Theorem prmz 15389

Description: A prime number is an integer. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Proof shortened by Jonathan Yan, 16-Jul-2017.)

Assertion

Ref	Expression
prmz	|- ( P e. Prime -> P e. ZZ )

Proof of Theorem prmz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prmnn 15388	. 2 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
2	1	nnzd 11481	1 |- ( P e. Prime -> P e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1990   ZZcz 11377   Primecprime 15385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-prm 15386

This theorem is referenced by:  dvdsprime  15400  oddprmge3  15412  exprmfct  15416  prmdvdsfz  15417  isprm5  15419  isprm7  15420  maxprmfct  15421  coprm  15423  prmrp  15424  euclemma  15425  prmdvdsexpb  15428  prmexpb  15430  prmfac1  15431  rpexp  15432  cncongrprm  15437  phiprmpw  15481  phiprm  15482  fermltl  15489  prmdiv  15490  prmdiveq  15491  vfermltl  15506  vfermltlALT  15507  reumodprminv  15509  modprm0  15510  oddprm  15515  prm23lt5  15519  prm23ge5  15520  pcneg  15578  pcprmpw2  15586  pcprmpw  15587  difsqpwdvds  15591  pcprod  15599  prmpwdvds  15608  prmunb  15618  prmreclem3  15622  prmreclem5  15624  1arithlem1  15627  1arithlem4  15630  1arith  15631  4sqlem11  15659  4sqlem12  15660  4sqlem13  15661  4sqlem14  15662  4sqlem17  15665  prmdvdsprmo  15746  prmdvdsprmop  15747  fvprmselgcd1  15749  prmgaplem4  15758  prmgaplem5  15759  prmgaplem6  15760  prmgaplem8  15762  pgpfi  18020  sylow2alem2  18033  sylow2blem3  18037  gexexlem  18255  ablfacrplem  18464  ablfac1lem  18467  ablfac1b  18469  ablfac1eu  18472  pgpfac1lem2  18474  pgpfac1lem3a  18475  pgpfac1lem3  18476  pgpfac1lem4  18477  ablfaclem3  18486  prmirredlem  19841  wilthlem1  24794  wilthlem2  24795  ppisval  24830  vmappw  24842  muval1  24859  dvdssqf  24864  mumullem1  24905  mumul  24907  sqff1o  24908  dvdsppwf1o  24912  musum  24917  ppiublem1  24927  ppiublem2  24928  chtublem  24936  vmasum  24941  perfect1  24953  bposlem3  25011  bposlem6  25014  lgslem1  25022  lgsval2lem  25032  lgsvalmod  25041  lgsmod  25048  lgsdirprm  25056  lgsdir  25057  lgsdilem2  25058  lgsdi  25059  lgsne0  25060  lgsprme0  25064  lgsqr  25076  gausslemma2dlem1a  25090  gausslemma2dlem4  25094  gausslemma2dlem5a  25095  lgseisenlem1  25100  lgseisenlem2  25101  lgseisenlem3  25102  lgseisenlem4  25103  lgseisen  25104  lgsquadlem2  25106  lgsquadlem3  25107  lgsquad2lem2  25110  m1lgs  25113  2lgslem1a  25116  2lgslem1  25119  2lgslem2  25120  2lgsoddprm  25141  2sqlem3  25145  2sqlem4  25146  2sqlem6  25148  2sqlem8  25151  2sqblem  25156  2sqb  25157  rpvmasumlem  25176  dchrisum0flblem1  25197  dchrisum0flblem2  25198  dirith  25218  clwwlksndivn  26957  2sqmod  29648  oddprm2  30733  nn0prpwlem  32317  nn0prpw  32318  prmunb2  38510  nzprmdif  38518  etransclem48  40499  sfprmdvdsmersenne  41520  sgprmdvdsmersenne  41521  oddprmALTV  41598  oddprmne2  41624  even3prm2  41628  mogoldbblem  41629  sbgoldbst  41666  sbgoldbaltlem1  41667  sbgoldbaltlem2  41668  nnsum3primesprm  41678  nnsum3primesgbe  41680  nnsum4primesodd  41684  nnsum4primesoddALTV  41685  nnsum4primeseven  41688  nnsum4primesevenALTV  41689  bgoldbtbndlem2  41694  bgoldbtbndlem3  41695  bgoldbtbndlem4  41696  bgoldbtbnd  41697  ztprmneprm  42125