Theorem mplbaspropd 19607

Description: Property deduction for polynomial base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 19-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrplusgpropd.b1	|- ( ph -> B = ( Base ` R ) )
psrplusgpropd.b2	|- ( ph -> B = ( Base ` S ) )
psrplusgpropd.p	|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` R ) y ) = ( x ( +g ` S ) y ) )

Assertion

Ref	Expression
mplbaspropd	|- ( ph -> ( Base ` ( I mPoly R ) ) = ( Base ` ( I mPoly S ) ) )

Distinct variable groups:   ph, y, x   x, B, y   y, R, x   y, S, x

Allowed substitution hints:   I( x, y)

Proof of Theorem mplbaspropd

Dummy variable a is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psrplusgpropd.b1	. . . . . . 7 |- ( ph -> B = ( Base ` R ) )
2		psrplusgpropd.b2	. . . . . . 7 |- ( ph -> B = ( Base ` S ) )
3	1, 2	eqtr3d 2658	. . . . . 6 |- ( ph -> ( Base ` R ) = ( Base ` S ) )
4	3	psrbaspropd 19605	. . . . 5 |- ( ph -> ( Base ` ( I mPwSer R ) ) = ( Base ` ( I mPwSer S ) ) )
5	4	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ I e. _V ) -> ( Base ` ( I mPwSer R ) ) = ( Base ` ( I mPwSer S ) ) )
6		psrplusgpropd.p	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` R ) y ) = ( x ( +g ` S ) y ) )
7	1, 2, 6	grpidpropd 17261	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 0g ` R ) = ( 0g ` S ) )
8	7	breq2d 4665	. . . . 5 |- ( ph -> ( a finSupp ( 0g ` R ) <-> a finSupp ( 0g ` S ) ) )
9	8	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ I e. _V ) -> ( a finSupp ( 0g ` R ) <-> a finSupp ( 0g ` S ) ) )
10	5, 9	rabeqbidv 3195	. . 3 |- ( ( ph /\ I e. _V ) -> { a e. ( Base ` ( I mPwSer R ) ) | a finSupp ( 0g ` R ) } = { a e. ( Base ` ( I mPwSer S ) ) | a finSupp ( 0g ` S ) } )
11		eqid 2622	. . . 4 |- ( I mPoly R ) = ( I mPoly R )
12		eqid 2622	. . . 4 |- ( I mPwSer R ) = ( I mPwSer R )
13		eqid 2622	. . . 4 |- ( Base ` ( I mPwSer R ) ) = ( Base ` ( I mPwSer R ) )
14		eqid 2622	. . . 4 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
15		eqid 2622	. . . 4 |- ( Base ` ( I mPoly R ) ) = ( Base ` ( I mPoly R ) )
16	11, 12, 13, 14, 15	mplbas 19429	. . 3 |- ( Base ` ( I mPoly R ) ) = { a e. ( Base ` ( I mPwSer R ) ) | a finSupp ( 0g ` R ) }
17		eqid 2622	. . . 4 |- ( I mPoly S ) = ( I mPoly S )
18		eqid 2622	. . . 4 |- ( I mPwSer S ) = ( I mPwSer S )
19		eqid 2622	. . . 4 |- ( Base ` ( I mPwSer S ) ) = ( Base ` ( I mPwSer S ) )
20		eqid 2622	. . . 4 |- ( 0g ` S ) = ( 0g ` S )
21		eqid 2622	. . . 4 |- ( Base ` ( I mPoly S ) ) = ( Base ` ( I mPoly S ) )
22	17, 18, 19, 20, 21	mplbas 19429	. . 3 |- ( Base ` ( I mPoly S ) ) = { a e. ( Base ` ( I mPwSer S ) ) | a finSupp ( 0g ` S ) }
23	10, 16, 22	3eqtr4g 2681	. 2 |- ( ( ph /\ I e. _V ) -> ( Base ` ( I mPoly R ) ) = ( Base ` ( I mPoly S ) ) )
24		reldmmpl 19427	. . . . . 6 |- Rel dom mPoly
25	24	ovprc1 6684	. . . . 5 |- ( -. I e. _V -> ( I mPoly R ) = (/) )
26	24	ovprc1 6684	. . . . 5 |- ( -. I e. _V -> ( I mPoly S ) = (/) )
27	25, 26	eqtr4d 2659	. . . 4 |- ( -. I e. _V -> ( I mPoly R ) = ( I mPoly S ) )
28	27	fveq2d 6195	. . 3 |- ( -. I e. _V -> ( Base ` ( I mPoly R ) ) = ( Base ` ( I mPoly S ) ) )
29	28	adantl 482	. 2 |- ( ( ph /\ -. I e. _V ) -> ( Base ` ( I mPoly R ) ) = ( Base ` ( I mPoly S ) ) )
30	23, 29	pm2.61dan 832	1 |- ( ph -> ( Base ` ( I mPoly R ) ) = ( Base ` ( I mPoly S ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {crab 2916   _Vcvv 3200   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   finSupp cfsupp 8275   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   0gc0g 16100   mPwSer cmps 19351   mPoly cmpl 19353

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-tset 15960  df-0g 16102  df-psr 19356  df-mpl 19358

This theorem is referenced by:  ply1baspropd  19613  mdegpropd  23844