Theorem mrsubcv 31407

Description: The value of a substituted singleton. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mrsubffval.c	|- C = (mCN ` T )
mrsubffval.v	|- V = (mVR ` T )
mrsubffval.r	|- R = (mREx ` T )
mrsubffval.s	|- S = (mRSubst ` T )

Assertion

Ref	Expression
mrsubcv	|- ( ( F : A --> R /\ A C_ V /\ X e. ( C u. V ) ) -> ( ( S ` F ) ` <" X "> ) = if ( X e. A , ( F ` X ) , <" X "> ) )

Proof of Theorem mrsubcv

Dummy variable v is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1063	. . . . 5 |- ( ( F : A --> R /\ A C_ V /\ X e. ( C u. V ) ) -> X e. ( C u. V ) )
2	1	s1cld 13383	. . . 4 |- ( ( F : A --> R /\ A C_ V /\ X e. ( C u. V ) ) -> <" X "> e. Word ( C u. V ) )
3		elun 3753	. . . . . . 7 |- ( X e. ( C u. V ) <-> ( X e. C \/ X e. V ) )
4		elfvex 6221	. . . . . . . . 9 |- ( X e. (mCN ` T ) -> T e. _V )
5		mrsubffval.c	. . . . . . . . 9 |- C = (mCN ` T )
6	4, 5	eleq2s 2719	. . . . . . . 8 |- ( X e. C -> T e. _V )
7		elfvex 6221	. . . . . . . . 9 |- ( X e. (mVR ` T ) -> T e. _V )
8		mrsubffval.v	. . . . . . . . 9 |- V = (mVR ` T )
9	7, 8	eleq2s 2719	. . . . . . . 8 |- ( X e. V -> T e. _V )
10	6, 9	jaoi 394	. . . . . . 7 |- ( ( X e. C \/ X e. V ) -> T e. _V )
11	3, 10	sylbi 207	. . . . . 6 |- ( X e. ( C u. V ) -> T e. _V )
12	11	3ad2ant3 1084	. . . . 5 |- ( ( F : A --> R /\ A C_ V /\ X e. ( C u. V ) ) -> T e. _V )
13		mrsubffval.r	. . . . . 6 |- R = (mREx ` T )
14	5, 8, 13	mrexval 31398	. . . . 5 |- ( T e. _V -> R = Word ( C u. V ) )
15	12, 14	syl 17	. . . 4 |- ( ( F : A --> R /\ A C_ V /\ X e. ( C u. V ) ) -> R = Word ( C u. V ) )
16	2, 15	eleqtrrd 2704	. . 3 |- ( ( F : A --> R /\ A C_ V /\ X e. ( C u. V ) ) -> <" X "> e. R )
17		mrsubffval.s	. . . 4 |- S = (mRSubst ` T )
18		eqid 2622	. . . 4 |- (freeMnd ` ( C u. V ) ) = (freeMnd ` ( C u. V ) )
19	5, 8, 13, 17, 18	mrsubval 31406	. . 3 |- ( ( F : A --> R /\ A C_ V /\ <" X "> e. R ) -> ( ( S ` F ) ` <" X "> ) = ( (freeMnd ` ( C u. V ) ) gsumg ( ( v e. ( C u. V ) |-> if ( v e. A , ( F ` v ) , <" v "> ) ) o. <" X "> ) ) )
20	16, 19	syld3an3 1371	. 2 |- ( ( F : A --> R /\ A C_ V /\ X e. ( C u. V ) ) -> ( ( S ` F ) ` <" X "> ) = ( (freeMnd ` ( C u. V ) ) gsumg ( ( v e. ( C u. V ) |-> if ( v e. A , ( F ` v ) , <" v "> ) ) o. <" X "> ) ) )
21		simpl1 1064	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F : A --> R /\ A C_ V /\ X e. ( C u. V ) ) /\ v e. ( C u. V ) ) -> F : A --> R )
22	21	ffvelrnda 6359	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F : A --> R /\ A C_ V /\ X e. ( C u. V ) ) /\ v e. ( C u. V ) ) /\ v e. A ) -> ( F ` v ) e. R )
23	15	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F : A --> R /\ A C_ V /\ X e. ( C u. V ) ) /\ v e. ( C u. V ) ) /\ v e. A ) -> R = Word ( C u. V ) )
24	22, 23	eleqtrd 2703	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F : A --> R /\ A C_ V /\ X e. ( C u. V ) ) /\ v e. ( C u. V ) ) /\ v e. A ) -> ( F ` v ) e. Word ( C u. V ) )
25		simplr 792	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F : A --> R /\ A C_ V /\ X e. ( C u. V ) ) /\ v e. ( C u. V ) ) /\ -. v e. A ) -> v e. ( C u. V ) )
26	25	s1cld 13383	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F : A --> R /\ A C_ V /\ X e. ( C u. V ) ) /\ v e. ( C u. V ) ) /\ -. v e. A ) -> <" v "> e. Word ( C u. V ) )
27	24, 26	ifclda 4120	. . . . . 6 |- ( ( ( F : A --> R /\ A C_ V /\ X e. ( C u. V ) ) /\ v e. ( C u. V ) ) -> if ( v e. A , ( F ` v ) , <" v "> ) e. Word ( C u. V ) )
28		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( v e. ( C u. V ) |-> if ( v e. A , ( F ` v ) , <" v "> ) ) = ( v e. ( C u. V ) |-> if ( v e. A , ( F ` v ) , <" v "> ) )
29	27, 28	fmptd 6385	. . . . 5 |- ( ( F : A --> R /\ A C_ V /\ X e. ( C u. V ) ) -> ( v e. ( C u. V ) |-> if ( v e. A , ( F ` v ) , <" v "> ) ) : ( C u. V ) -->Word ( C u. V ) )
30		s1co 13579	. . . . 5 |- ( ( X e. ( C u. V ) /\ ( v e. ( C u. V ) |-> if ( v e. A , ( F ` v ) , <" v "> ) ) : ( C u. V ) -->Word ( C u. V ) ) -> ( ( v e. ( C u. V ) |-> if ( v e. A , ( F ` v ) , <" v "> ) ) o. <" X "> ) = <" ( ( v e. ( C u. V ) |-> if ( v e. A , ( F ` v ) , <" v "> ) ) ` X ) "> )
31	1, 29, 30	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( F : A --> R /\ A C_ V /\ X e. ( C u. V ) ) -> ( ( v e. ( C u. V ) |-> if ( v e. A , ( F ` v ) , <" v "> ) ) o. <" X "> ) = <" ( ( v e. ( C u. V ) |-> if ( v e. A , ( F ` v ) , <" v "> ) ) ` X ) "> )
32		eleq1 2689	. . . . . . . 8 |- ( v = X -> ( v e. A <-> X e. A ) )
33		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( v = X -> ( F ` v ) = ( F ` X ) )
34		s1eq 13380	. . . . . . . 8 |- ( v = X -> <" v "> = <" X "> )
35	32, 33, 34	ifbieq12d 4113	. . . . . . 7 |- ( v = X -> if ( v e. A , ( F ` v ) , <" v "> ) = if ( X e. A , ( F ` X ) , <" X "> ) )
36		fvex 6201	. . . . . . . 8 |- ( F ` X ) e. _V
37		s1cli 13384	. . . . . . . . 9 |- <" X "> e. Word _V
38	37	elexi 3213	. . . . . . . 8 |- <" X "> e. _V
39	36, 38	ifex 4156	. . . . . . 7 |- if ( X e. A , ( F ` X ) , <" X "> ) e. _V
40	35, 28, 39	fvmpt 6282	. . . . . 6 |- ( X e. ( C u. V ) -> ( ( v e. ( C u. V ) |-> if ( v e. A , ( F ` v ) , <" v "> ) ) ` X ) = if ( X e. A , ( F ` X ) , <" X "> ) )
41	40	3ad2ant3 1084	. . . . 5 |- ( ( F : A --> R /\ A C_ V /\ X e. ( C u. V ) ) -> ( ( v e. ( C u. V ) |-> if ( v e. A , ( F ` v ) , <" v "> ) ) ` X ) = if ( X e. A , ( F ` X ) , <" X "> ) )
42	41	s1eqd 13381	. . . 4 |- ( ( F : A --> R /\ A C_ V /\ X e. ( C u. V ) ) -> <" ( ( v e. ( C u. V ) |-> if ( v e. A , ( F ` v ) , <" v "> ) ) ` X ) "> = <" if ( X e. A , ( F ` X ) , <" X "> ) "> )
43	31, 42	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ( F : A --> R /\ A C_ V /\ X e. ( C u. V ) ) -> ( ( v e. ( C u. V ) |-> if ( v e. A , ( F ` v ) , <" v "> ) ) o. <" X "> ) = <" if ( X e. A , ( F ` X ) , <" X "> ) "> )
44	43	oveq2d 6666	. 2 |- ( ( F : A --> R /\ A C_ V /\ X e. ( C u. V ) ) -> ( (freeMnd ` ( C u. V ) ) gsumg ( ( v e. ( C u. V ) |-> if ( v e. A , ( F ` v ) , <" v "> ) ) o. <" X "> ) ) = ( (freeMnd ` ( C u. V ) ) gsumg <" if ( X e. A , ( F ` X ) , <" X "> ) "> ) )
45	29, 1	ffvelrnd 6360	. . . 4 |- ( ( F : A --> R /\ A C_ V /\ X e. ( C u. V ) ) -> ( ( v e. ( C u. V ) |-> if ( v e. A , ( F ` v ) , <" v "> ) ) ` X ) e. Word ( C u. V ) )
46	41, 45	eqeltrrd 2702	. . 3 |- ( ( F : A --> R /\ A C_ V /\ X e. ( C u. V ) ) -> if ( X e. A , ( F ` X ) , <" X "> ) e. Word ( C u. V ) )
47		fvex 6201	. . . . . . . 8 |- (mCN ` T ) e. _V
48	5, 47	eqeltri 2697	. . . . . . 7 |- C e. _V
49		fvex 6201	. . . . . . . 8 |- (mVR ` T ) e. _V
50	8, 49	eqeltri 2697	. . . . . . 7 |- V e. _V
51	48, 50	unex 6956	. . . . . 6 |- ( C u. V ) e. _V
52		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( Base ` (freeMnd ` ( C u. V ) ) ) = ( Base ` (freeMnd ` ( C u. V ) ) )
53	18, 52	frmdbas 17389	. . . . . 6 |- ( ( C u. V ) e. _V -> ( Base ` (freeMnd ` ( C u. V ) ) ) = Word ( C u. V ) )
54	51, 53	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( Base ` (freeMnd ` ( C u. V ) ) ) = Word ( C u. V )
55	54	eqcomi 2631	. . . 4 |- Word ( C u. V ) = ( Base ` (freeMnd ` ( C u. V ) ) )
56	55	gsumws1 17376	. . 3 |- ( if ( X e. A , ( F ` X ) , <" X "> ) e. Word ( C u. V ) -> ( (freeMnd ` ( C u. V ) ) gsumg <" if ( X e. A , ( F ` X ) , <" X "> ) "> ) = if ( X e. A , ( F ` X ) , <" X "> ) )
57	46, 56	syl 17	. 2 |- ( ( F : A --> R /\ A C_ V /\ X e. ( C u. V ) ) -> ( (freeMnd ` ( C u. V ) ) gsumg <" if ( X e. A , ( F ` X ) , <" X "> ) "> ) = if ( X e. A , ( F ` X ) , <" X "> ) )
58	20, 44, 57	3eqtrd 2660	1 |- ( ( F : A --> R /\ A C_ V /\ X e. ( C u. V ) ) -> ( ( S ` F ) ` <" X "> ) = if ( X e. A , ( F ` X ) , <" X "> ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   u. cun 3572   C_ wss 3574   ifcif 4086   |-> cmpt 4729   o. ccom 5118   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650  Word cword 13291   <"cs1 13294   Basecbs 15857   gsum_g cgsu 16101  freeMndcfrmd 17384  mCNcmcn 31357  mVRcmvar 31358  mRExcmrex 31363  mRSubstcmrsub 31367

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-word 13299  df-s1 13302  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-frmd 17386  df-mrex 31383  df-mrsub 31387

This theorem is referenced by:  mrsubvr  31408  mrsubcn  31416