Theorem ip0i 27680

Description: A slight variant of Equation 6.46 of [Ponnusamy] p. 362, where J is either 1 or -1 to represent +-1. (Contributed by NM, 23-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ip1i.1	|- X = ( BaseSet ` U )
ip1i.2	|- G = ( +v ` U )
ip1i.4	|- S = ( .sOLD ` U )
ip1i.7	|- P = ( .iOLD ` U )
ip1i.9	|- U e. CPreHil OLD
ip1i.a	|- A e. X
ip1i.b	|- B e. X
ip1i.c	|- C e. X
ip1i.6	|- N = ( normCV ` U )
ip0i.j	|- J e. CC

Assertion

Ref	Expression
ip0i	|- ( ( ( ( N ` ( ( A G B ) G ( J S C ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( ( A G B ) G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 ) ) + ( ( ( N ` ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( J S C ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 ) ) ) = ( 2 x. ( ( ( N ` ( A G ( J S C ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 ) ) )

Proof of Theorem ip0i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cn 11091	. . . 4 |- 2 e. CC
2		ip1i.1	. . . . . . 7 |- X = ( BaseSet ` U )
3		ip1i.6	. . . . . . 7 |- N = ( normCV ` U )
4		ip1i.9	. . . . . . . 8 |- U e. CPreHil OLD
5	4	phnvi 27671	. . . . . . 7 |- U e. NrmCVec
6		ip1i.a	. . . . . . . 8 |- A e. X
7		ip0i.j	. . . . . . . . 9 |- J e. CC
8		ip1i.c	. . . . . . . . 9 |- C e. X
9		ip1i.4	. . . . . . . . . 10 |- S = ( .sOLD ` U )
10	2, 9	nvscl 27481	. . . . . . . . 9 |- ( ( U e. NrmCVec /\ J e. CC /\ C e. X ) -> ( J S C ) e. X )
11	5, 7, 8, 10	mp3an 1424	. . . . . . . 8 |- ( J S C ) e. X
12		ip1i.2	. . . . . . . . 9 |- G = ( +v ` U )
13	2, 12	nvgcl 27475	. . . . . . . 8 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ ( J S C ) e. X ) -> ( A G ( J S C ) ) e. X )
14	5, 6, 11, 13	mp3an 1424	. . . . . . 7 |- ( A G ( J S C ) ) e. X
15	2, 3, 5, 14	nvcli 27517	. . . . . 6 |- ( N ` ( A G ( J S C ) ) ) e. RR
16	15	recni 10052	. . . . 5 |- ( N ` ( A G ( J S C ) ) ) e. CC
17	16	sqcli 12944	. . . 4 |- ( ( N ` ( A G ( J S C ) ) ) ^ 2 ) e. CC
18	7	negcli 10349	. . . . . . . . 9 |- -u J e. CC
19	2, 9	nvscl 27481	. . . . . . . . 9 |- ( ( U e. NrmCVec /\ -u J e. CC /\ C e. X ) -> ( -u J S C ) e. X )
20	5, 18, 8, 19	mp3an 1424	. . . . . . . 8 |- ( -u J S C ) e. X
21	2, 12	nvgcl 27475	. . . . . . . 8 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ ( -u J S C ) e. X ) -> ( A G ( -u J S C ) ) e. X )
22	5, 6, 20, 21	mp3an 1424	. . . . . . 7 |- ( A G ( -u J S C ) ) e. X
23	2, 3, 5, 22	nvcli 27517	. . . . . 6 |- ( N ` ( A G ( -u J S C ) ) ) e. RR
24	23	recni 10052	. . . . 5 |- ( N ` ( A G ( -u J S C ) ) ) e. CC
25	24	sqcli 12944	. . . 4 |- ( ( N ` ( A G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 ) e. CC
26	1, 17, 25	subdii 10479	. . 3 |- ( 2 x. ( ( ( N ` ( A G ( J S C ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 ) ) ) = ( ( 2 x. ( ( N ` ( A G ( J S C ) ) ) ^ 2 ) ) - ( 2 x. ( ( N ` ( A G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 ) ) )
27	1, 17	mulcli 10045	. . . 4 |- ( 2 x. ( ( N ` ( A G ( J S C ) ) ) ^ 2 ) ) e. CC
28	1, 25	mulcli 10045	. . . 4 |- ( 2 x. ( ( N ` ( A G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 ) ) e. CC
29		ip1i.b	. . . . . . . 8 |- B e. X
30	2, 3, 5, 29	nvcli 27517	. . . . . . 7 |- ( N ` B ) e. RR
31	30	recni 10052	. . . . . 6 |- ( N ` B ) e. CC
32	31	sqcli 12944	. . . . 5 |- ( ( N ` B ) ^ 2 ) e. CC
33	1, 32	mulcli 10045	. . . 4 |- ( 2 x. ( ( N ` B ) ^ 2 ) ) e. CC
34		pnpcan2 10321	. . . 4 |- ( ( ( 2 x. ( ( N ` ( A G ( J S C ) ) ) ^ 2 ) ) e. CC /\ ( 2 x. ( ( N ` ( A G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 ) ) e. CC /\ ( 2 x. ( ( N ` B ) ^ 2 ) ) e. CC ) -> ( ( ( 2 x. ( ( N ` ( A G ( J S C ) ) ) ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( ( N ` B ) ^ 2 ) ) ) - ( ( 2 x. ( ( N ` ( A G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( ( N ` B ) ^ 2 ) ) ) ) = ( ( 2 x. ( ( N ` ( A G ( J S C ) ) ) ^ 2 ) ) - ( 2 x. ( ( N ` ( A G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
35	27, 28, 33, 34	mp3an 1424	. . 3 |- ( ( ( 2 x. ( ( N ` ( A G ( J S C ) ) ) ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( ( N ` B ) ^ 2 ) ) ) - ( ( 2 x. ( ( N ` ( A G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( ( N ` B ) ^ 2 ) ) ) ) = ( ( 2 x. ( ( N ` ( A G ( J S C ) ) ) ^ 2 ) ) - ( 2 x. ( ( N ` ( A G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 ) ) )
36	26, 35	eqtr4i 2647	. 2 |- ( 2 x. ( ( ( N ` ( A G ( J S C ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 ) ) ) = ( ( ( 2 x. ( ( N ` ( A G ( J S C ) ) ) ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( ( N ` B ) ^ 2 ) ) ) - ( ( 2 x. ( ( N ` ( A G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( ( N ` B ) ^ 2 ) ) ) )
37		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( 1st ` U ) = ( 1st ` U )
38	37	nvvc 27470	. . . . . . . . 9 |- ( U e. NrmCVec -> ( 1st ` U ) e. CVecOLD )
39	12	vafval 27458	. . . . . . . . . 10 |- G = ( 1st ` ( 1st ` U ) )
40	39	vcablo 27424	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1st ` U ) e. CVecOLD -> G e. AbelOp )
41	5, 38, 40	mp2b 10	. . . . . . . 8 |- G e. AbelOp
42	6, 29, 11	3pm3.2i 1239	. . . . . . . 8 |- ( A e. X /\ B e. X /\ ( J S C ) e. X )
43	2, 12	bafval 27459	. . . . . . . . 9 |- X = ran G
44	43	ablo32 27403	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. AbelOp /\ ( A e. X /\ B e. X /\ ( J S C ) e. X ) ) -> ( ( A G B ) G ( J S C ) ) = ( ( A G ( J S C ) ) G B ) )
45	41, 42, 44	mp2an 708	. . . . . . 7 |- ( ( A G B ) G ( J S C ) ) = ( ( A G ( J S C ) ) G B )
46	45	fveq2i 6194	. . . . . 6 |- ( N ` ( ( A G B ) G ( J S C ) ) ) = ( N ` ( ( A G ( J S C ) ) G B ) )
47	46	oveq1i 6660	. . . . 5 |- ( ( N ` ( ( A G B ) G ( J S C ) ) ) ^ 2 ) = ( ( N ` ( ( A G ( J S C ) ) G B ) ) ^ 2 )
48		neg1cn 11124	. . . . . . . . . 10 |- -u 1 e. CC
49	2, 9	nvscl 27481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. NrmCVec /\ -u 1 e. CC /\ B e. X ) -> ( -u 1 S B ) e. X )
50	5, 48, 29, 49	mp3an 1424	. . . . . . . . 9 |- ( -u 1 S B ) e. X
51	6, 50, 11	3pm3.2i 1239	. . . . . . . 8 |- ( A e. X /\ ( -u 1 S B ) e. X /\ ( J S C ) e. X )
52	43	ablo32 27403	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. AbelOp /\ ( A e. X /\ ( -u 1 S B ) e. X /\ ( J S C ) e. X ) ) -> ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( J S C ) ) = ( ( A G ( J S C ) ) G ( -u 1 S B ) ) )
53	41, 51, 52	mp2an 708	. . . . . . 7 |- ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( J S C ) ) = ( ( A G ( J S C ) ) G ( -u 1 S B ) )
54	53	fveq2i 6194	. . . . . 6 |- ( N ` ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( J S C ) ) ) = ( N ` ( ( A G ( J S C ) ) G ( -u 1 S B ) ) )
55	54	oveq1i 6660	. . . . 5 |- ( ( N ` ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( J S C ) ) ) ^ 2 ) = ( ( N ` ( ( A G ( J S C ) ) G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 )
56	47, 55	oveq12i 6662	. . . 4 |- ( ( ( N ` ( ( A G B ) G ( J S C ) ) ) ^ 2 ) + ( ( N ` ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( J S C ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( N ` ( ( A G ( J S C ) ) G B ) ) ^ 2 ) + ( ( N ` ( ( A G ( J S C ) ) G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )
57	2, 12, 9, 3	phpar 27679	. . . . 5 |- ( ( U e. CPreHil OLD /\ ( A G ( J S C ) ) e. X /\ B e. X ) -> ( ( ( N ` ( ( A G ( J S C ) ) G B ) ) ^ 2 ) + ( ( N ` ( ( A G ( J S C ) ) G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) = ( 2 x. ( ( ( N ` ( A G ( J S C ) ) ) ^ 2 ) + ( ( N ` B ) ^ 2 ) ) ) )
58	4, 14, 29, 57	mp3an 1424	. . . 4 |- ( ( ( N ` ( ( A G ( J S C ) ) G B ) ) ^ 2 ) + ( ( N ` ( ( A G ( J S C ) ) G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) = ( 2 x. ( ( ( N ` ( A G ( J S C ) ) ) ^ 2 ) + ( ( N ` B ) ^ 2 ) ) )
59	1, 17, 32	adddii 10050	. . . 4 |- ( 2 x. ( ( ( N ` ( A G ( J S C ) ) ) ^ 2 ) + ( ( N ` B ) ^ 2 ) ) ) = ( ( 2 x. ( ( N ` ( A G ( J S C ) ) ) ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( ( N ` B ) ^ 2 ) ) )
60	56, 58, 59	3eqtri 2648	. . 3 |- ( ( ( N ` ( ( A G B ) G ( J S C ) ) ) ^ 2 ) + ( ( N ` ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( J S C ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( 2 x. ( ( N ` ( A G ( J S C ) ) ) ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( ( N ` B ) ^ 2 ) ) )
61	6, 29, 20	3pm3.2i 1239	. . . . . . . 8 |- ( A e. X /\ B e. X /\ ( -u J S C ) e. X )
62	43	ablo32 27403	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. AbelOp /\ ( A e. X /\ B e. X /\ ( -u J S C ) e. X ) ) -> ( ( A G B ) G ( -u J S C ) ) = ( ( A G ( -u J S C ) ) G B ) )
63	41, 61, 62	mp2an 708	. . . . . . 7 |- ( ( A G B ) G ( -u J S C ) ) = ( ( A G ( -u J S C ) ) G B )
64	63	fveq2i 6194	. . . . . 6 |- ( N ` ( ( A G B ) G ( -u J S C ) ) ) = ( N ` ( ( A G ( -u J S C ) ) G B ) )
65	64	oveq1i 6660	. . . . 5 |- ( ( N ` ( ( A G B ) G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 ) = ( ( N ` ( ( A G ( -u J S C ) ) G B ) ) ^ 2 )
66	6, 50, 20	3pm3.2i 1239	. . . . . . . 8 |- ( A e. X /\ ( -u 1 S B ) e. X /\ ( -u J S C ) e. X )
67	43	ablo32 27403	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. AbelOp /\ ( A e. X /\ ( -u 1 S B ) e. X /\ ( -u J S C ) e. X ) ) -> ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u J S C ) ) = ( ( A G ( -u J S C ) ) G ( -u 1 S B ) ) )
68	41, 66, 67	mp2an 708	. . . . . . 7 |- ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u J S C ) ) = ( ( A G ( -u J S C ) ) G ( -u 1 S B ) )
69	68	fveq2i 6194	. . . . . 6 |- ( N ` ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u J S C ) ) ) = ( N ` ( ( A G ( -u J S C ) ) G ( -u 1 S B ) ) )
70	69	oveq1i 6660	. . . . 5 |- ( ( N ` ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 ) = ( ( N ` ( ( A G ( -u J S C ) ) G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 )
71	65, 70	oveq12i 6662	. . . 4 |- ( ( ( N ` ( ( A G B ) G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 ) + ( ( N ` ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( N ` ( ( A G ( -u J S C ) ) G B ) ) ^ 2 ) + ( ( N ` ( ( A G ( -u J S C ) ) G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )
72	2, 12, 9, 3	phpar 27679	. . . . 5 |- ( ( U e. CPreHil OLD /\ ( A G ( -u J S C ) ) e. X /\ B e. X ) -> ( ( ( N ` ( ( A G ( -u J S C ) ) G B ) ) ^ 2 ) + ( ( N ` ( ( A G ( -u J S C ) ) G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) = ( 2 x. ( ( ( N ` ( A G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 ) + ( ( N ` B ) ^ 2 ) ) ) )
73	4, 22, 29, 72	mp3an 1424	. . . 4 |- ( ( ( N ` ( ( A G ( -u J S C ) ) G B ) ) ^ 2 ) + ( ( N ` ( ( A G ( -u J S C ) ) G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) = ( 2 x. ( ( ( N ` ( A G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 ) + ( ( N ` B ) ^ 2 ) ) )
74	1, 25, 32	adddii 10050	. . . 4 |- ( 2 x. ( ( ( N ` ( A G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 ) + ( ( N ` B ) ^ 2 ) ) ) = ( ( 2 x. ( ( N ` ( A G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( ( N ` B ) ^ 2 ) ) )
75	71, 73, 74	3eqtri 2648	. . 3 |- ( ( ( N ` ( ( A G B ) G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 ) + ( ( N ` ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( 2 x. ( ( N ` ( A G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( ( N ` B ) ^ 2 ) ) )
76	60, 75	oveq12i 6662	. 2 |- ( ( ( ( N ` ( ( A G B ) G ( J S C ) ) ) ^ 2 ) + ( ( N ` ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( J S C ) ) ) ^ 2 ) ) - ( ( ( N ` ( ( A G B ) G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 ) + ( ( N ` ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 ) ) ) = ( ( ( 2 x. ( ( N ` ( A G ( J S C ) ) ) ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( ( N ` B ) ^ 2 ) ) ) - ( ( 2 x. ( ( N ` ( A G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 ) ) + ( 2 x. ( ( N ` B ) ^ 2 ) ) ) )
77	2, 12	nvgcl 27475	. . . . . . . 8 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A G B ) e. X )
78	5, 6, 29, 77	mp3an 1424	. . . . . . 7 |- ( A G B ) e. X
79	2, 12	nvgcl 27475	. . . . . . 7 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( A G B ) e. X /\ ( J S C ) e. X ) -> ( ( A G B ) G ( J S C ) ) e. X )
80	5, 78, 11, 79	mp3an 1424	. . . . . 6 |- ( ( A G B ) G ( J S C ) ) e. X
81	2, 3, 5, 80	nvcli 27517	. . . . 5 |- ( N ` ( ( A G B ) G ( J S C ) ) ) e. RR
82	81	recni 10052	. . . 4 |- ( N ` ( ( A G B ) G ( J S C ) ) ) e. CC
83	82	sqcli 12944	. . 3 |- ( ( N ` ( ( A G B ) G ( J S C ) ) ) ^ 2 ) e. CC
84	2, 12	nvgcl 27475	. . . . . . . 8 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ ( -u 1 S B ) e. X ) -> ( A G ( -u 1 S B ) ) e. X )
85	5, 6, 50, 84	mp3an 1424	. . . . . . 7 |- ( A G ( -u 1 S B ) ) e. X
86	2, 12	nvgcl 27475	. . . . . . 7 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( A G ( -u 1 S B ) ) e. X /\ ( J S C ) e. X ) -> ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( J S C ) ) e. X )
87	5, 85, 11, 86	mp3an 1424	. . . . . 6 |- ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( J S C ) ) e. X
88	2, 3, 5, 87	nvcli 27517	. . . . 5 |- ( N ` ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( J S C ) ) ) e. RR
89	88	recni 10052	. . . 4 |- ( N ` ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( J S C ) ) ) e. CC
90	89	sqcli 12944	. . 3 |- ( ( N ` ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( J S C ) ) ) ^ 2 ) e. CC
91	2, 12	nvgcl 27475	. . . . . . 7 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( A G B ) e. X /\ ( -u J S C ) e. X ) -> ( ( A G B ) G ( -u J S C ) ) e. X )
92	5, 78, 20, 91	mp3an 1424	. . . . . 6 |- ( ( A G B ) G ( -u J S C ) ) e. X
93	2, 3, 5, 92	nvcli 27517	. . . . 5 |- ( N ` ( ( A G B ) G ( -u J S C ) ) ) e. RR
94	93	recni 10052	. . . 4 |- ( N ` ( ( A G B ) G ( -u J S C ) ) ) e. CC
95	94	sqcli 12944	. . 3 |- ( ( N ` ( ( A G B ) G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 ) e. CC
96	2, 12	nvgcl 27475	. . . . . . 7 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( A G ( -u 1 S B ) ) e. X /\ ( -u J S C ) e. X ) -> ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u J S C ) ) e. X )
97	5, 85, 20, 96	mp3an 1424	. . . . . 6 |- ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u J S C ) ) e. X
98	2, 3, 5, 97	nvcli 27517	. . . . 5 |- ( N ` ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u J S C ) ) ) e. RR
99	98	recni 10052	. . . 4 |- ( N ` ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u J S C ) ) ) e. CC
100	99	sqcli 12944	. . 3 |- ( ( N ` ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 ) e. CC
101	83, 90, 95, 100	addsub4i 10377	. 2 |- ( ( ( ( N ` ( ( A G B ) G ( J S C ) ) ) ^ 2 ) + ( ( N ` ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( J S C ) ) ) ^ 2 ) ) - ( ( ( N ` ( ( A G B ) G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 ) + ( ( N ` ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 ) ) ) = ( ( ( ( N ` ( ( A G B ) G ( J S C ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( ( A G B ) G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 ) ) + ( ( ( N ` ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( J S C ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 ) ) )
102	36, 76, 101	3eqtr2ri 2651	1 |- ( ( ( ( N ` ( ( A G B ) G ( J S C ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( ( A G B ) G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 ) ) + ( ( ( N ` ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( J S C ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 ) ) ) = ( 2 x. ( ( ( N ` ( A G ( J S C ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A G ( -u J S C ) ) ) ^ 2 ) ) )

Syntax hints:   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1stc1st 7166   CCcc 9934   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   - cmin 10266   -ucneg 10267   2c2 11070   ^cexp 12860   AbelOpcablo 27398   CVecOLDcvc 27413   NrmCVeccnv 27439   +vcpv 27440   BaseSetcba 27441   .sOLDcns 27442   norm_CVcnmcv 27445   .iOLDcdip 27555   CPreHil OLDccphlo 27667

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-seq 12802  df-exp 12861  df-grpo 27347  df-ablo 27399  df-vc 27414  df-nv 27447  df-va 27450  df-ba 27451  df-sm 27452  df-0v 27453  df-nmcv 27455  df-ph 27668

This theorem is referenced by:  ip1ilem  27681