Theorem mendmulrfval 37757

Description: Multiplication in the module endomorphism algebra. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mendmulrfval.a	|- A = (MEndo ` M )
mendmulrfval.b	|- B = ( Base ` A )

Assertion

Ref	Expression
mendmulrfval	|- ( .r ` A ) = ( x e. B , y e. B |-> ( x o. y ) )

Distinct variable groups:   x, y, B   x, M, y

Allowed substitution hints:   A( x, y)

Proof of Theorem mendmulrfval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mendmulrfval.a	. . . . 5 |- A = (MEndo ` M )
2		mendmulrfval.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` A )
3	1	mendbas 37754	. . . . . . 7 |- ( M LMHom M ) = ( Base ` A )
4	2, 3	eqtr4i 2647	. . . . . 6 |- B = ( M LMHom M )
5		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( x e. B , y e. B |-> ( x oF ( +g ` M ) y ) ) = ( x e. B , y e. B |-> ( x oF ( +g ` M ) y ) )
6		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( x e. B , y e. B |-> ( x o. y ) ) = ( x e. B , y e. B |-> ( x o. y ) )
7		eqid 2622	. . . . . 6 |- (Scalar ` M ) = (Scalar ` M )
8		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( x e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) , y e. B |-> ( ( ( Base ` M ) X. { x } ) oF ( .s ` M ) y ) ) = ( x e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) , y e. B |-> ( ( ( Base ` M ) X. { x } ) oF ( .s ` M ) y ) )
9	4, 5, 6, 7, 8	mendval 37753	. . . . 5 |- ( M e. _V -> (MEndo ` M ) = ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , ( x e. B , y e. B |-> ( x oF ( +g ` M ) y ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( x e. B , y e. B |-> ( x o. y ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , (Scalar ` M ) >. , <. ( .s ` ndx ) , ( x e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) , y e. B |-> ( ( ( Base ` M ) X. { x } ) oF ( .s ` M ) y ) ) >. } ) )
10	1, 9	syl5eq 2668	. . . 4 |- ( M e. _V -> A = ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , ( x e. B , y e. B |-> ( x oF ( +g ` M ) y ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( x e. B , y e. B |-> ( x o. y ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , (Scalar ` M ) >. , <. ( .s ` ndx ) , ( x e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) , y e. B |-> ( ( ( Base ` M ) X. { x } ) oF ( .s ` M ) y ) ) >. } ) )
11	10	fveq2d 6195	. . 3 |- ( M e. _V -> ( .r ` A ) = ( .r ` ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , ( x e. B , y e. B |-> ( x oF ( +g ` M ) y ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( x e. B , y e. B |-> ( x o. y ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , (Scalar ` M ) >. , <. ( .s ` ndx ) , ( x e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) , y e. B |-> ( ( ( Base ` M ) X. { x } ) oF ( .s ` M ) y ) ) >. } ) ) )
12		fvex 6201	. . . . . 6 |- ( Base ` A ) e. _V
13	2, 12	eqeltri 2697	. . . . 5 |- B e. _V
14	13, 13	mpt2ex 7247	. . . 4 |- ( x e. B , y e. B |-> ( x o. y ) ) e. _V
15		eqid 2622	. . . . 5 |- ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , ( x e. B , y e. B |-> ( x oF ( +g ` M ) y ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( x e. B , y e. B |-> ( x o. y ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , (Scalar ` M ) >. , <. ( .s ` ndx ) , ( x e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) , y e. B |-> ( ( ( Base ` M ) X. { x } ) oF ( .s ` M ) y ) ) >. } ) = ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , ( x e. B , y e. B |-> ( x oF ( +g ` M ) y ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( x e. B , y e. B |-> ( x o. y ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , (Scalar ` M ) >. , <. ( .s ` ndx ) , ( x e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) , y e. B |-> ( ( ( Base ` M ) X. { x } ) oF ( .s ` M ) y ) ) >. } )
16	15	algmulr 37750	. . . 4 |- ( ( x e. B , y e. B |-> ( x o. y ) ) e. _V -> ( x e. B , y e. B |-> ( x o. y ) ) = ( .r ` ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , ( x e. B , y e. B |-> ( x oF ( +g ` M ) y ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( x e. B , y e. B |-> ( x o. y ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , (Scalar ` M ) >. , <. ( .s ` ndx ) , ( x e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) , y e. B |-> ( ( ( Base ` M ) X. { x } ) oF ( .s ` M ) y ) ) >. } ) ) )
17	14, 16	mp1i 13	. . 3 |- ( M e. _V -> ( x e. B , y e. B |-> ( x o. y ) ) = ( .r ` ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , ( x e. B , y e. B |-> ( x oF ( +g ` M ) y ) ) >. , <. ( .r ` ndx ) , ( x e. B , y e. B |-> ( x o. y ) ) >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , (Scalar ` M ) >. , <. ( .s ` ndx ) , ( x e. ( Base ` (Scalar ` M ) ) , y e. B |-> ( ( ( Base ` M ) X. { x } ) oF ( .s ` M ) y ) ) >. } ) ) )
18	11, 17	eqtr4d 2659	. 2 |- ( M e. _V -> ( .r ` A ) = ( x e. B , y e. B |-> ( x o. y ) ) )
19		fvprc 6185	. . . . . 6 |- ( -. M e. _V -> (MEndo ` M ) = (/) )
20	1, 19	syl5eq 2668	. . . . 5 |- ( -. M e. _V -> A = (/) )
21	20	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( -. M e. _V -> ( .r ` A ) = ( .r ` (/) ) )
22		df-mulr 15955	. . . . 5 |- .r = Slot 3
23	22	str0 15911	. . . 4 |- (/) = ( .r ` (/) )
24	21, 23	syl6eqr 2674	. . 3 |- ( -. M e. _V -> ( .r ` A ) = (/) )
25	20	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( -. M e. _V -> ( Base ` A ) = ( Base ` (/) ) )
26	2, 25	syl5eq 2668	. . . . . 6 |- ( -. M e. _V -> B = ( Base ` (/) ) )
27		base0 15912	. . . . . 6 |- (/) = ( Base ` (/) )
28	26, 27	syl6eqr 2674	. . . . 5 |- ( -. M e. _V -> B = (/) )
29		mpt2eq12 6715	. . . . . 6 |- ( ( B = (/) /\ B = (/) ) -> ( x e. B , y e. B |-> ( x o. y ) ) = ( x e. (/) , y e. (/) |-> ( x o. y ) ) )
30	29	anidms 677	. . . . 5 |- ( B = (/) -> ( x e. B , y e. B |-> ( x o. y ) ) = ( x e. (/) , y e. (/) |-> ( x o. y ) ) )
31	28, 30	syl 17	. . . 4 |- ( -. M e. _V -> ( x e. B , y e. B |-> ( x o. y ) ) = ( x e. (/) , y e. (/) |-> ( x o. y ) ) )
32		mpt20 6725	. . . 4 |- ( x e. (/) , y e. (/) |-> ( x o. y ) ) = (/)
33	31, 32	syl6eq 2672	. . 3 |- ( -. M e. _V -> ( x e. B , y e. B |-> ( x o. y ) ) = (/) )
34	24, 33	eqtr4d 2659	. 2 |- ( -. M e. _V -> ( .r ` A ) = ( x e. B , y e. B |-> ( x o. y ) ) )
35	18, 34	pm2.61i 176	1 |- ( .r ` A ) = ( x e. B , y e. B |-> ( x o. y ) )

Syntax hints:   -. wn 3   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   u. cun 3572   (/)c0 3915   {csn 4177   {cpr 4179   {ctp 4181   <.cop 4183   X. cxp 5112   o. ccom 5118   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   oFcof 6895   3c3 11071   ndxcnx 15854   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   .rcmulr 15942  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   LMHom clmhm 19019  MEndocmend 37745

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-lmhm 19022  df-mend 37746

This theorem is referenced by:  mendmulr  37758