Theorem psropprmul 19608

Description: Reversing multiplication in a ring reverses multiplication in the power series ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
psropprmul.y	|- Y = ( I mPwSer R )
psropprmul.s	|- S = (oppr ` R )
psropprmul.z	|- Z = ( I mPwSer S )
psropprmul.t	|- .x. = ( .r ` Y )
psropprmul.u	|- .xb = ( .r ` Z )
psropprmul.b	|- B = ( Base ` Y )

Assertion

Ref	Expression
psropprmul	|- ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ G e. B ) -> ( F .xb G ) = ( G .x. F ) )

Proof of Theorem psropprmul

Dummy variables b c e f a d are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . . . 5 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
2		eqid 2622	. . . . 5 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
3		ringcmn 18581	. . . . . . 7 |- ( R e. Ring -> R e. CMnd )
4	3	3ad2ant1 1082	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ G e. B ) -> R e. CMnd )
5	4	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ G e. B ) /\ b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } ) -> R e. CMnd )
6		ovex 6678	. . . . . . . 8 |- ( NN0 ^m I ) e. _V
7	6	rabex 4813	. . . . . . 7 |- { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } e. _V
8	7	rabex 4813	. . . . . 6 |- { d e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } | d oR <_ b } e. _V
9	8	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ G e. B ) /\ b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } ) -> { d e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } | d oR <_ b } e. _V )
10		simpll1 1100	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ G e. B ) /\ b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } ) /\ e e. { d e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } | d oR <_ b } ) -> R e. Ring )
11		psropprmul.y	. . . . . . . . . 10 |- Y = ( I mPwSer R )
12		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } = { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin }
13		psropprmul.b	. . . . . . . . . 10 |- B = ( Base ` Y )
14		simp3 1063	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ G e. B ) -> G e. B )
15	11, 1, 12, 13, 14	psrelbas 19379	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ G e. B ) -> G : { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } --> ( Base ` R ) )
16	15	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ G e. B ) /\ b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } ) -> G : { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } --> ( Base ` R ) )
17		elrabi 3359	. . . . . . . 8 |- ( e e. { d e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } | d oR <_ b } -> e e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } )
18		ffvelrn 6357	. . . . . . . 8 |- ( ( G : { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } --> ( Base ` R ) /\ e e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } ) -> ( G ` e ) e. ( Base ` R ) )
19	16, 17, 18	syl2an 494	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ G e. B ) /\ b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } ) /\ e e. { d e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } | d oR <_ b } ) -> ( G ` e ) e. ( Base ` R ) )
20		simp2 1062	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ G e. B ) -> F e. B )
21	11, 1, 12, 13, 20	psrelbas 19379	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ G e. B ) -> F : { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } --> ( Base ` R ) )
22	21	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ G e. B ) /\ b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } ) /\ e e. { d e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } | d oR <_ b } ) -> F : { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } --> ( Base ` R ) )
23		ssrab2 3687	. . . . . . . . 9 |- { d e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } | d oR <_ b } C_ { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin }
24		reldmpsr 19361	. . . . . . . . . . . . 13 |- Rel dom mPwSer
25	11, 13, 24	strov2rcl 15922	. . . . . . . . . . . 12 |- ( G e. B -> I e. _V )
26	25	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ G e. B ) -> I e. _V )
27	26	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ G e. B ) /\ b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } ) /\ e e. { d e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } | d oR <_ b } ) -> I e. _V )
28		simplr 792	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ G e. B ) /\ b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } ) /\ e e. { d e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } | d oR <_ b } ) -> b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } )
29		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ G e. B ) /\ b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } ) /\ e e. { d e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } | d oR <_ b } ) -> e e. { d e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } | d oR <_ b } )
30		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- { d e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } | d oR <_ b } = { d e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } | d oR <_ b }
31	12, 30	psrbagconcl 19373	. . . . . . . . . 10 |- ( ( I e. _V /\ b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } /\ e e. { d e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } | d oR <_ b } ) -> ( b oF - e ) e. { d e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } | d oR <_ b } )
32	27, 28, 29, 31	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ G e. B ) /\ b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } ) /\ e e. { d e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } | d oR <_ b } ) -> ( b oF - e ) e. { d e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } | d oR <_ b } )
33	23, 32	sseldi 3601	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ G e. B ) /\ b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } ) /\ e e. { d e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } | d oR <_ b } ) -> ( b oF - e ) e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } )
34	22, 33	ffvelrnd 6360	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ G e. B ) /\ b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } ) /\ e e. { d e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } | d oR <_ b } ) -> ( F ` ( b oF - e ) ) e. ( Base ` R ) )
35		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
36	1, 35	ringcl 18561	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ ( G ` e ) e. ( Base ` R ) /\ ( F ` ( b oF - e ) ) e. ( Base ` R ) ) -> ( ( G ` e ) ( .r ` R ) ( F ` ( b oF - e ) ) ) e. ( Base ` R ) )
37	10, 19, 34, 36	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ G e. B ) /\ b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } ) /\ e e. { d e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } | d oR <_ b } ) -> ( ( G ` e ) ( .r ` R ) ( F ` ( b oF - e ) ) ) e. ( Base ` R ) )
38		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( e e. { d e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } | d oR <_ b } |-> ( ( G ` e ) ( .r ` R ) ( F ` ( b oF - e ) ) ) ) = ( e e. { d e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } | d oR <_ b } |-> ( ( G ` e ) ( .r ` R ) ( F ` ( b oF - e ) ) ) )
39	37, 38	fmptd 6385	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ G e. B ) /\ b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } ) -> ( e e. { d e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } | d oR <_ b } |-> ( ( G ` e ) ( .r ` R ) ( F ` ( b oF - e ) ) ) ) : { d e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } | d oR <_ b } --> ( Base ` R ) )
40		mptexg 6484	. . . . . . 7 |- ( { d e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } | d oR <_ b } e. _V -> ( e e. { d e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } | d oR <_ b } |-> ( ( G ` e ) ( .r ` R ) ( F ` ( b oF - e ) ) ) ) e. _V )
41	8, 40	mp1i 13	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ G e. B ) /\ b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } ) -> ( e e. { d e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } | d oR <_ b } |-> ( ( G ` e ) ( .r ` R ) ( F ` ( b oF - e ) ) ) ) e. _V )
42		funmpt 5926	. . . . . . 7 |- Fun ( e e. { d e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } | d oR <_ b } |-> ( ( G ` e ) ( .r ` R ) ( F ` ( b oF - e ) ) ) )
43	42	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ G e. B ) /\ b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } ) -> Fun ( e e. { d e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } | d oR <_ b } |-> ( ( G ` e ) ( .r ` R ) ( F ` ( b oF - e ) ) ) ) )
44		fvex 6201	. . . . . . 7 |- ( 0g ` R ) e. _V
45	44	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ G e. B ) /\ b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } ) -> ( 0g ` R ) e. _V )
46	12	psrbaglefi 19372	. . . . . . 7 |- ( ( I e. _V /\ b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } ) -> { d e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } | d oR <_ b } e. Fin )
47	26, 46	sylan 488	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ G e. B ) /\ b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } ) -> { d e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } | d oR <_ b } e. Fin )
48		suppssdm 7308	. . . . . . . 8 |- ( ( e e. { d e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } | d oR <_ b } |-> ( ( G ` e ) ( .r ` R ) ( F ` ( b oF - e ) ) ) ) supp ( 0g ` R ) ) C_ dom ( e e. { d e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } | d oR <_ b } |-> ( ( G ` e ) ( .r ` R ) ( F ` ( b oF - e ) ) ) )
49	38	dmmptss 5631	. . . . . . . 8 |- dom ( e e. { d e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } | d oR <_ b } |-> ( ( G ` e ) ( .r ` R ) ( F ` ( b oF - e ) ) ) ) C_ { d e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } | d oR <_ b }
50	48, 49	sstri 3612	. . . . . . 7 |- ( ( e e. { d e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } | d oR <_ b } |-> ( ( G ` e ) ( .r ` R ) ( F ` ( b oF - e ) ) ) ) supp ( 0g ` R ) ) C_ { d e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } | d oR <_ b }
51	50	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ G e. B ) /\ b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } ) -> ( ( e e. { d e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } | d oR <_ b } |-> ( ( G ` e ) ( .r ` R ) ( F ` ( b oF - e ) ) ) ) supp ( 0g ` R ) ) C_ { d e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } | d oR <_ b } )
52		suppssfifsupp 8290	. . . . . 6 |- ( ( ( ( e e. { d e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } | d oR <_ b } |-> ( ( G ` e ) ( .r ` R ) ( F ` ( b oF - e ) ) ) ) e. _V /\ Fun ( e e. { d e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } | d oR <_ b } |-> ( ( G ` e ) ( .r ` R ) ( F ` ( b oF - e ) ) ) ) /\ ( 0g ` R ) e. _V ) /\ ( { d e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } | d oR <_ b } e. Fin /\ ( ( e e. { d e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } | d oR <_ b } |-> ( ( G ` e ) ( .r ` R ) ( F ` ( b oF - e ) ) ) ) supp ( 0g ` R ) ) C_ { d e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } | d oR <_ b } ) ) -> ( e e. { d e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } | d oR <_ b } |-> ( ( G ` e ) ( .r ` R ) ( F ` ( b oF - e ) ) ) ) finSupp ( 0g ` R ) )
53	41, 43, 45, 47, 51, 52	syl32anc 1334	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ G e. B ) /\ b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } ) -> ( e e. { d e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } | d oR <_ b } |-> ( ( G ` e ) ( .r ` R ) ( F ` ( b oF - e ) ) ) ) finSupp ( 0g ` R ) )
54	12, 30	psrbagconf1o 19374	. . . . . 6 |- ( ( I e. _V /\ b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } ) -> ( c e. { d e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } | d oR <_ b } |-> ( b oF - c ) ) : { d e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } | d oR <_ b } -1-1-onto-> { d e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } | d oR <_ b } )
55	26, 54	sylan 488	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ G e. B ) /\ b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } ) -> ( c e. { d e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } | d oR <_ b } |-> ( b oF - c ) ) : { d e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } | d oR <_ b } -1-1-onto-> { d e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } | d oR <_ b } )
56	1, 2, 5, 9, 39, 53, 55	gsumf1o 18317	. . . 4 |- ( ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ G e. B ) /\ b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } ) -> ( R gsumg ( e e. { d e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } | d oR <_ b } |-> ( ( G ` e ) ( .r ` R ) ( F ` ( b oF - e ) ) ) ) ) = ( R gsumg ( ( e e. { d e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } | d oR <_ b } |-> ( ( G ` e ) ( .r ` R ) ( F ` ( b oF - e ) ) ) ) o. ( c e. { d e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } | d oR <_ b } |-> ( b oF - c ) ) ) ) )
57	26	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ G e. B ) /\ b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } ) /\ c e. { d e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } | d oR <_ b } ) -> I e. _V )
58		simplr 792	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ G e. B ) /\ b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } ) /\ c e. { d e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } | d oR <_ b } ) -> b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } )
59		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ G e. B ) /\ b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } ) /\ c e. { d e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } | d oR <_ b } ) -> c e. { d e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } | d oR <_ b } )
60	12, 30	psrbagconcl 19373	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. _V /\ b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } /\ c e. { d e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } | d oR <_ b } ) -> ( b oF - c ) e. { d e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } | d oR <_ b } )
61	57, 58, 59, 60	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ G e. B ) /\ b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } ) /\ c e. { d e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } | d oR <_ b } ) -> ( b oF - c ) e. { d e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } | d oR <_ b } )
62		eqidd 2623	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ G e. B ) /\ b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } ) -> ( c e. { d e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } | d oR <_ b } |-> ( b oF - c ) ) = ( c e. { d e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } | d oR <_ b } |-> ( b oF - c ) ) )
63		eqidd 2623	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ G e. B ) /\ b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } ) -> ( e e. { d e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } | d oR <_ b } |-> ( ( G ` e ) ( .r ` R ) ( F ` ( b oF - e ) ) ) ) = ( e e. { d e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } | d oR <_ b } |-> ( ( G ` e ) ( .r ` R ) ( F ` ( b oF - e ) ) ) ) )
64		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( e = ( b oF - c ) -> ( G ` e ) = ( G ` ( b oF - c ) ) )
65		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 |- ( e = ( b oF - c ) -> ( b oF - e ) = ( b oF - ( b oF - c ) ) )
66	65	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( e = ( b oF - c ) -> ( F ` ( b oF - e ) ) = ( F ` ( b oF - ( b oF - c ) ) ) )
67	64, 66	oveq12d 6668	. . . . . . 7 |- ( e = ( b oF - c ) -> ( ( G ` e ) ( .r ` R ) ( F ` ( b oF - e ) ) ) = ( ( G ` ( b oF - c ) ) ( .r ` R ) ( F ` ( b oF - ( b oF - c ) ) ) ) )
68	61, 62, 63, 67	fmptco 6396	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ G e. B ) /\ b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } ) -> ( ( e e. { d e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } | d oR <_ b } |-> ( ( G ` e ) ( .r ` R ) ( F ` ( b oF - e ) ) ) ) o. ( c e. { d e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } | d oR <_ b } |-> ( b oF - c ) ) ) = ( c e. { d e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } | d oR <_ b } |-> ( ( G ` ( b oF - c ) ) ( .r ` R ) ( F ` ( b oF - ( b oF - c ) ) ) ) ) )
69	12	psrbagf 19365	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( I e. _V /\ b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } ) -> b : I --> NN0 )
70	26, 69	sylan 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ G e. B ) /\ b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } ) -> b : I --> NN0 )
71	70	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ G e. B ) /\ b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } ) /\ c e. { d e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } | d oR <_ b } ) -> b : I --> NN0 )
72	26	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ G e. B ) /\ b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } ) -> I e. _V )
73		elrabi 3359	. . . . . . . . . . . 12 |- ( c e. { d e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } | d oR <_ b } -> c e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } )
74	12	psrbagf 19365	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( I e. _V /\ c e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } ) -> c : I --> NN0 )
75	72, 73, 74	syl2an 494	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ G e. B ) /\ b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } ) /\ c e. { d e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } | d oR <_ b } ) -> c : I --> NN0 )
76		nn0cn 11302	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( e e. NN0 -> e e. CC )
77		nn0cn 11302	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f e. NN0 -> f e. CC )
78		nncan 10310	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( e e. CC /\ f e. CC ) -> ( e - ( e - f ) ) = f )
79	76, 77, 78	syl2an 494	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( e e. NN0 /\ f e. NN0 ) -> ( e - ( e - f ) ) = f )
80	79	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ G e. B ) /\ b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } ) /\ c e. { d e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } | d oR <_ b } ) /\ ( e e. NN0 /\ f e. NN0 ) ) -> ( e - ( e - f ) ) = f )
81	57, 71, 75, 80	caonncan 6935	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ G e. B ) /\ b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } ) /\ c e. { d e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } | d oR <_ b } ) -> ( b oF - ( b oF - c ) ) = c )
82	81	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ G e. B ) /\ b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } ) /\ c e. { d e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } | d oR <_ b } ) -> ( F ` ( b oF - ( b oF - c ) ) ) = ( F ` c ) )
83	82	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ G e. B ) /\ b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } ) /\ c e. { d e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } | d oR <_ b } ) -> ( ( G ` ( b oF - c ) ) ( .r ` R ) ( F ` ( b oF - ( b oF - c ) ) ) ) = ( ( G ` ( b oF - c ) ) ( .r ` R ) ( F ` c ) ) )
84		psropprmul.s	. . . . . . . . 9 |- S = (oppr ` R )
85		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( .r ` S ) = ( .r ` S )
86	1, 35, 84, 85	opprmul 18626	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( G ` ( b oF - c ) ) ) = ( ( G ` ( b oF - c ) ) ( .r ` R ) ( F ` c ) )
87	83, 86	syl6eqr 2674	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ G e. B ) /\ b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } ) /\ c e. { d e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } | d oR <_ b } ) -> ( ( G ` ( b oF - c ) ) ( .r ` R ) ( F ` ( b oF - ( b oF - c ) ) ) ) = ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( G ` ( b oF - c ) ) ) )
88	87	mpteq2dva 4744	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ G e. B ) /\ b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } ) -> ( c e. { d e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } | d oR <_ b } |-> ( ( G ` ( b oF - c ) ) ( .r ` R ) ( F ` ( b oF - ( b oF - c ) ) ) ) ) = ( c e. { d e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } | d oR <_ b } |-> ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( G ` ( b oF - c ) ) ) ) )
89	68, 88	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ G e. B ) /\ b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } ) -> ( ( e e. { d e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } | d oR <_ b } |-> ( ( G ` e ) ( .r ` R ) ( F ` ( b oF - e ) ) ) ) o. ( c e. { d e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } | d oR <_ b } |-> ( b oF - c ) ) ) = ( c e. { d e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } | d oR <_ b } |-> ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( G ` ( b oF - c ) ) ) ) )
90	89	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ G e. B ) /\ b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } ) -> ( R gsumg ( ( e e. { d e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } | d oR <_ b } |-> ( ( G ` e ) ( .r ` R ) ( F ` ( b oF - e ) ) ) ) o. ( c e. { d e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } | d oR <_ b } |-> ( b oF - c ) ) ) ) = ( R gsumg ( c e. { d e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } | d oR <_ b } |-> ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( G ` ( b oF - c ) ) ) ) ) )
91	8	mptex 6486	. . . . . . . 8 |- ( c e. { d e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } | d oR <_ b } |-> ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( G ` ( b oF - c ) ) ) ) e. _V
92	91	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( R e. Ring -> ( c e. { d e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } | d oR <_ b } |-> ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( G ` ( b oF - c ) ) ) ) e. _V )
93		id 22	. . . . . . 7 |- ( R e. Ring -> R e. Ring )
94		fvex 6201	. . . . . . . . 9 |- (oppr ` R ) e. _V
95	84, 94	eqeltri 2697	. . . . . . . 8 |- S e. _V
96	95	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( R e. Ring -> S e. _V )
97	84, 1	opprbas 18629	. . . . . . . 8 |- ( Base ` R ) = ( Base ` S )
98	97	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( R e. Ring -> ( Base ` R ) = ( Base ` S ) )
99		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
100	84, 99	oppradd 18630	. . . . . . . 8 |- ( +g ` R ) = ( +g ` S )
101	100	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( R e. Ring -> ( +g ` R ) = ( +g ` S ) )
102	92, 93, 96, 98, 101	gsumpropd 17272	. . . . . 6 |- ( R e. Ring -> ( R gsumg ( c e. { d e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } | d oR <_ b } |-> ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( G ` ( b oF - c ) ) ) ) ) = ( S gsumg ( c e. { d e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } | d oR <_ b } |-> ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( G ` ( b oF - c ) ) ) ) ) )
103	102	3ad2ant1 1082	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ G e. B ) -> ( R gsumg ( c e. { d e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } | d oR <_ b } |-> ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( G ` ( b oF - c ) ) ) ) ) = ( S gsumg ( c e. { d e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } | d oR <_ b } |-> ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( G ` ( b oF - c ) ) ) ) ) )
104	103	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ G e. B ) /\ b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } ) -> ( R gsumg ( c e. { d e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } | d oR <_ b } |-> ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( G ` ( b oF - c ) ) ) ) ) = ( S gsumg ( c e. { d e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } | d oR <_ b } |-> ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( G ` ( b oF - c ) ) ) ) ) )
105	56, 90, 104	3eqtrd 2660	. . 3 |- ( ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ G e. B ) /\ b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } ) -> ( R gsumg ( e e. { d e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } | d oR <_ b } |-> ( ( G ` e ) ( .r ` R ) ( F ` ( b oF - e ) ) ) ) ) = ( S gsumg ( c e. { d e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } | d oR <_ b } |-> ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( G ` ( b oF - c ) ) ) ) ) )
106	105	mpteq2dva 4744	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ G e. B ) -> ( b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } |-> ( R gsumg ( e e. { d e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } | d oR <_ b } |-> ( ( G ` e ) ( .r ` R ) ( F ` ( b oF - e ) ) ) ) ) ) = ( b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } |-> ( S gsumg ( c e. { d e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } | d oR <_ b } |-> ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( G ` ( b oF - c ) ) ) ) ) ) )
107		psropprmul.t	. . 3 |- .x. = ( .r ` Y )
108	11, 13, 35, 107, 12, 14, 20	psrmulfval 19385	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ G e. B ) -> ( G .x. F ) = ( b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } |-> ( R gsumg ( e e. { d e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } | d oR <_ b } |-> ( ( G ` e ) ( .r ` R ) ( F ` ( b oF - e ) ) ) ) ) ) )
109		psropprmul.z	. . 3 |- Z = ( I mPwSer S )
110		eqid 2622	. . 3 |- ( Base ` Z ) = ( Base ` Z )
111		psropprmul.u	. . 3 |- .xb = ( .r ` Z )
112	97	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ G e. B ) -> ( Base ` R ) = ( Base ` S ) )
113	112	psrbaspropd 19605	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ G e. B ) -> ( Base ` ( I mPwSer R ) ) = ( Base ` ( I mPwSer S ) ) )
114	11	fveq2i 6194	. . . . . 6 |- ( Base ` Y ) = ( Base ` ( I mPwSer R ) )
115	13, 114	eqtri 2644	. . . . 5 |- B = ( Base ` ( I mPwSer R ) )
116	109	fveq2i 6194	. . . . 5 |- ( Base ` Z ) = ( Base ` ( I mPwSer S ) )
117	113, 115, 116	3eqtr4g 2681	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ G e. B ) -> B = ( Base ` Z ) )
118	20, 117	eleqtrd 2703	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ G e. B ) -> F e. ( Base ` Z ) )
119	14, 117	eleqtrd 2703	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ G e. B ) -> G e. ( Base ` Z ) )
120	109, 110, 85, 111, 12, 118, 119	psrmulfval 19385	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ G e. B ) -> ( F .xb G ) = ( b e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } |-> ( S gsumg ( c e. { d e. { a e. ( NN0 ^m I ) | ( `' a " NN ) e. Fin } | d oR <_ b } |-> ( ( F ` c ) ( .r ` S ) ( G ` ( b oF - c ) ) ) ) ) ) )
121	106, 108, 120	3eqtr4rd 2667	1 |- ( ( R e. Ring /\ F e. B /\ G e. B ) -> ( F .xb G ) = ( G .x. F ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   "cima 5117   o. ccom 5118   Fun wfun 5882   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   oRcofr 6896   supp csupp 7295   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   finSupp cfsupp 8275   CCcc 9934   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   NN0cn0 11292   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   .rcmulr 15942   0gc0g 16100   gsum_g cgsu 16101  CMndccmn 18193   Ringcrg 18547  opp_rcoppr 18622   mPwSer cmps 19351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-tset 15960  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-oppr 18623  df-psr 19356

This theorem is referenced by:  ply1opprmul  19609