Theorem mdegvsca 23836

Description: The degree of a scalar multiple of a polynomial is exactly the degree of the original polynomial when the multiple is a nonzero-divisor. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdegaddle.y	|- Y = ( I mPoly R )
mdegaddle.d	|- D = ( I mDeg R )
mdegaddle.i	|- ( ph -> I e. V )
mdegaddle.r	|- ( ph -> R e. Ring )
mdegvsca.b	|- B = ( Base ` Y )
mdegvsca.e	|- E = (RLReg ` R )
mdegvsca.p	|- .x. = ( .s ` Y )
mdegvsca.f	|- ( ph -> F e. E )
mdegvsca.g	|- ( ph -> G e. B )

Assertion

Ref	Expression
mdegvsca	|- ( ph -> ( D ` ( F .x. G ) ) = ( D ` G ) )

Proof of Theorem mdegvsca

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdegaddle.y	. . . . . . 7 |- Y = ( I mPoly R )
2		mdegvsca.p	. . . . . . 7 |- .x. = ( .s ` Y )
3		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
4		mdegvsca.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` Y )
5		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
6		eqid 2622	. . . . . . 7 |- { x e. ( NN0 ^m I ) | ( `' x " NN ) e. Fin } = { x e. ( NN0 ^m I ) | ( `' x " NN ) e. Fin }
7		mdegvsca.e	. . . . . . . . 9 |- E = (RLReg ` R )
8	7, 3	rrgss 19292	. . . . . . . 8 |- E C_ ( Base ` R )
9		mdegvsca.f	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F e. E )
10	8, 9	sseldi 3601	. . . . . . 7 |- ( ph -> F e. ( Base ` R ) )
11		mdegvsca.g	. . . . . . 7 |- ( ph -> G e. B )
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 11	mplvsca 19447	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F .x. G ) = ( ( { x e. ( NN0 ^m I ) | ( `' x " NN ) e. Fin } X. { F } ) oF ( .r ` R ) G ) )
13	12	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( F .x. G ) supp ( 0g ` R ) ) = ( ( ( { x e. ( NN0 ^m I ) | ( `' x " NN ) e. Fin } X. { F } ) oF ( .r ` R ) G ) supp ( 0g ` R ) ) )
14		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
15		ovex 6678	. . . . . . . 8 |- ( NN0 ^m I ) e. _V
16	15	rabex 4813	. . . . . . 7 |- { x e. ( NN0 ^m I ) | ( `' x " NN ) e. Fin } e. _V
17	16	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> { x e. ( NN0 ^m I ) | ( `' x " NN ) e. Fin } e. _V )
18		mdegaddle.r	. . . . . 6 |- ( ph -> R e. Ring )
19	1, 3, 4, 6, 11	mplelf 19433	. . . . . 6 |- ( ph -> G : { x e. ( NN0 ^m I ) | ( `' x " NN ) e. Fin } --> ( Base ` R ) )
20	7, 3, 5, 14, 17, 18, 9, 19	rrgsupp 19291	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( { x e. ( NN0 ^m I ) | ( `' x " NN ) e. Fin } X. { F } ) oF ( .r ` R ) G ) supp ( 0g ` R ) ) = ( G supp ( 0g ` R ) ) )
21	13, 20	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ph -> ( ( F .x. G ) supp ( 0g ` R ) ) = ( G supp ( 0g ` R ) ) )
22	21	imaeq2d 5466	. . 3 |- ( ph -> ( ( y e. { x e. ( NN0 ^m I ) | ( `' x " NN ) e. Fin } |-> (ℂfld gsumg y ) ) " ( ( F .x. G ) supp ( 0g ` R ) ) ) = ( ( y e. { x e. ( NN0 ^m I ) | ( `' x " NN ) e. Fin } |-> (ℂfld gsumg y ) ) " ( G supp ( 0g ` R ) ) ) )
23	22	supeq1d 8352	. 2 |- ( ph -> sup ( ( ( y e. { x e. ( NN0 ^m I ) | ( `' x " NN ) e. Fin } |-> (ℂfld gsumg y ) ) " ( ( F .x. G ) supp ( 0g ` R ) ) ) , RR* , < ) = sup ( ( ( y e. { x e. ( NN0 ^m I ) | ( `' x " NN ) e. Fin } |-> (ℂfld gsumg y ) ) " ( G supp ( 0g ` R ) ) ) , RR* , < ) )
24		mdegaddle.i	. . . . 5 |- ( ph -> I e. V )
25	1	mpllmod 19451	. . . . 5 |- ( ( I e. V /\ R e. Ring ) -> Y e. LMod )
26	24, 18, 25	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> Y e. LMod )
27	1, 24, 18	mplsca 19445	. . . . . 6 |- ( ph -> R = (Scalar ` Y ) )
28	27	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( ph -> ( Base ` R ) = ( Base ` (Scalar ` Y ) ) )
29	10, 28	eleqtrd 2703	. . . 4 |- ( ph -> F e. ( Base ` (Scalar ` Y ) ) )
30		eqid 2622	. . . . 5 |- (Scalar ` Y ) = (Scalar ` Y )
31		eqid 2622	. . . . 5 |- ( Base ` (Scalar ` Y ) ) = ( Base ` (Scalar ` Y ) )
32	4, 30, 2, 31	lmodvscl 18880	. . . 4 |- ( ( Y e. LMod /\ F e. ( Base ` (Scalar ` Y ) ) /\ G e. B ) -> ( F .x. G ) e. B )
33	26, 29, 11, 32	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ph -> ( F .x. G ) e. B )
34		mdegaddle.d	. . . 4 |- D = ( I mDeg R )
35		eqid 2622	. . . 4 |- ( y e. { x e. ( NN0 ^m I ) | ( `' x " NN ) e. Fin } |-> (ℂfld gsumg y ) ) = ( y e. { x e. ( NN0 ^m I ) | ( `' x " NN ) e. Fin } |-> (ℂfld gsumg y ) )
36	34, 1, 4, 14, 6, 35	mdegval 23823	. . 3 |- ( ( F .x. G ) e. B -> ( D ` ( F .x. G ) ) = sup ( ( ( y e. { x e. ( NN0 ^m I ) | ( `' x " NN ) e. Fin } |-> (ℂfld gsumg y ) ) " ( ( F .x. G ) supp ( 0g ` R ) ) ) , RR* , < ) )
37	33, 36	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( D ` ( F .x. G ) ) = sup ( ( ( y e. { x e. ( NN0 ^m I ) | ( `' x " NN ) e. Fin } |-> (ℂfld gsumg y ) ) " ( ( F .x. G ) supp ( 0g ` R ) ) ) , RR* , < ) )
38	34, 1, 4, 14, 6, 35	mdegval 23823	. . 3 |- ( G e. B -> ( D ` G ) = sup ( ( ( y e. { x e. ( NN0 ^m I ) | ( `' x " NN ) e. Fin } |-> (ℂfld gsumg y ) ) " ( G supp ( 0g ` R ) ) ) , RR* , < ) )
39	11, 38	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( D ` G ) = sup ( ( ( y e. { x e. ( NN0 ^m I ) | ( `' x " NN ) e. Fin } |-> (ℂfld gsumg y ) ) " ( G supp ( 0g ` R ) ) ) , RR* , < ) )
40	23, 37, 39	3eqtr4d 2666	1 |- ( ph -> ( D ` ( F .x. G ) ) = ( D ` G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   {crab 2916   _Vcvv 3200   {csn 4177   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   "cima 5117   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   supp csupp 7295   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   supcsup 8346   RR*cxr 10073   < clt 10074   NNcn 11020   NN0cn0 11292   Basecbs 15857   .rcmulr 15942  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   0gc0g 16100   gsum_g cgsu 16101   Ringcrg 18547   LModclmod 18863  RLRegcrlreg 19279   mPoly cmpl 19353  ℂ_fldccnfld 19746   mDeg cmdg 23813

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-tset 15960  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-subg 17591  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-rlreg 19283  df-psr 19356  df-mpl 19358  df-mdeg 23815

This theorem is referenced by:  deg1vsca  23865