) ) )
35	14	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( t = T -> ( (mVH ` t ) ` y ) = ( H ` y ) )
36	35	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( t = T -> ( s ` ( (mVH ` t ) ` y ) ) = ( s ` ( H ` y ) ) )
37	31, 36	fveq12d 6197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( t = T -> ( (mVars ` t ) ` ( s ` ( (mVH ` t ) ` y ) ) ) = ( V ` ( s ` ( H ` y ) ) ) )
38	34, 37	xpeq12d 5140	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( t = T -> ( ( (mVars ` t ) ` ( s ` ( (mVH ` t ) ` x ) ) ) X. ( (mVars ` t ) ` ( s ` ( (mVH ` t ) ` y ) ) ) ) = ( ( V ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( V ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) )
39	38	sseq1d 3632	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( t = T -> ( ( ( (mVars ` t ) ` ( s ` ( (mVH ` t ) ` x ) ) ) X. ( (mVars ` t ) ` ( s ` ( (mVH ` t ) ` y ) ) ) ) C_ d <-> ( ( V ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( V ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ d ) )
40	39	imbi2d 330	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( t = T -> ( ( x m y -> ( ( (mVars ` t ) ` ( s ` ( (mVH ` t ) ` x ) ) ) X. ( (mVars ` t ) ` ( s ` ( (mVH ` t ) ` y ) ) ) ) C_ d ) <-> ( x m y -> ( ( V ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( V ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ d ) ) )
41	40	2albidv 1851	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( t = T -> ( A. x A. y ( x m y -> ( ( (mVars ` t ) ` ( s ` ( (mVH ` t ) ` x ) ) ) X. ( (mVars ` t ) ` ( s ` ( (mVH ` t ) ` y ) ) ) ) C_ d ) <-> A. x A. y ( x m y -> ( ( V ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( V ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ d ) ) )
42	28, 41	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( t = T -> ( ( ( s " ( o u. ran (mVH ` t ) ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( (mVars ` t ) ` ( s ` ( (mVH ` t ) ` x ) ) ) X. ( (mVars ` t ) ` ( s ` ( (mVH ` t ) ` y ) ) ) ) C_ d ) ) <-> ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( V ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( V ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ d ) ) ) )
43	42	imbi1d 331	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = T -> ( ( ( ( s " ( o u. ran (mVH ` t ) ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( (mVars ` t ) ` ( s ` ( (mVH ` t ) ` x ) ) ) X. ( (mVars ` t ) ` ( s ` ( (mVH ` t ) ` y ) ) ) ) C_ d ) ) -> ( s ` p ) e. c ) <-> ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( V ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( V ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ d ) ) -> ( s ` p ) e. c ) ) )
44	25, 43	raleqbidv 3152	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t = T -> ( A. s e. ran (mSubst ` t ) ( ( ( s " ( o u. ran (mVH ` t ) ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( (mVars ` t ) ` ( s ` ( (mVH ` t ) ` x ) ) ) X. ( (mVars ` t ) ` ( s ` ( (mVH ` t ) ` y ) ) ) ) C_ d ) ) -> ( s ` p ) e. c ) <-> A. s e. ran S ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( V ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( V ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ d ) ) -> ( s ` p ) e. c ) ) )
45	21, 44	imbi12d 334	. . . . . . . . . . 11 |- ( t = T -> ( ( <. m , o , p >. e. (mAx ` t ) -> A. s e. ran (mSubst ` t ) ( ( ( s " ( o u. ran (mVH ` t ) ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( (mVars ` t ) ` ( s ` ( (mVH ` t ) ` x ) ) ) X. ( (mVars ` t ) ` ( s ` ( (mVH ` t ) ` y ) ) ) ) C_ d ) ) -> ( s ` p ) e. c ) ) <-> ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran S ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( V ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( V ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ d ) ) -> ( s ` p ) e. c ) ) ) )
46	45	albidv 1849	. . . . . . . . . 10 |- ( t = T -> ( A. p ( <. m , o , p >. e. (mAx ` t ) -> A. s e. ran (mSubst ` t ) ( ( ( s " ( o u. ran (mVH ` t ) ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( (mVars ` t ) ` ( s ` ( (mVH ` t ) ` x ) ) ) X. ( (mVars ` t ) ` ( s ` ( (mVH ` t ) ` y ) ) ) ) C_ d ) ) -> ( s ` p ) e. c ) ) <-> A. p ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran S ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( V ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( V ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ d ) ) -> ( s ` p ) e. c ) ) ) )
47	46	2albidv 1851	. . . . . . . . 9 |- ( t = T -> ( A. m A. o A. p ( <. m , o , p >. e. (mAx ` t ) -> A. s e. ran (mSubst ` t ) ( ( ( s " ( o u. ran (mVH ` t ) ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( (mVars ` t ) ` ( s ` ( (mVH ` t ) ` x ) ) ) X. ( (mVars ` t ) ` ( s ` ( (mVH ` t ) ` y ) ) ) ) C_ d ) ) -> ( s ` p ) e. c ) ) <-> A. m A. o A. p ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran S ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( V ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( V ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ d ) ) -> ( s ` p ) e. c ) ) ) )
48	17, 47	anbi12d 747	. . . . . . . 8 |- ( t = T -> ( ( ( h u. ran (mVH ` t ) ) C_ c /\ A. m A. o A. p ( <. m , o , p >. e. (mAx ` t ) -> A. s e. ran (mSubst ` t ) ( ( ( s " ( o u. ran (mVH ` t ) ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( (mVars ` t ) ` ( s ` ( (mVH ` t ) ` x ) ) ) X. ( (mVars ` t ) ` ( s ` ( (mVH ` t ) ` y ) ) ) ) C_ d ) ) -> ( s ` p ) e. c ) ) ) <-> ( ( h u. ran H ) C_ c /\ A. m A. o A. p ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran S ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( V ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( V ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ d ) ) -> ( s ` p ) e. c ) ) ) ) )
49	48	abbidv 2741	. . . . . . 7 |- ( t = T -> { c | ( ( h u. ran (mVH ` t ) ) C_ c /\ A. m A. o A. p ( <. m , o , p >. e. (mAx ` t ) -> A. s e. ran (mSubst ` t ) ( ( ( s " ( o u. ran (mVH ` t ) ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( (mVars ` t ) ` ( s ` ( (mVH ` t ) ` x ) ) ) X. ( (mVars ` t ) ` ( s ` ( (mVH ` t ) ` y ) ) ) ) C_ d ) ) -> ( s ` p ) e. c ) ) ) } = { c | ( ( h u. ran H ) C_ c /\ A. m A. o A. p ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran S ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( V ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( V ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ d ) ) -> ( s ` p ) e. c ) ) ) } )
50	49	inteqd 4480	. . . . . 6 |- ( t = T -> |^| { c | ( ( h u. ran (mVH ` t ) ) C_ c /\ A. m A. o A. p ( <. m , o , p >. e. (mAx ` t ) -> A. s e. ran (mSubst ` t ) ( ( ( s " ( o u. ran (mVH ` t ) ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( (mVars ` t ) ` ( s ` ( (mVH ` t ) ` x ) ) ) X. ( (mVars ` t ) ` ( s ` ( (mVH ` t ) ` y ) ) ) ) C_ d ) ) -> ( s ` p ) e. c ) ) ) } = |^| { c | ( ( h u. ran H ) C_ c /\ A. m A. o A. p ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran S ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( V ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( V ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ d ) ) -> ( s ` p ) e. c ) ) ) } )
51	7, 11, 50	mpt2eq123dv 6717	. . . . 5 |- ( t = T -> ( d e. ~P (mDV ` t ) , h e. ~P (mEx ` t ) |-> |^| { c | ( ( h u. ran (mVH ` t ) ) C_ c /\ A. m A. o A. p ( <. m , o , p >. e. (mAx ` t ) -> A. s e. ran (mSubst ` t ) ( ( ( s " ( o u. ran (mVH ` t ) ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( (mVars ` t ) ` ( s ` ( (mVH ` t ) ` x ) ) ) X. ( (mVars ` t ) ` ( s ` ( (mVH ` t ) ` y ) ) ) ) C_ d ) ) -> ( s ` p ) e. c ) ) ) } ) = ( d e. ~P D , h e. ~P E |-> |^| { c | ( ( h u. ran H ) C_ c /\ A. m A. o A. p ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran S ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( V ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( V ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ d ) ) -> ( s ` p ) e. c ) ) ) } ) )
52		df-mcls 31394	. . . . 5 |- mCls = ( t e. _V |-> ( d e. ~P (mDV ` t ) , h e. ~P (mEx ` t ) |-> |^| { c | ( ( h u. ran (mVH ` t ) ) C_ c /\ A. m A. o A. p ( <. m , o , p >. e. (mAx ` t ) -> A. s e. ran (mSubst ` t ) ( ( ( s " ( o u. ran (mVH ` t ) ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( (mVars ` t ) ` ( s ` ( (mVH ` t ) ` x ) ) ) X. ( (mVars ` t ) ` ( s ` ( (mVH ` t ) ` y ) ) ) ) C_ d ) ) -> ( s ` p ) e. c ) ) ) } ) )
53		fvex 6201	. . . . . . . 8 |- (mDV ` T ) e. _V
54	5, 53	eqeltri 2697	. . . . . . 7 |- D e. _V
55	54	pwex 4848	. . . . . 6 |- ~P D e. _V
56		fvex 6201	. . . . . . . 8 |- (mEx ` T ) e. _V
57	9, 56	eqeltri 2697	. . . . . . 7 |- E e. _V
58	57	pwex 4848	. . . . . 6 |- ~P E e. _V
59	55, 58	mpt2ex 7247	. . . . 5 |- ( d e. ~P D , h e. ~P E |-> |^| { c | ( ( h u. ran H ) C_ c /\ A. m A. o A. p ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran S ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( V ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( V ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ d ) ) -> ( s ` p ) e. c ) ) ) } ) e. _V
60	51, 52, 59	fvmpt 6282	. . . 4 |- ( T e. _V -> (mCls ` T ) = ( d e. ~P D , h e. ~P E |-> |^| { c | ( ( h u. ran H ) C_ c /\ A. m A. o A. p ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran S ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( V ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( V ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ d ) ) -> ( s ` p ) e. c ) ) ) } ) )
61	2, 3, 60	3syl 18	. . 3 |- ( ph -> (mCls ` T ) = ( d e. ~P D , h e. ~P E |-> |^| { c | ( ( h u. ran H ) C_ c /\ A. m A. o A. p ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran S ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( V ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( V ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ d ) ) -> ( s ` p ) e. c ) ) ) } ) )
62	1, 61	syl5eq 2668	. 2 |- ( ph -> C = ( d e. ~P D , h e. ~P E |-> |^| { c | ( ( h u. ran H ) C_ c /\ A. m A. o A. p ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran S ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( V ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( V ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ d ) ) -> ( s ` p ) e. c ) ) ) } ) )
63		simprr 796	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( d = K /\ h = B ) ) -> h = B )
64	63	uneq1d 3766	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( d = K /\ h = B ) ) -> ( h u. ran H ) = ( B u. ran H ) )
65	64	sseq1d 3632	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( d = K /\ h = B ) ) -> ( ( h u. ran H ) C_ c <-> ( B u. ran H ) C_ c ) )
66		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( d = K /\ h = B ) ) -> d = K )
67	66	sseq2d 3633	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( d = K /\ h = B ) ) -> ( ( ( V ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( V ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ d <-> ( ( V ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( V ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) )
68	67	imbi2d 330	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( d = K /\ h = B ) ) -> ( ( x m y -> ( ( V ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( V ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ d ) <-> ( x m y -> ( ( V ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( V ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) )
69	68	2albidv 1851	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( d = K /\ h = B ) ) -> ( A. x A. y ( x m y -> ( ( V ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( V ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ d ) <-> A. x A. y ( x m y -> ( ( V ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( V ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) )
70	69	anbi2d 740	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( d = K /\ h = B ) ) -> ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( V ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( V ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ d ) ) <-> ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( V ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( V ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) ) )
71	70	imbi1d 331	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( d = K /\ h = B ) ) -> ( ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( V ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( V ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ d ) ) -> ( s ` p ) e. c ) <-> ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( V ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( V ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. c ) ) )
72	71	ralbidv 2986	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( d = K /\ h = B ) ) -> ( A. s e. ran S ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( V ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( V ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ d ) ) -> ( s ` p ) e. c ) <-> A. s e. ran S ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( V ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( V ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. c ) ) )
73	72	imbi2d 330	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( d = K /\ h = B ) ) -> ( ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran S ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( V ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( V ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ d ) ) -> ( s ` p ) e. c ) ) <-> ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran S ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( V ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( V ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. c ) ) ) )
74	73	albidv 1849	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( d = K /\ h = B ) ) -> ( A. p ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran S ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( V ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( V ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ d ) ) -> ( s ` p ) e. c ) ) <-> A. p ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran S ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( V ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( V ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. c ) ) ) )
75	74	2albidv 1851	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( d = K /\ h = B ) ) -> ( A. m A. o A. p ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran S ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( V ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( V ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ d ) ) -> ( s ` p ) e. c ) ) <-> A. m A. o A. p ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran S ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( V ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( V ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. c ) ) ) )
76	65, 75	anbi12d 747	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( d = K /\ h = B ) ) -> ( ( ( h u. ran H ) C_ c /\ A. m A. o A. p ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran S ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( V ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( V ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ d ) ) -> ( s ` p ) e. c ) ) ) <-> ( ( B u. ran H ) C_ c /\ A. m A. o A. p ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran S ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( V ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( V ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. c ) ) ) ) )
77	76	abbidv 2741	. . 3 |- ( ( ph /\ ( d = K /\ h = B ) ) -> { c | ( ( h u. ran H ) C_ c /\ A. m A. o A. p ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran S ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( V ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( V ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ d ) ) -> ( s ` p ) e. c ) ) ) } = { c | ( ( B u. ran H ) C_ c /\ A. m A. o A. p ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran S ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( V ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( V ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. c ) ) ) } )
78	77	inteqd 4480	. 2 |- ( ( ph /\ ( d = K /\ h = B ) ) -> |^| { c | ( ( h u. ran H ) C_ c /\ A. m A. o A. p ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran S ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( V ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( V ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ d ) ) -> ( s ` p ) e. c ) ) ) } = |^| { c | ( ( B u. ran H ) C_ c /\ A. m A. o A. p ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran S ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( V ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( V ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. c ) ) ) } )
79		mclsval.2	. . 3 |- ( ph -> K C_ D )
80	54	elpw2 4828	. . 3 |- ( K e. ~P D <-> K C_ D )
81	79, 80	sylibr 224	. 2 |- ( ph -> K e. ~P D )
82		mclsval.3	. . 3 |- ( ph -> B C_ E )
83	57	elpw2 4828	. . 3 |- ( B e. ~P E <-> B C_ E )
84	82, 83	sylibr 224	. 2 |- ( ph -> B e. ~P E )
85	5, 9, 1, 2, 79, 82, 13, 19, 23, 30	mclsssvlem 31459	. . 3 |- ( ph -> |^| { c | ( ( B u. ran H ) C_ c /\ A. m A. o A. p ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran S ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( V ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( V ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. c ) ) ) } C_ E )
86	57	ssex 4802	. . 3 |- ( |^| { c | ( ( B u. ran H ) C_ c /\ A. m A. o A. p ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran S ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( V ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( V ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. c ) ) ) } C_ E -> |^| { c | ( ( B u. ran H ) C_ c /\ A. m A. o A. p ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran S ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( V ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( V ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. c ) ) ) } e. _V )
87	85, 86	syl 17	. 2 |- ( ph -> |^| { c | ( ( B u. ran H ) C_ c /\ A. m A. o A. p ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran S ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( V ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( V ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. c ) ) ) } e. _V )
88	62, 78, 81, 84, 87	ovmpt2d 6788	1 |- ( ph -> ( K C B ) = |^| { c | ( ( B u. ran H ) C_ c /\ A. m A. o A. p ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran S ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( V ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( V ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. c ) ) ) } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   _Vcvv 3200   u. cun 3572   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   <.cotp 4185   |^|cint 4475   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   ran crn 5115   "cima 5117   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652  mAxcmax 31362  mExcmex 31364  mDVcmdv 31365  mVarscmvrs 31366  mSubstcmsub 31368  mVHcmvh 31369  mFScmfs 31373  mClscmcls 31374

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-ot 4186  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301  df-s1 13302  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-frmd 17386  df-mrex 31383  df-mex 31384  df-mrsub 31387  df-msub 31388  df-mvh 31389  df-mpst 31390  df-msr 31391  df-msta 31392  df-mfs 31393  df-mcls 31394

This theorem is referenced by:  mclsssv  31461  ssmclslem  31462  ss2mcls  31465  mclsax  31466  mclsind  31467