Theorem mulclprlem 9841

Description: Lemma to prove downward closure in positive real multiplication. Part of proof of Proposition 9-3.7 of [Gleason] p. 124. (Contributed by NM, 14-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
mulclprlem	|- ( ( ( ( A e. P. /\ g e. A ) /\ ( B e. P. /\ h e. B ) ) /\ x e. Q. ) -> ( x <Q ( g .Q h ) -> x e. ( A .P. B ) ) )

Distinct variable groups:   x, g, h   x, A   x, B

Allowed substitution hints:   A( g, h)   B( g, h)

Proof of Theorem mulclprlem

Dummy variables y z w v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elprnq 9813	. . . . . 6 |- ( ( A e. P. /\ g e. A ) -> g e. Q. )
2		elprnq 9813	. . . . . 6 |- ( ( B e. P. /\ h e. B ) -> h e. Q. )
3		recclnq 9788	. . . . . . . . 9 |- ( h e. Q. -> ( *Q ` h ) e. Q. )
4	3	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( g e. Q. /\ h e. Q. ) -> ( *Q ` h ) e. Q. )
5		vex 3203	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
6		ovex 6678	. . . . . . . . 9 |- ( g .Q h ) e. _V
7		ltmnq 9794	. . . . . . . . 9 |- ( w e. Q. -> ( y <Q z <-> ( w .Q y ) <Q ( w .Q z ) ) )
8		fvex 6201	. . . . . . . . 9 |- ( *Q ` h ) e. _V
9		mulcomnq 9775	. . . . . . . . 9 |- ( y .Q z ) = ( z .Q y )
10	5, 6, 7, 8, 9	caovord2 6846	. . . . . . . 8 |- ( ( *Q ` h ) e. Q. -> ( x <Q ( g .Q h ) <-> ( x .Q ( *Q ` h ) ) <Q ( ( g .Q h ) .Q ( *Q ` h ) ) ) )
11	4, 10	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( g e. Q. /\ h e. Q. ) -> ( x <Q ( g .Q h ) <-> ( x .Q ( *Q ` h ) ) <Q ( ( g .Q h ) .Q ( *Q ` h ) ) ) )
12		mulassnq 9781	. . . . . . . . . 10 |- ( ( g .Q h ) .Q ( *Q ` h ) ) = ( g .Q ( h .Q ( *Q ` h ) ) )
13		recidnq 9787	. . . . . . . . . . 11 |- ( h e. Q. -> ( h .Q ( *Q ` h ) ) = 1Q )
14	13	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( h e. Q. -> ( g .Q ( h .Q ( *Q ` h ) ) ) = ( g .Q 1Q ) )
15	12, 14	syl5eq 2668	. . . . . . . . 9 |- ( h e. Q. -> ( ( g .Q h ) .Q ( *Q ` h ) ) = ( g .Q 1Q ) )
16		mulidnq 9785	. . . . . . . . 9 |- ( g e. Q. -> ( g .Q 1Q ) = g )
17	15, 16	sylan9eqr 2678	. . . . . . . 8 |- ( ( g e. Q. /\ h e. Q. ) -> ( ( g .Q h ) .Q ( *Q ` h ) ) = g )
18	17	breq2d 4665	. . . . . . 7 |- ( ( g e. Q. /\ h e. Q. ) -> ( ( x .Q ( *Q ` h ) ) <Q ( ( g .Q h ) .Q ( *Q ` h ) ) <-> ( x .Q ( *Q ` h ) ) <Q g ) )
19	11, 18	bitrd 268	. . . . . 6 |- ( ( g e. Q. /\ h e. Q. ) -> ( x <Q ( g .Q h ) <-> ( x .Q ( *Q ` h ) ) <Q g ) )
20	1, 2, 19	syl2an 494	. . . . 5 |- ( ( ( A e. P. /\ g e. A ) /\ ( B e. P. /\ h e. B ) ) -> ( x <Q ( g .Q h ) <-> ( x .Q ( *Q ` h ) ) <Q g ) )
21		prcdnq 9815	. . . . . 6 |- ( ( A e. P. /\ g e. A ) -> ( ( x .Q ( *Q ` h ) ) <Q g -> ( x .Q ( *Q ` h ) ) e. A ) )
22	21	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( A e. P. /\ g e. A ) /\ ( B e. P. /\ h e. B ) ) -> ( ( x .Q ( *Q ` h ) ) <Q g -> ( x .Q ( *Q ` h ) ) e. A ) )
23	20, 22	sylbid 230	. . . 4 |- ( ( ( A e. P. /\ g e. A ) /\ ( B e. P. /\ h e. B ) ) -> ( x <Q ( g .Q h ) -> ( x .Q ( *Q ` h ) ) e. A ) )
24		df-mp 9806	. . . . . . . . 9 |- .P. = ( w e. P. , v e. P. |-> { x | E. y e. w E. z e. v x = ( y .Q z ) } )
25		mulclnq 9769	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. Q. /\ z e. Q. ) -> ( y .Q z ) e. Q. )
26	24, 25	genpprecl 9823	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. ) -> ( ( ( x .Q ( *Q ` h ) ) e. A /\ h e. B ) -> ( ( x .Q ( *Q ` h ) ) .Q h ) e. ( A .P. B ) ) )
27	26	exp4b 632	. . . . . . 7 |- ( A e. P. -> ( B e. P. -> ( ( x .Q ( *Q ` h ) ) e. A -> ( h e. B -> ( ( x .Q ( *Q ` h ) ) .Q h ) e. ( A .P. B ) ) ) ) )
28	27	com34 91	. . . . . 6 |- ( A e. P. -> ( B e. P. -> ( h e. B -> ( ( x .Q ( *Q ` h ) ) e. A -> ( ( x .Q ( *Q ` h ) ) .Q h ) e. ( A .P. B ) ) ) ) )
29	28	imp32 449	. . . . 5 |- ( ( A e. P. /\ ( B e. P. /\ h e. B ) ) -> ( ( x .Q ( *Q ` h ) ) e. A -> ( ( x .Q ( *Q ` h ) ) .Q h ) e. ( A .P. B ) ) )
30	29	adantlr 751	. . . 4 |- ( ( ( A e. P. /\ g e. A ) /\ ( B e. P. /\ h e. B ) ) -> ( ( x .Q ( *Q ` h ) ) e. A -> ( ( x .Q ( *Q ` h ) ) .Q h ) e. ( A .P. B ) ) )
31	23, 30	syld 47	. . 3 |- ( ( ( A e. P. /\ g e. A ) /\ ( B e. P. /\ h e. B ) ) -> ( x <Q ( g .Q h ) -> ( ( x .Q ( *Q ` h ) ) .Q h ) e. ( A .P. B ) ) )
32	31	adantr 481	. 2 |- ( ( ( ( A e. P. /\ g e. A ) /\ ( B e. P. /\ h e. B ) ) /\ x e. Q. ) -> ( x <Q ( g .Q h ) -> ( ( x .Q ( *Q ` h ) ) .Q h ) e. ( A .P. B ) ) )
33	2	adantl 482	. . 3 |- ( ( ( A e. P. /\ g e. A ) /\ ( B e. P. /\ h e. B ) ) -> h e. Q. )
34		mulassnq 9781	. . . . . 6 |- ( ( x .Q ( *Q ` h ) ) .Q h ) = ( x .Q ( ( *Q ` h ) .Q h ) )
35		mulcomnq 9775	. . . . . . . 8 |- ( ( *Q ` h ) .Q h ) = ( h .Q ( *Q ` h ) )
36	35, 13	syl5eq 2668	. . . . . . 7 |- ( h e. Q. -> ( ( *Q ` h ) .Q h ) = 1Q )
37	36	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( h e. Q. -> ( x .Q ( ( *Q ` h ) .Q h ) ) = ( x .Q 1Q ) )
38	34, 37	syl5eq 2668	. . . . 5 |- ( h e. Q. -> ( ( x .Q ( *Q ` h ) ) .Q h ) = ( x .Q 1Q ) )
39		mulidnq 9785	. . . . 5 |- ( x e. Q. -> ( x .Q 1Q ) = x )
40	38, 39	sylan9eq 2676	. . . 4 |- ( ( h e. Q. /\ x e. Q. ) -> ( ( x .Q ( *Q ` h ) ) .Q h ) = x )
41	40	eleq1d 2686	. . 3 |- ( ( h e. Q. /\ x e. Q. ) -> ( ( ( x .Q ( *Q ` h ) ) .Q h ) e. ( A .P. B ) <-> x e. ( A .P. B ) ) )
42	33, 41	sylan 488	. 2 |- ( ( ( ( A e. P. /\ g e. A ) /\ ( B e. P. /\ h e. B ) ) /\ x e. Q. ) -> ( ( ( x .Q ( *Q ` h ) ) .Q h ) e. ( A .P. B ) <-> x e. ( A .P. B ) ) )
43	32, 42	sylibd 229	1 |- ( ( ( ( A e. P. /\ g e. A ) /\ ( B e. P. /\ h e. B ) ) /\ x e. Q. ) -> ( x <Q ( g .Q h ) -> x e. ( A .P. B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Q.cnq 9674   1Qc1q 9675   .Q cmq 9678   *Qcrq 9679   <Q cltq 9680   P.cnp 9681   .P. cmp 9684

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-ni 9694  df-mi 9696  df-lti 9697  df-mpq 9731  df-ltpq 9732  df-enq 9733  df-nq 9734  df-erq 9735  df-mq 9737  df-1nq 9738  df-rq 9739  df-ltnq 9740  df-np 9803  df-mp 9806

This theorem is referenced by:  mulclpr  9842