Theorem mrsubcn 31416

Description: A substitution does not change the value of constant substrings. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jul-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mrsubccat.s	|- S = (mRSubst ` T )
mrsubccat.r	|- R = (mREx ` T )
mrsubcn.v	|- V = (mVR ` T )
mrsubcn.c	|- C = (mCN ` T )

Assertion

Ref	Expression
mrsubcn	|- ( ( F e. ran S /\ X e. ( C \ V ) ) -> ( F ` <" X "> ) = <" X "> )

Proof of Theorem mrsubcn

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0i 3920	. . . . 5 |- ( F e. ran S -> -. ran S = (/) )
2		mrsubccat.s	. . . . . . . 8 |- S = (mRSubst ` T )
3		fvprc 6185	. . . . . . . 8 |- ( -. T e. _V -> (mRSubst ` T ) = (/) )
4	2, 3	syl5eq 2668	. . . . . . 7 |- ( -. T e. _V -> S = (/) )
5	4	rneqd 5353	. . . . . 6 |- ( -. T e. _V -> ran S = ran (/) )
6		rn0 5377	. . . . . 6 |- ran (/) = (/)
7	5, 6	syl6eq 2672	. . . . 5 |- ( -. T e. _V -> ran S = (/) )
8	1, 7	nsyl2 142	. . . 4 |- ( F e. ran S -> T e. _V )
9		mrsubcn.v	. . . . 5 |- V = (mVR ` T )
10		mrsubccat.r	. . . . 5 |- R = (mREx ` T )
11	9, 10, 2	mrsubff 31409	. . . 4 |- ( T e. _V -> S : ( R ^pm V ) --> ( R ^m R ) )
12		ffun 6048	. . . 4 |- ( S : ( R ^pm V ) --> ( R ^m R ) -> Fun S )
13	8, 11, 12	3syl 18	. . 3 |- ( F e. ran S -> Fun S )
14	9, 10, 2	mrsubrn 31410	. . . . 5 |- ran S = ( S " ( R ^m V ) )
15	14	eleq2i 2693	. . . 4 |- ( F e. ran S <-> F e. ( S " ( R ^m V ) ) )
16	15	biimpi 206	. . 3 |- ( F e. ran S -> F e. ( S " ( R ^m V ) ) )
17		fvelima 6248	. . 3 |- ( ( Fun S /\ F e. ( S " ( R ^m V ) ) ) -> E. f e. ( R ^m V ) ( S ` f ) = F )
18	13, 16, 17	syl2anc 693	. 2 |- ( F e. ran S -> E. f e. ( R ^m V ) ( S ` f ) = F )
19		elmapi 7879	. . . . . . 7 |- ( f e. ( R ^m V ) -> f : V --> R )
20	19	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( X e. ( C \ V ) /\ f e. ( R ^m V ) ) -> f : V --> R )
21		ssid 3624	. . . . . . 7 |- V C_ V
22	21	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( X e. ( C \ V ) /\ f e. ( R ^m V ) ) -> V C_ V )
23		eldifi 3732	. . . . . . . 8 |- ( X e. ( C \ V ) -> X e. C )
24		elun1 3780	. . . . . . . 8 |- ( X e. C -> X e. ( C u. V ) )
25	23, 24	syl 17	. . . . . . 7 |- ( X e. ( C \ V ) -> X e. ( C u. V ) )
26	25	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( X e. ( C \ V ) /\ f e. ( R ^m V ) ) -> X e. ( C u. V ) )
27		mrsubcn.c	. . . . . . 7 |- C = (mCN ` T )
28	27, 9, 10, 2	mrsubcv 31407	. . . . . 6 |- ( ( f : V --> R /\ V C_ V /\ X e. ( C u. V ) ) -> ( ( S ` f ) ` <" X "> ) = if ( X e. V , ( f ` X ) , <" X "> ) )
29	20, 22, 26, 28	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( X e. ( C \ V ) /\ f e. ( R ^m V ) ) -> ( ( S ` f ) ` <" X "> ) = if ( X e. V , ( f ` X ) , <" X "> ) )
30		eldifn 3733	. . . . . . 7 |- ( X e. ( C \ V ) -> -. X e. V )
31	30	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( X e. ( C \ V ) /\ f e. ( R ^m V ) ) -> -. X e. V )
32	31	iffalsed 4097	. . . . 5 |- ( ( X e. ( C \ V ) /\ f e. ( R ^m V ) ) -> if ( X e. V , ( f ` X ) , <" X "> ) = <" X "> )
33	29, 32	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ( X e. ( C \ V ) /\ f e. ( R ^m V ) ) -> ( ( S ` f ) ` <" X "> ) = <" X "> )
34		fveq1 6190	. . . . 5 |- ( ( S ` f ) = F -> ( ( S ` f ) ` <" X "> ) = ( F ` <" X "> ) )
35	34	eqeq1d 2624	. . . 4 |- ( ( S ` f ) = F -> ( ( ( S ` f ) ` <" X "> ) = <" X "> <-> ( F ` <" X "> ) = <" X "> ) )
36	33, 35	syl5ibcom 235	. . 3 |- ( ( X e. ( C \ V ) /\ f e. ( R ^m V ) ) -> ( ( S ` f ) = F -> ( F ` <" X "> ) = <" X "> ) )
37	36	rexlimdva 3031	. 2 |- ( X e. ( C \ V ) -> ( E. f e. ( R ^m V ) ( S ` f ) = F -> ( F ` <" X "> ) = <" X "> ) )
38	18, 37	mpan9 486	1 |- ( ( F e. ran S /\ X e. ( C \ V ) ) -> ( F ` <" X "> ) = <" X "> )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   ran crn 5115   "cima 5117   Fun wfun 5882   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   ^pm cpm 7858   <"cs1 13294  mCNcmcn 31357  mVRcmvar 31358  mRExcmrex 31363  mRSubstcmrsub 31367

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301  df-s1 13302  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-frmd 17386  df-mrex 31383  df-mrsub 31387

This theorem is referenced by:  elmrsubrn  31417  mrsubco  31418  mrsubvrs  31419