Theorem mumullem1 24905

Description: Lemma for mumul 24907. A multiple of a non-squarefree number is non-squarefree. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
mumullem1	|- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN ) /\ ( mmu ` A ) = 0 ) -> ( mmu ` ( A x. B ) ) = 0 )

Proof of Theorem mumullem1

Dummy variable p is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmz 15389	. . . . . . 7 |- ( p e. Prime -> p e. ZZ )
2	1	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN ) /\ p e. Prime ) -> p e. ZZ )
3		zsqcl 12934	. . . . . 6 |- ( p e. ZZ -> ( p ^ 2 ) e. ZZ )
4	2, 3	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN ) /\ p e. Prime ) -> ( p ^ 2 ) e. ZZ )
5		nnz 11399	. . . . . 6 |- ( A e. NN -> A e. ZZ )
6	5	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN ) /\ p e. Prime ) -> A e. ZZ )
7		nnz 11399	. . . . . 6 |- ( B e. NN -> B e. ZZ )
8	7	ad2antlr 763	. . . . 5 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN ) /\ p e. Prime ) -> B e. ZZ )
9		dvdsmultr1 15019	. . . . 5 |- ( ( ( p ^ 2 ) e. ZZ /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( p ^ 2 ) || A -> ( p ^ 2 ) || ( A x. B ) ) )
10	4, 6, 8, 9	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN ) /\ p e. Prime ) -> ( ( p ^ 2 ) || A -> ( p ^ 2 ) || ( A x. B ) ) )
11	10	reximdva 3017	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( E. p e. Prime ( p ^ 2 ) || A -> E. p e. Prime ( p ^ 2 ) || ( A x. B ) ) )
12		isnsqf 24861	. . . 4 |- ( A e. NN -> ( ( mmu ` A ) = 0 <-> E. p e. Prime ( p ^ 2 ) || A ) )
13	12	adantr 481	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( ( mmu ` A ) = 0 <-> E. p e. Prime ( p ^ 2 ) || A ) )
14		nnmulcl 11043	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A x. B ) e. NN )
15		isnsqf 24861	. . . 4 |- ( ( A x. B ) e. NN -> ( ( mmu ` ( A x. B ) ) = 0 <-> E. p e. Prime ( p ^ 2 ) || ( A x. B ) ) )
16	14, 15	syl 17	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( ( mmu ` ( A x. B ) ) = 0 <-> E. p e. Prime ( p ^ 2 ) || ( A x. B ) ) )
17	11, 13, 16	3imtr4d 283	. 2 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( ( mmu ` A ) = 0 -> ( mmu ` ( A x. B ) ) = 0 ) )
18	17	imp 445	1 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN ) /\ ( mmu ` A ) = 0 ) -> ( mmu ` ( A x. B ) ) = 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   x. cmul 9941   NNcn 11020   2c2 11070   ZZcz 11377   ^cexp 12860   || cdvds 14983   Primecprime 15385   mmucmu 24821

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-dvds 14984  df-prm 15386  df-mu 24827

This theorem is referenced by:  mumul  24907