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Theorem mzpsubst 37311
Description: Substituting polynomials for the variables of a polynomial results in a polynomial. G is expected to depend on y and provide the polynomials which are being substituted. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzpsubst |- ( ( W e. _V /\ F e. (mzPoly ` V ) /\ A. y e. V G e. (mzPoly ` W ) ) -> ( x e. ( ZZ ^m W ) |-> ( F ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) ) e. (mzPoly ` W ) )
Distinct variable groups:   x, W, y   x, F   x, V, y   x, G
Allowed substitution hints:   F( y)   G( y)
Proof of Theorem mzpsubst
Dummy variables a b c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1061 . 2 |- ( ( W e. _V /\ F e. (mzPoly ` V ) /\ A. y e. V G e. (mzPoly ` W ) ) -> W e. _V )
2 elfvex 6221 . . 3 |- ( F e. (mzPoly ` V ) -> V e. _V )
323ad2ant2 1083 . 2 |- ( ( W e. _V /\ F e. (mzPoly ` V ) /\ A. y e. V G e. (mzPoly ` W ) ) -> V e. _V )
4 simp3 1063 . 2 |- ( ( W e. _V /\ F e. (mzPoly ` V ) /\ A. y e. V G e. (mzPoly ` W ) ) -> A. y e. V G e. (mzPoly ` W ) )
5 simp2 1062 . 2 |- ( ( W e. _V /\ F e. (mzPoly ` V ) /\ A. y e. V G e. (mzPoly ` W ) ) -> F e. (mzPoly ` V ) )
6 simpr 477 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( W e. _V /\ V e. _V /\ A. y e. V G e. (mzPoly ` W ) ) /\ b e. ZZ ) /\ x e. ( ZZ ^m W ) ) -> x e. ( ZZ ^m W ) )
7 simpll3 1102 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( W e. _V /\ V e. _V /\ A. y e. V G e. (mzPoly ` W ) ) /\ b e. ZZ ) /\ x e. ( ZZ ^m W ) ) -> A. y e. V G e. (mzPoly ` W ) )
8 simpll2 1101 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( W e. _V /\ V e. _V /\ A. y e. V G e. (mzPoly ` W ) ) /\ b e. ZZ ) /\ x e. ( ZZ ^m W ) ) -> V e. _V )
9 mzpf 37299 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( G e. (mzPoly ` W ) -> G : ( ZZ ^m W ) --> ZZ )
109ffvelrnda 6359 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. (mzPoly ` W ) /\ x e. ( ZZ ^m W ) ) -> ( G ` x ) e. ZZ )
1110expcom 451 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( ZZ ^m W ) -> ( G e. (mzPoly ` W ) -> ( G ` x ) e. ZZ ) )
1211ralimdv 2963 . . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( ZZ ^m W ) -> ( A. y e. V G e. (mzPoly ` W ) -> A. y e. V ( G ` x ) e. ZZ ) )
1312imp 445 . . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( ZZ ^m W ) /\ A. y e. V G e. (mzPoly ` W ) ) -> A. y e. V ( G ` x ) e. ZZ )
14 eqid 2622 . . . . . . . . . . 11 |- ( y e. V |-> ( G ` x ) ) = ( y e. V |-> ( G ` x ) )
1514fmpt 6381 . . . . . . . . . 10 |- ( A. y e. V ( G ` x ) e. ZZ <-> ( y e. V |-> ( G ` x ) ) : V --> ZZ )
1613, 15sylib 208 . . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( ZZ ^m W ) /\ A. y e. V G e. (mzPoly ` W ) ) -> ( y e. V |-> ( G ` x ) ) : V --> ZZ )
1716adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. ( ZZ ^m W ) /\ A. y e. V G e. (mzPoly ` W ) ) /\ V e. _V ) -> ( y e. V |-> ( G ` x ) ) : V --> ZZ )
18 zex 11386 . . . . . . . . 9 |- ZZ e. _V
19 simpr 477 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ( ZZ ^m W ) /\ A. y e. V G e. (mzPoly ` W ) ) /\ V e. _V ) -> V e. _V )
20 elmapg 7870 . . . . . . . . 9 |- ( ( ZZ e. _V /\ V e. _V ) -> ( ( y e. V |-> ( G ` x ) ) e. ( ZZ ^m V ) <-> ( y e. V |-> ( G ` x ) ) : V --> ZZ ) )
2118, 19, 20sylancr 695 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. ( ZZ ^m W ) /\ A. y e. V G e. (mzPoly ` W ) ) /\ V e. _V ) -> ( ( y e. V |-> ( G ` x ) ) e. ( ZZ ^m V ) <-> ( y e. V |-> ( G ` x ) ) : V --> ZZ ) )
2217, 21mpbird 247 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ( ZZ ^m W ) /\ A. y e. V G e. (mzPoly ` W ) ) /\ V e. _V ) -> ( y e. V |-> ( G ` x ) ) e. ( ZZ ^m V ) )
236, 7, 8, 22syl21anc 1325 . . . . . 6 |- ( ( ( ( W e. _V /\ V e. _V /\ A. y e. V G e. (mzPoly ` W ) ) /\ b e. ZZ ) /\ x e. ( ZZ ^m W ) ) -> ( y e. V |-> ( G ` x ) ) e. ( ZZ ^m V ) )
24 vex 3203 . . . . . . 7 |- b e. _V
2524fvconst2 6469 . . . . . 6 |- ( ( y e. V |-> ( G ` x ) ) e. ( ZZ ^m V ) -> ( ( ( ZZ ^m V ) X. { b } ) ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) = b )
2623, 25syl 17 . . . . 5 |- ( ( ( ( W e. _V /\ V e. _V /\ A. y e. V G e. (mzPoly ` W ) ) /\ b e. ZZ ) /\ x e. ( ZZ ^m W ) ) -> ( ( ( ZZ ^m V ) X. { b } ) ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) = b )
2726mpteq2dva 4744 . . . 4 |- ( ( ( W e. _V /\ V e. _V /\ A. y e. V G e. (mzPoly ` W ) ) /\ b e. ZZ ) -> ( x e. ( ZZ ^m W ) |-> ( ( ( ZZ ^m V ) X. { b } ) ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) ) = ( x e. ( ZZ ^m W ) |-> b ) )
28 mzpconstmpt 37303 . . . . 5 |- ( ( W e. _V /\ b e. ZZ ) -> ( x e. ( ZZ ^m W ) |-> b ) e. (mzPoly ` W ) )
29283ad2antl1 1223 . . . 4 |- ( ( ( W e. _V /\ V e. _V /\ A. y e. V G e. (mzPoly ` W ) ) /\ b e. ZZ ) -> ( x e. ( ZZ ^m W ) |-> b ) e. (mzPoly ` W ) )
3027, 29eqeltrd 2701 . . 3 |- ( ( ( W e. _V /\ V e. _V /\ A. y e. V G e. (mzPoly ` W ) ) /\ b e. ZZ ) -> ( x e. ( ZZ ^m W ) |-> ( ( ( ZZ ^m V ) X. { b } ) ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) ) e. (mzPoly ` W ) )
31 simpr 477 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( W e. _V /\ V e. _V /\ A. y e. V G e. (mzPoly ` W ) ) /\ b e. V ) /\ x e. ( ZZ ^m W ) ) -> x e. ( ZZ ^m W ) )
32 simpll3 1102 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( W e. _V /\ V e. _V /\ A. y e. V G e. (mzPoly ` W ) ) /\ b e. V ) /\ x e. ( ZZ ^m W ) ) -> A. y e. V G e. (mzPoly ` W ) )
33 simpll2 1101 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( W e. _V /\ V e. _V /\ A. y e. V G e. (mzPoly ` W ) ) /\ b e. V ) /\ x e. ( ZZ ^m W ) ) -> V e. _V )
3431, 32, 33, 22syl21anc 1325 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( W e. _V /\ V e. _V /\ A. y e. V G e. (mzPoly ` W ) ) /\ b e. V ) /\ x e. ( ZZ ^m W ) ) -> ( y e. V |-> ( G ` x ) ) e. ( ZZ ^m V ) )
35 fveq1 6190 . . . . . . . . 9 |- ( c = ( y e. V |-> ( G ` x ) ) -> ( c ` b ) = ( ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ` b ) )
36 eqid 2622 . . . . . . . . 9 |- ( c e. ( ZZ ^m V ) |-> ( c ` b ) ) = ( c e. ( ZZ ^m V ) |-> ( c ` b ) )
37 fvex 6201 . . . . . . . . 9 |- ( ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ` b ) e. _V
3835, 36, 37fvmpt 6282 . . . . . . . 8 |- ( ( y e. V |-> ( G ` x ) ) e. ( ZZ ^m V ) -> ( ( c e. ( ZZ ^m V ) |-> ( c ` b ) ) ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) = ( ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ` b ) )
3934, 38syl 17 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( W e. _V /\ V e. _V /\ A. y e. V G e. (mzPoly ` W ) ) /\ b e. V ) /\ x e. ( ZZ ^m W ) ) -> ( ( c e. ( ZZ ^m V ) |-> ( c ` b ) ) ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) = ( ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ` b ) )
40 simplr 792 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( W e. _V /\ V e. _V /\ A. y e. V G e. (mzPoly ` W ) ) /\ b e. V ) /\ x e. ( ZZ ^m W ) ) -> b e. V )
41 fvex 6201 . . . . . . . 8 |- ( [_ b / y ]_ G ` x ) e. _V
42 csbeq1 3536 . . . . . . . . . 10 |- ( a = b -> [_ a / y ]_ G = [_ b / y ]_ G )
4342fveq1d 6193 . . . . . . . . 9 |- ( a = b -> ( [_ a / y ]_ G ` x ) = ( [_ b / y ]_ G ` x ) )
44 nfcv 2764 . . . . . . . . . 10 |- F/_ a ( G ` x )
45 nfcsb1v 3549 . . . . . . . . . . 11 |- F/_ y [_ a / y ]_ G
46 nfcv 2764 . . . . . . . . . . 11 |- F/_ y x
4745, 46nffv 6198 . . . . . . . . . 10 |- F/_ y ( [_ a / y ]_ G ` x )
48 csbeq1a 3542 . . . . . . . . . . 11 |- ( y = a -> G = [_ a / y ]_ G )
4948fveq1d 6193 . . . . . . . . . 10 |- ( y = a -> ( G ` x ) = ( [_ a / y ]_ G ` x ) )
5044, 47, 49cbvmpt 4749 . . . . . . . . 9 |- ( y e. V |-> ( G ` x ) ) = ( a e. V |-> ( [_ a / y ]_ G ` x ) )
5143, 50fvmptg 6280 . . . . . . . 8 |- ( ( b e. V /\ ( [_ b / y ]_ G ` x ) e. _V ) -> ( ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ` b ) = ( [_ b / y ]_ G ` x ) )
5240, 41, 51sylancl 694 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( W e. _V /\ V e. _V /\ A. y e. V G e. (mzPoly ` W ) ) /\ b e. V ) /\ x e. ( ZZ ^m W ) ) -> ( ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ` b ) = ( [_ b / y ]_ G ` x ) )
5339, 52eqtrd 2656 . . . . . 6 |- ( ( ( ( W e. _V /\ V e. _V /\ A. y e. V G e. (mzPoly ` W ) ) /\ b e. V ) /\ x e. ( ZZ ^m W ) ) -> ( ( c e. ( ZZ ^m V ) |-> ( c ` b ) ) ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) = ( [_ b / y ]_ G ` x ) )
5453mpteq2dva 4744 . . . . 5 |- ( ( ( W e. _V /\ V e. _V /\ A. y e. V G e. (mzPoly ` W ) ) /\ b e. V ) -> ( x e. ( ZZ ^m W ) |-> ( ( c e. ( ZZ ^m V ) |-> ( c ` b ) ) ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) ) = ( x e. ( ZZ ^m W ) |-> ( [_ b / y ]_ G ` x ) ) )
55 simpr 477 . . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. _V /\ V e. _V /\ A. y e. V G e. (mzPoly ` W ) ) /\ b e. V ) -> b e. V )
56 simpl3 1066 . . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. _V /\ V e. _V /\ A. y e. V G e. (mzPoly ` W ) ) /\ b e. V ) -> A. y e. V G e. (mzPoly ` W ) )
57 nfcsb1v 3549 . . . . . . . . . 10 |- F/_ y [_ b / y ]_ G
5857nfel1 2779 . . . . . . . . 9 |- F/ y [_ b / y ]_ G e. (mzPoly ` W )
59 csbeq1a 3542 . . . . . . . . . 10 |- ( y = b -> G = [_ b / y ]_ G )
6059eleq1d 2686 . . . . . . . . 9 |- ( y = b -> ( G e. (mzPoly ` W ) <-> [_ b / y ]_ G e. (mzPoly ` W ) ) )
6158, 60rspc 3303 . . . . . . . 8 |- ( b e. V -> ( A. y e. V G e. (mzPoly ` W ) -> [_ b / y ]_ G e. (mzPoly ` W ) ) )
6255, 56, 61sylc 65 . . . . . . 7 |- ( ( ( W e. _V /\ V e. _V /\ A. y e. V G e. (mzPoly ` W ) ) /\ b e. V ) -> [_ b / y ]_ G e. (mzPoly ` W ) )
63 mzpf 37299 . . . . . . 7 |- ( [_ b / y ]_ G e. (mzPoly ` W ) -> [_ b / y ]_ G : ( ZZ ^m W ) --> ZZ )
6462, 63syl 17 . . . . . 6 |- ( ( ( W e. _V /\ V e. _V /\ A. y e. V G e. (mzPoly ` W ) ) /\ b e. V ) -> [_ b / y ]_ G : ( ZZ ^m W ) --> ZZ )
6564feqmptd 6249 . . . . 5 |- ( ( ( W e. _V /\ V e. _V /\ A. y e. V G e. (mzPoly ` W ) ) /\ b e. V ) -> [_ b / y ]_ G = ( x e. ( ZZ ^m W ) |-> ( [_ b / y ]_ G ` x ) ) )
6654, 65eqtr4d 2659 . . . 4 |- ( ( ( W e. _V /\ V e. _V /\ A. y e. V G e. (mzPoly ` W ) ) /\ b e. V ) -> ( x e. ( ZZ ^m W ) |-> ( ( c e. ( ZZ ^m V ) |-> ( c ` b ) ) ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) ) = [_ b / y ]_ G )
6766, 62eqeltrd 2701 . . 3 |- ( ( ( W e. _V /\ V e. _V /\ A. y e. V G e. (mzPoly ` W ) ) /\ b e. V ) -> ( x e. ( ZZ ^m W ) |-> ( ( c e. ( ZZ ^m V ) |-> ( c ` b ) ) ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) ) e. (mzPoly ` W ) )
68 simp2l 1087 . . . . . 6 |- ( ( ( W e. _V /\ V e. _V /\ A. y e. V G e. (mzPoly ` W ) ) /\ ( b : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ ( x e. ( ZZ ^m W ) |-> ( b ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) ) e. (mzPoly ` W ) ) /\ ( c : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ ( x e. ( ZZ ^m W ) |-> ( c ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) ) e. (mzPoly ` W ) ) ) -> b : ( ZZ ^m V ) --> ZZ )
69 ffn 6045 . . . . . 6 |- ( b : ( ZZ ^m V ) --> ZZ -> b Fn ( ZZ ^m V ) )
7068, 69syl 17 . . . . 5 |- ( ( ( W e. _V /\ V e. _V /\ A. y e. V G e. (mzPoly ` W ) ) /\ ( b : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ ( x e. ( ZZ ^m W ) |-> ( b ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) ) e. (mzPoly ` W ) ) /\ ( c : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ ( x e. ( ZZ ^m W ) |-> ( c ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) ) e. (mzPoly ` W ) ) ) -> b Fn ( ZZ ^m V ) )
71 simp3l 1089 . . . . . 6 |- ( ( ( W e. _V /\ V e. _V /\ A. y e. V G e. (mzPoly ` W ) ) /\ ( b : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ ( x e. ( ZZ ^m W ) |-> ( b ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) ) e. (mzPoly ` W ) ) /\ ( c : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ ( x e. ( ZZ ^m W ) |-> ( c ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) ) e. (mzPoly ` W ) ) ) -> c : ( ZZ ^m V ) --> ZZ )
72 ffn 6045 . . . . . 6 |- ( c : ( ZZ ^m V ) --> ZZ -> c Fn ( ZZ ^m V ) )
7371, 72syl 17 . . . . 5 |- ( ( ( W e. _V /\ V e. _V /\ A. y e. V G e. (mzPoly ` W ) ) /\ ( b : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ ( x e. ( ZZ ^m W ) |-> ( b ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) ) e. (mzPoly ` W ) ) /\ ( c : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ ( x e. ( ZZ ^m W ) |-> ( c ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) ) e. (mzPoly ` W ) ) ) -> c Fn ( ZZ ^m V ) )
74 simp13 1093 . . . . 5 |- ( ( ( W e. _V /\ V e. _V /\ A. y e. V G e. (mzPoly ` W ) ) /\ ( b : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ ( x e. ( ZZ ^m W ) |-> ( b ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) ) e. (mzPoly ` W ) ) /\ ( c : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ ( x e. ( ZZ ^m W ) |-> ( c ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) ) e. (mzPoly ` W ) ) ) -> A. y e. V G e. (mzPoly ` W ) )
75 simp12 1092 . . . . 5 |- ( ( ( W e. _V /\ V e. _V /\ A. y e. V G e. (mzPoly ` W ) ) /\ ( b : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ ( x e. ( ZZ ^m W ) |-> ( b ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) ) e. (mzPoly ` W ) ) /\ ( c : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ ( x e. ( ZZ ^m W ) |-> ( c ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) ) e. (mzPoly ` W ) ) ) -> V e. _V )
76 simplll 798 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( b Fn ( ZZ ^m V ) /\ c Fn ( ZZ ^m V ) ) /\ ( A. y e. V G e. (mzPoly ` W ) /\ V e. _V ) ) /\ x e. ( ZZ ^m W ) ) -> b Fn ( ZZ ^m V ) )
77 simpllr 799 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( b Fn ( ZZ ^m V ) /\ c Fn ( ZZ ^m V ) ) /\ ( A. y e. V G e. (mzPoly ` W ) /\ V e. _V ) ) /\ x e. ( ZZ ^m W ) ) -> c Fn ( ZZ ^m V ) )
78 ovexd 6680 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( b Fn ( ZZ ^m V ) /\ c Fn ( ZZ ^m V ) ) /\ ( A. y e. V G e. (mzPoly ` W ) /\ V e. _V ) ) /\ x e. ( ZZ ^m W ) ) -> ( ZZ ^m V ) e. _V )
79 simpr 477 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( b Fn ( ZZ ^m V ) /\ c Fn ( ZZ ^m V ) ) /\ ( A. y e. V G e. (mzPoly ` W ) /\ V e. _V ) ) /\ x e. ( ZZ ^m W ) ) -> x e. ( ZZ ^m W ) )
80 simplrl 800 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( b Fn ( ZZ ^m V ) /\ c Fn ( ZZ ^m V ) ) /\ ( A. y e. V G e. (mzPoly ` W ) /\ V e. _V ) ) /\ x e. ( ZZ ^m W ) ) -> A. y e. V G e. (mzPoly ` W ) )
8179, 80, 12sylc 65 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( b Fn ( ZZ ^m V ) /\ c Fn ( ZZ ^m V ) ) /\ ( A. y e. V G e. (mzPoly ` W ) /\ V e. _V ) ) /\ x e. ( ZZ ^m W ) ) -> A. y e. V ( G ` x ) e. ZZ )
8281, 15sylib 208 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( b Fn ( ZZ ^m V ) /\ c Fn ( ZZ ^m V ) ) /\ ( A. y e. V G e. (mzPoly ` W ) /\ V e. _V ) ) /\ x e. ( ZZ ^m W ) ) -> ( y e. V |-> ( G ` x ) ) : V --> ZZ )
83 simplrr 801 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( b Fn ( ZZ ^m V ) /\ c Fn ( ZZ ^m V ) ) /\ ( A. y e. V G e. (mzPoly ` W ) /\ V e. _V ) ) /\ x e. ( ZZ ^m W ) ) -> V e. _V )
8418, 83, 20sylancr 695 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( b Fn ( ZZ ^m V ) /\ c Fn ( ZZ ^m V ) ) /\ ( A. y e. V G e. (mzPoly ` W ) /\ V e. _V ) ) /\ x e. ( ZZ ^m W ) ) -> ( ( y e. V |-> ( G ` x ) ) e. ( ZZ ^m V ) <-> ( y e. V |-> ( G ` x ) ) : V --> ZZ ) )
8582, 84mpbird 247 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( b Fn ( ZZ ^m V ) /\ c Fn ( ZZ ^m V ) ) /\ ( A. y e. V G e. (mzPoly ` W ) /\ V e. _V ) ) /\ x e. ( ZZ ^m W ) ) -> ( y e. V |-> ( G ` x ) ) e. ( ZZ ^m V ) )
86 fnfvof 6911 . . . . . . 7 |- ( ( ( b Fn ( ZZ ^m V ) /\ c Fn ( ZZ ^m V ) ) /\ ( ( ZZ ^m V ) e. _V /\ ( y e. V |-> ( G ` x ) ) e. ( ZZ ^m V ) ) ) -> ( ( b oF + c ) ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) = ( ( b ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) + ( c ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) ) )
8776, 77, 78, 85, 86syl22anc 1327 . . . . . 6 |- ( ( ( ( b Fn ( ZZ ^m V ) /\ c Fn ( ZZ ^m V ) ) /\ ( A. y e. V G e. (mzPoly ` W ) /\ V e. _V ) ) /\ x e. ( ZZ ^m W ) ) -> ( ( b oF + c ) ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) = ( ( b ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) + ( c ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) ) )
8887mpteq2dva 4744 . . . . 5 |- ( ( ( b Fn ( ZZ ^m V ) /\ c Fn ( ZZ ^m V ) ) /\ ( A. y e. V G e. (mzPoly ` W ) /\ V e. _V ) ) -> ( x e. ( ZZ ^m W ) |-> ( ( b oF + c ) ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) ) = ( x e. ( ZZ ^m W ) |-> ( ( b ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) + ( c ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) ) ) )
8970, 73, 74, 75, 88syl22anc 1327 . . . 4 |- ( ( ( W e. _V /\ V e. _V /\ A. y e. V G e. (mzPoly ` W ) ) /\ ( b : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ ( x e. ( ZZ ^m W ) |-> ( b ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) ) e. (mzPoly ` W ) ) /\ ( c : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ ( x e. ( ZZ ^m W ) |-> ( c ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) ) e. (mzPoly ` W ) ) ) -> ( x e. ( ZZ ^m W ) |-> ( ( b oF + c ) ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) ) = ( x e. ( ZZ ^m W ) |-> ( ( b ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) + ( c ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) ) ) )
90 simp2r 1088 . . . . 5 |- ( ( ( W e. _V /\ V e. _V /\ A. y e. V G e. (mzPoly ` W ) ) /\ ( b : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ ( x e. ( ZZ ^m W ) |-> ( b ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) ) e. (mzPoly ` W ) ) /\ ( c : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ ( x e. ( ZZ ^m W ) |-> ( c ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) ) e. (mzPoly ` W ) ) ) -> ( x e. ( ZZ ^m W ) |-> ( b ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) ) e. (mzPoly ` W ) )
91 simp3r 1090 . . . . 5 |- ( ( ( W e. _V /\ V e. _V /\ A. y e. V G e. (mzPoly ` W ) ) /\ ( b : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ ( x e. ( ZZ ^m W ) |-> ( b ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) ) e. (mzPoly ` W ) ) /\ ( c : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ ( x e. ( ZZ ^m W ) |-> ( c ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) ) e. (mzPoly ` W ) ) ) -> ( x e. ( ZZ ^m W ) |-> ( c ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) ) e. (mzPoly ` W ) )
92 mzpaddmpt 37304 . . . . 5 |- ( ( ( x e. ( ZZ ^m W ) |-> ( b ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) ) e. (mzPoly ` W ) /\ ( x e. ( ZZ ^m W ) |-> ( c ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) ) e. (mzPoly ` W ) ) -> ( x e. ( ZZ ^m W ) |-> ( ( b ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) + ( c ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) ) ) e. (mzPoly ` W ) )
9390, 91, 92syl2anc 693 . . . 4 |- ( ( ( W e. _V /\ V e. _V /\ A. y e. V G e. (mzPoly ` W ) ) /\ ( b : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ ( x e. ( ZZ ^m W ) |-> ( b ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) ) e. (mzPoly ` W ) ) /\ ( c : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ ( x e. ( ZZ ^m W ) |-> ( c ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) ) e. (mzPoly ` W ) ) ) -> ( x e. ( ZZ ^m W ) |-> ( ( b ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) + ( c ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) ) ) e. (mzPoly ` W ) )
9489, 93eqeltrd 2701 . . 3 |- ( ( ( W e. _V /\ V e. _V /\ A. y e. V G e. (mzPoly ` W ) ) /\ ( b : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ ( x e. ( ZZ ^m W ) |-> ( b ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) ) e. (mzPoly ` W ) ) /\ ( c : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ ( x e. ( ZZ ^m W ) |-> ( c ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) ) e. (mzPoly ` W ) ) ) -> ( x e. ( ZZ ^m W ) |-> ( ( b oF + c ) ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) ) e. (mzPoly ` W ) )
95 fnfvof 6911 . . . . . . 7 |- ( ( ( b Fn ( ZZ ^m V ) /\ c Fn ( ZZ ^m V ) ) /\ ( ( ZZ ^m V ) e. _V /\ ( y e. V |-> ( G ` x ) ) e. ( ZZ ^m V ) ) ) -> ( ( b oF x. c ) ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) = ( ( b ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) x. ( c ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) ) )
9676, 77, 78, 85, 95syl22anc 1327 . . . . . 6 |- ( ( ( ( b Fn ( ZZ ^m V ) /\ c Fn ( ZZ ^m V ) ) /\ ( A. y e. V G e. (mzPoly ` W ) /\ V e. _V ) ) /\ x e. ( ZZ ^m W ) ) -> ( ( b oF x. c ) ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) = ( ( b ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) x. ( c ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) ) )
9796mpteq2dva 4744 . . . . 5 |- ( ( ( b Fn ( ZZ ^m V ) /\ c Fn ( ZZ ^m V ) ) /\ ( A. y e. V G e. (mzPoly ` W ) /\ V e. _V ) ) -> ( x e. ( ZZ ^m W ) |-> ( ( b oF x. c ) ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) ) = ( x e. ( ZZ ^m W ) |-> ( ( b ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) x. ( c ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) ) ) )
9870, 73, 74, 75, 97syl22anc 1327 . . . 4 |- ( ( ( W e. _V /\ V e. _V /\ A. y e. V G e. (mzPoly ` W ) ) /\ ( b : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ ( x e. ( ZZ ^m W ) |-> ( b ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) ) e. (mzPoly ` W ) ) /\ ( c : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ ( x e. ( ZZ ^m W ) |-> ( c ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) ) e. (mzPoly ` W ) ) ) -> ( x e. ( ZZ ^m W ) |-> ( ( b oF x. c ) ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) ) = ( x e. ( ZZ ^m W ) |-> ( ( b ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) x. ( c ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) ) ) )
99 mzpmulmpt 37305 . . . . 5 |- ( ( ( x e. ( ZZ ^m W ) |-> ( b ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) ) e. (mzPoly ` W ) /\ ( x e. ( ZZ ^m W ) |-> ( c ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) ) e. (mzPoly ` W ) ) -> ( x e. ( ZZ ^m W ) |-> ( ( b ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) x. ( c ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) ) ) e. (mzPoly ` W ) )
10090, 91, 99syl2anc 693 . . . 4 |- ( ( ( W e. _V /\ V e. _V /\ A. y e. V G e. (mzPoly ` W ) ) /\ ( b : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ ( x e. ( ZZ ^m W ) |-> ( b ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) ) e. (mzPoly ` W ) ) /\ ( c : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ ( x e. ( ZZ ^m W ) |-> ( c ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) ) e. (mzPoly ` W ) ) ) -> ( x e. ( ZZ ^m W ) |-> ( ( b ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) x. ( c ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) ) ) e. (mzPoly ` W ) )
10198, 100eqeltrd 2701 . . 3 |- ( ( ( W e. _V /\ V e. _V /\ A. y e. V G e. (mzPoly ` W ) ) /\ ( b : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ ( x e. ( ZZ ^m W ) |-> ( b ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) ) e. (mzPoly ` W ) ) /\ ( c : ( ZZ ^m V ) --> ZZ /\ ( x e. ( ZZ ^m W ) |-> ( c ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) ) e. (mzPoly ` W ) ) ) -> ( x e. ( ZZ ^m W ) |-> ( ( b oF x. c ) ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) ) e. (mzPoly ` W ) )
102 fveq1 6190 . . . . 5 |- ( a = ( ( ZZ ^m V ) X. { b } ) -> ( a ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) = ( ( ( ZZ ^m V ) X. { b } ) ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) )
103102mpteq2dv 4745 . . . 4 |- ( a = ( ( ZZ ^m V ) X. { b } ) -> ( x e. ( ZZ ^m W ) |-> ( a ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) ) = ( x e. ( ZZ ^m W ) |-> ( ( ( ZZ ^m V ) X. { b } ) ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) ) )
104103eleq1d 2686 . . 3 |- ( a = ( ( ZZ ^m V ) X. { b } ) -> ( ( x e. ( ZZ ^m W ) |-> ( a ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) ) e. (mzPoly ` W ) <-> ( x e. ( ZZ ^m W ) |-> ( ( ( ZZ ^m V ) X. { b } ) ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) ) e. (mzPoly ` W ) ) )
105 fveq1 6190 . . . . 5 |- ( a = ( c e. ( ZZ ^m V ) |-> ( c ` b ) ) -> ( a ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) = ( ( c e. ( ZZ ^m V ) |-> ( c ` b ) ) ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) )
106105mpteq2dv 4745 . . . 4 |- ( a = ( c e. ( ZZ ^m V ) |-> ( c ` b ) ) -> ( x e. ( ZZ ^m W ) |-> ( a ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) ) = ( x e. ( ZZ ^m W ) |-> ( ( c e. ( ZZ ^m V ) |-> ( c ` b ) ) ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) ) )
107106eleq1d 2686 . . 3 |- ( a = ( c e. ( ZZ ^m V ) |-> ( c ` b ) ) -> ( ( x e. ( ZZ ^m W ) |-> ( a ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) ) e. (mzPoly ` W ) <-> ( x e. ( ZZ ^m W ) |-> ( ( c e. ( ZZ ^m V ) |-> ( c ` b ) ) ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) ) e. (mzPoly ` W ) ) )
108 fveq1 6190 . . . . 5 |- ( a = b -> ( a ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) = ( b ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) )
109108mpteq2dv 4745 . . . 4 |- ( a = b -> ( x e. ( ZZ ^m W ) |-> ( a ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) ) = ( x e. ( ZZ ^m W ) |-> ( b ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) ) )
110109eleq1d 2686 . . 3 |- ( a = b -> ( ( x e. ( ZZ ^m W ) |-> ( a ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) ) e. (mzPoly ` W ) <-> ( x e. ( ZZ ^m W ) |-> ( b ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) ) e. (mzPoly ` W ) ) )
111 fveq1 6190 . . . . 5 |- ( a = c -> ( a ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) = ( c ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) )
112111mpteq2dv 4745 . . . 4 |- ( a = c -> ( x e. ( ZZ ^m W ) |-> ( a ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) ) = ( x e. ( ZZ ^m W ) |-> ( c ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) ) )
113112eleq1d 2686 . . 3 |- ( a = c -> ( ( x e. ( ZZ ^m W ) |-> ( a ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) ) e. (mzPoly ` W ) <-> ( x e. ( ZZ ^m W ) |-> ( c ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) ) e. (mzPoly ` W ) ) )
114 fveq1 6190 . . . . 5 |- ( a = ( b oF + c ) -> ( a ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) = ( ( b oF + c ) ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) )
115114mpteq2dv 4745 . . . 4 |- ( a = ( b oF + c ) -> ( x e. ( ZZ ^m W ) |-> ( a ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) ) = ( x e. ( ZZ ^m W ) |-> ( ( b oF + c ) ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) ) )
116115eleq1d 2686 . . 3 |- ( a = ( b oF + c ) -> ( ( x e. ( ZZ ^m W ) |-> ( a ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) ) e. (mzPoly ` W ) <-> ( x e. ( ZZ ^m W ) |-> ( ( b oF + c ) ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) ) e. (mzPoly ` W ) ) )
117 fveq1 6190 . . . . 5 |- ( a = ( b oF x. c ) -> ( a ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) = ( ( b oF x. c ) ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) )
118117mpteq2dv 4745 . . . 4 |- ( a = ( b oF x. c ) -> ( x e. ( ZZ ^m W ) |-> ( a ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) ) = ( x e. ( ZZ ^m W ) |-> ( ( b oF x. c ) ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) ) )
119118eleq1d 2686 . . 3 |- ( a = ( b oF x. c ) -> ( ( x e. ( ZZ ^m W ) |-> ( a ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) ) e. (mzPoly ` W ) <-> ( x e. ( ZZ ^m W ) |-> ( ( b oF x. c ) ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) ) e. (mzPoly ` W ) ) )
120 fveq1 6190 . . . . 5 |- ( a = F -> ( a ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) = ( F ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) )
121120mpteq2dv 4745 . . . 4 |- ( a = F -> ( x e. ( ZZ ^m W ) |-> ( a ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) ) = ( x e. ( ZZ ^m W ) |-> ( F ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) ) )
122121eleq1d 2686 . . 3 |- ( a = F -> ( ( x e. ( ZZ ^m W ) |-> ( a ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) ) e. (mzPoly ` W ) <-> ( x e. ( ZZ ^m W ) |-> ( F ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) ) e. (mzPoly ` W ) ) )
12330, 67, 94, 101, 104, 107, 110, 113, 116, 119, 122mzpindd 37309 . 2 |- ( ( ( W e. _V /\ V e. _V /\ A. y e. V G e. (mzPoly ` W ) ) /\ F e. (mzPoly ` V ) ) -> ( x e. ( ZZ ^m W ) |-> ( F ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) ) e. (mzPoly ` W ) )
1241, 3, 4, 5, 123syl31anc 1329 1 |- ( ( W e. _V /\ F e. (mzPoly ` V ) /\ A. y e. V G e. (mzPoly ` W ) ) -> ( x e. ( ZZ ^m W ) |-> ( F ` ( y e. V |-> ( G ` x ) ) ) ) e. (mzPoly ` W ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   [_csb 3533   {csn 4177   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   ^m cmap 7857   + caddc 9939   x. cmul 9941   ZZcz 11377  mzPolycmzp 37285
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-mzpcl 37286  df-mzp 37287
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