Theorem mclsssvlem 31459

Description: Lemma for mclsssv 31461. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mclsval.d	|- D = (mDV ` T )
mclsval.e	|- E = (mEx ` T )
mclsval.c	|- C = (mCls ` T )
mclsval.1	|- ( ph -> T e. mFS )
mclsval.2	|- ( ph -> K C_ D )
mclsval.3	|- ( ph -> B C_ E )
mclsval.h	|- H = (mVH ` T )
mclsval.a	|- A = (mAx ` T )
mclsval.s	|- S = (mSubst ` T )
mclsval.v	|- V = (mVars ` T )

Assertion

Ref	Expression
mclsssvlem	|- ( ph -> |^| { c | ( ( B u. ran H ) C_ c /\ A. m A. o A. p ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran S ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( V ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( V ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. c ) ) ) } C_ E )

Distinct variable groups:   m, c, o, p, s, E   x, c, H, m, o, p, s   y, c, B, m, o, p, s, x   C, m, o, p, s, x   A, c, m, o, p, s   S, c, s, x, y   T, c, m, o, p, s, x, y   ph, c, m, o, p, s, x, y   V, c, x   K, c, m, o, p, s, x, y

Allowed substitution hints:   A( x, y)   C( y, c)   D( x, y, m, o, s, p, c)   S( m, o, p)   E( x, y)   H( y)   V( y, m, o, s, p)

Proof of Theorem mclsssvlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mclsval.3	. . . 4 |- ( ph -> B C_ E )
2		mclsval.1	. . . . . 6 |- ( ph -> T e. mFS )
3		eqid 2622	. . . . . . 7 |- (mVR ` T ) = (mVR ` T )
4		mclsval.e	. . . . . . 7 |- E = (mEx ` T )
5		mclsval.h	. . . . . . 7 |- H = (mVH ` T )
6	3, 4, 5	mvhf 31455	. . . . . 6 |- ( T e. mFS -> H : (mVR ` T ) --> E )
7	2, 6	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> H : (mVR ` T ) --> E )
8		frn 6053	. . . . 5 |- ( H : (mVR ` T ) --> E -> ran H C_ E )
9	7, 8	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ran H C_ E )
10	1, 9	unssd 3789	. . 3 |- ( ph -> ( B u. ran H ) C_ E )
11		mclsval.s	. . . . . . . . . 10 |- S = (mSubst ` T )
12	11, 4	msubf 31429	. . . . . . . . 9 |- ( s e. ran S -> s : E --> E )
13		mclsval.a	. . . . . . . . . . . . . 14 |- A = (mAx ` T )
14		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (mStat ` T ) = (mStat ` T )
15	13, 14	maxsta 31451	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( T e. mFS -> A C_ (mStat ` T ) )
16	2, 15	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A C_ (mStat ` T ) )
17		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- (mPreSt ` T ) = (mPreSt ` T )
18	17, 14	mstapst 31444	. . . . . . . . . . . 12 |- (mStat ` T ) C_ (mPreSt ` T )
19	16, 18	syl6ss 3615	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A C_ (mPreSt ` T ) )
20	19	sselda 3603	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ <. m , o , p >. e. A ) -> <. m , o , p >. e. (mPreSt ` T ) )
21		mclsval.d	. . . . . . . . . . . 12 |- D = (mDV ` T )
22	21, 4, 17	elmpst 31433	. . . . . . . . . . 11 |- ( <. m , o , p >. e. (mPreSt ` T ) <-> ( ( m C_ D /\ `' m = m ) /\ ( o C_ E /\ o e. Fin ) /\ p e. E ) )
23	22	simp3bi 1078	. . . . . . . . . 10 |- ( <. m , o , p >. e. (mPreSt ` T ) -> p e. E )
24	20, 23	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ <. m , o , p >. e. A ) -> p e. E )
25		ffvelrn 6357	. . . . . . . . 9 |- ( ( s : E --> E /\ p e. E ) -> ( s ` p ) e. E )
26	12, 24, 25	syl2anr 495	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ <. m , o , p >. e. A ) /\ s e. ran S ) -> ( s ` p ) e. E )
27	26	a1d 25	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ <. m , o , p >. e. A ) /\ s e. ran S ) -> ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ E /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( V ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( V ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. E ) )
28	27	ralrimiva 2966	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ <. m , o , p >. e. A ) -> A. s e. ran S ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ E /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( V ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( V ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. E ) )
29	28	ex 450	. . . . 5 |- ( ph -> ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran S ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ E /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( V ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( V ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. E ) ) )
30	29	alrimiv 1855	. . . 4 |- ( ph -> A. p ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran S ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ E /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( V ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( V ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. E ) ) )
31	30	alrimivv 1856	. . 3 |- ( ph -> A. m A. o A. p ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran S ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ E /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( V ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( V ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. E ) ) )
32		fvex 6201	. . . . 5 |- (mEx ` T ) e. _V
33	4, 32	eqeltri 2697	. . . 4 |- E e. _V
34		sseq2 3627	. . . . 5 |- ( c = E -> ( ( B u. ran H ) C_ c <-> ( B u. ran H ) C_ E ) )
35		sseq2 3627	. . . . . . . . . . 11 |- ( c = E -> ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c <-> ( s " ( o u. ran H ) ) C_ E ) )
36	35	anbi1d 741	. . . . . . . . . 10 |- ( c = E -> ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( V ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( V ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) <-> ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ E /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( V ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( V ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) ) )
37		eleq2 2690	. . . . . . . . . 10 |- ( c = E -> ( ( s ` p ) e. c <-> ( s ` p ) e. E ) )
38	36, 37	imbi12d 334	. . . . . . . . 9 |- ( c = E -> ( ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( V ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( V ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. c ) <-> ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ E /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( V ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( V ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. E ) ) )
39	38	ralbidv 2986	. . . . . . . 8 |- ( c = E -> ( A. s e. ran S ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( V ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( V ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. c ) <-> A. s e. ran S ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ E /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( V ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( V ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. E ) ) )
40	39	imbi2d 330	. . . . . . 7 |- ( c = E -> ( ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran S ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( V ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( V ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. c ) ) <-> ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran S ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ E /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( V ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( V ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. E ) ) ) )
41	40	albidv 1849	. . . . . 6 |- ( c = E -> ( A. p ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran S ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( V ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( V ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. c ) ) <-> A. p ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran S ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ E /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( V ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( V ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. E ) ) ) )
42	41	2albidv 1851	. . . . 5 |- ( c = E -> ( A. m A. o A. p ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran S ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( V ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( V ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. c ) ) <-> A. m A. o A. p ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran S ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ E /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( V ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( V ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. E ) ) ) )
43	34, 42	anbi12d 747	. . . 4 |- ( c = E -> ( ( ( B u. ran H ) C_ c /\ A. m A. o A. p ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran S ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( V ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( V ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. c ) ) ) <-> ( ( B u. ran H ) C_ E /\ A. m A. o A. p ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran S ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ E /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( V ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( V ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. E ) ) ) ) )
44	33, 43	elab 3350	. . 3 |- ( E e. { c | ( ( B u. ran H ) C_ c /\ A. m A. o A. p ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran S ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( V ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( V ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. c ) ) ) } <-> ( ( B u. ran H ) C_ E /\ A. m A. o A. p ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran S ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ E /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( V ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( V ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. E ) ) ) )
45	10, 31, 44	sylanbrc 698	. 2 |- ( ph -> E e. { c | ( ( B u. ran H ) C_ c /\ A. m A. o A. p ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran S ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( V ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( V ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. c ) ) ) } )
46		intss1 4492	. 2 |- ( E e. { c | ( ( B u. ran H ) C_ c /\ A. m A. o A. p ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran S ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( V ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( V ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. c ) ) ) } -> |^| { c | ( ( B u. ran H ) C_ c /\ A. m A. o A. p ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran S ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( V ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( V ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. c ) ) ) } C_ E )
47	45, 46	syl 17	1 |- ( ph -> |^| { c | ( ( B u. ran H ) C_ c /\ A. m A. o A. p ( <. m , o , p >. e. A -> A. s e. ran S ( ( ( s " ( o u. ran H ) ) C_ c /\ A. x A. y ( x m y -> ( ( V ` ( s ` ( H ` x ) ) ) X. ( V ` ( s ` ( H ` y ) ) ) ) C_ K ) ) -> ( s ` p ) e. c ) ) ) } C_ E )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   _Vcvv 3200   u. cun 3572   C_ wss 3574   <.cotp 4185   |^|cint 4475   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   ran crn 5115   "cima 5117   -->wf 5884   ` cfv 5888   Fincfn 7955  mVRcmvar 31358  mAxcmax 31362  mExcmex 31364  mDVcmdv 31365  mVarscmvrs 31366  mSubstcmsub 31368  mVHcmvh 31369  mPreStcmpst 31370  mStatcmsta 31372  mFScmfs 31373  mClscmcls 31374

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-ot 4186  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301  df-s1 13302  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-frmd 17386  df-mrex 31383  df-mex 31384  df-mrsub 31387  df-msub 31388  df-mvh 31389  df-mpst 31390  df-msr 31391  df-msta 31392  df-mfs 31393

This theorem is referenced by:  mclsval  31460  mclsssv  31461