Theorem mptctf 29495

Description: A countable mapping set is countable, using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Mar-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
mptctf.1	|- F/_ x A

Assertion

Ref	Expression
mptctf	|- ( A ~<_ om -> ( x e. A |-> B ) ~<_ om )

Proof of Theorem mptctf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funmpt 5926	. 2 |- Fun ( x e. A |-> B )
2		ctex 7970	. . . 4 |- ( A ~<_ om -> A e. _V )
3		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> B )
4	3	dmmpt 5630	. . . . 5 |- dom ( x e. A |-> B ) = { x e. A | B e. _V }
5		df-rab 2921	. . . . . 6 |- { x e. A | B e. _V } = { x | ( x e. A /\ B e. _V ) }
6		simpl 473	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. A /\ B e. _V ) -> x e. A )
7	6	ss2abi 3674	. . . . . . 7 |- { x | ( x e. A /\ B e. _V ) } C_ { x | x e. A }
8		mptctf.1	. . . . . . . 8 |- F/_ x A
9	8	abid2f 2791	. . . . . . 7 |- { x | x e. A } = A
10	7, 9	sseqtri 3637	. . . . . 6 |- { x | ( x e. A /\ B e. _V ) } C_ A
11	5, 10	eqsstri 3635	. . . . 5 |- { x e. A | B e. _V } C_ A
12	4, 11	eqsstri 3635	. . . 4 |- dom ( x e. A |-> B ) C_ A
13		ssdomg 8001	. . . 4 |- ( A e. _V -> ( dom ( x e. A |-> B ) C_ A -> dom ( x e. A |-> B ) ~<_ A ) )
14	2, 12, 13	mpisyl 21	. . 3 |- ( A ~<_ om -> dom ( x e. A |-> B ) ~<_ A )
15		domtr 8009	. . 3 |- ( ( dom ( x e. A |-> B ) ~<_ A /\ A ~<_ om ) -> dom ( x e. A |-> B ) ~<_ om )
16	14, 15	mpancom 703	. 2 |- ( A ~<_ om -> dom ( x e. A |-> B ) ~<_ om )
17		funfn 5918	. . 3 |- ( Fun ( x e. A |-> B ) <-> ( x e. A |-> B ) Fn dom ( x e. A |-> B ) )
18		fnct 9359	. . 3 |- ( ( ( x e. A |-> B ) Fn dom ( x e. A |-> B ) /\ dom ( x e. A |-> B ) ~<_ om ) -> ( x e. A |-> B ) ~<_ om )
19	17, 18	sylanb 489	. 2 |- ( ( Fun ( x e. A |-> B ) /\ dom ( x e. A |-> B ) ~<_ om ) -> ( x e. A |-> B ) ~<_ om )
20	1, 16, 19	sylancr 695	1 |- ( A ~<_ om -> ( x e. A |-> B ) ~<_ om )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   e. wcel 1990   {cab 2608   F/_wnfc 2751   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   omcom 7065   ~<_ cdom 7953

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-ac2 9285

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-ac 8939

This theorem is referenced by:  abrexctf  29496