Theorem mdegval 23823

Description: Value of the multivariate degree function at some particular polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Mar-2015.) (Revised by AV, 25-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdegval.d	|- D = ( I mDeg R )
mdegval.p	|- P = ( I mPoly R )
mdegval.b	|- B = ( Base ` P )
mdegval.z	|- .0. = ( 0g ` R )
mdegval.a	|- A = { m e. ( NN0 ^m I ) | ( `' m " NN ) e. Fin }
mdegval.h	|- H = ( h e. A |-> (ℂfld gsumg h ) )

Assertion

Ref	Expression
mdegval	|- ( F e. B -> ( D ` F ) = sup ( ( H " ( F supp .0. ) ) , RR* , < ) )

Distinct variable groups:   A, h   m, I   .0. , h

Allowed substitution hints:   A( m)   B( h, m)   D( h, m)   P( h, m)   R( h, m)   F( h, m)   H( h, m)   I( h)   .0. ( m)

Proof of Theorem mdegval

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 6657	. . . 4 |- ( f = F -> ( f supp .0. ) = ( F supp .0. ) )
2	1	imaeq2d 5466	. . 3 |- ( f = F -> ( H " ( f supp .0. ) ) = ( H " ( F supp .0. ) ) )
3	2	supeq1d 8352	. 2 |- ( f = F -> sup ( ( H " ( f supp .0. ) ) , RR* , < ) = sup ( ( H " ( F supp .0. ) ) , RR* , < ) )
4		mdegval.d	. . 3 |- D = ( I mDeg R )
5		mdegval.p	. . 3 |- P = ( I mPoly R )
6		mdegval.b	. . 3 |- B = ( Base ` P )
7		mdegval.z	. . 3 |- .0. = ( 0g ` R )
8		mdegval.a	. . 3 |- A = { m e. ( NN0 ^m I ) | ( `' m " NN ) e. Fin }
9		mdegval.h	. . 3 |- H = ( h e. A |-> (ℂfld gsumg h ) )
10	4, 5, 6, 7, 8, 9	mdegfval 23822	. 2 |- D = ( f e. B |-> sup ( ( H " ( f supp .0. ) ) , RR* , < ) )
11		xrltso 11974	. . 3 |- < Or RR*
12	11	supex 8369	. 2 |- sup ( ( H " ( F supp .0. ) ) , RR* , < ) e. _V
13	3, 10, 12	fvmpt 6282	1 |- ( F e. B -> ( D ` F ) = sup ( ( H " ( F supp .0. ) ) , RR* , < ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   {crab 2916   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   "cima 5117   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   supp csupp 7295   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   supcsup 8346   RR*cxr 10073   < clt 10074   NNcn 11020   NN0cn0 11292   Basecbs 15857   0gc0g 16100   gsum_g cgsu 16101   mPoly cmpl 19353  ℂ_fldccnfld 19746   mDeg cmdg 23813

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-tset 15960  df-psr 19356  df-mpl 19358  df-mdeg 23815

This theorem is referenced by:  mdegleb  23824  mdeglt  23825  mdegldg  23826  mdegxrcl  23827  mdegcl  23829  mdeg0  23830  mdegvsca  23836  deg1val  23856