Theorem ipasslem10 27694

Description: Lemma for ipassi 27696. Show the inner product associative law for the imaginary number _i. (Contributed by NM, 24-Aug-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ip1i.1	|- X = ( BaseSet ` U )
ip1i.2	|- G = ( +v ` U )
ip1i.4	|- S = ( .sOLD ` U )
ip1i.7	|- P = ( .iOLD ` U )
ip1i.9	|- U e. CPreHil OLD
ipasslem10.a	|- A e. X
ipasslem10.b	|- B e. X
ipasslem10.6	|- N = ( normCV ` U )

Assertion

Ref	Expression
ipasslem10	|- ( ( _i S A ) P B ) = ( _i x. ( A P B ) )

Proof of Theorem ipasslem10

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ip1i.9	. . . . . . 7 |- U e. CPreHil OLD
2	1	phnvi 27671	. . . . . 6 |- U e. NrmCVec
3		ipasslem10.b	. . . . . 6 |- B e. X
4		ax-icn 9995	. . . . . . 7 |- _i e. CC
5		ipasslem10.a	. . . . . . 7 |- A e. X
6		ip1i.1	. . . . . . . 8 |- X = ( BaseSet ` U )
7		ip1i.4	. . . . . . . 8 |- S = ( .sOLD ` U )
8	6, 7	nvscl 27481	. . . . . . 7 |- ( ( U e. NrmCVec /\ _i e. CC /\ A e. X ) -> ( _i S A ) e. X )
9	2, 4, 5, 8	mp3an 1424	. . . . . 6 |- ( _i S A ) e. X
10		ip1i.2	. . . . . . 7 |- G = ( +v ` U )
11		ipasslem10.6	. . . . . . 7 |- N = ( normCV ` U )
12		ip1i.7	. . . . . . 7 |- P = ( .iOLD ` U )
13	6, 10, 7, 11, 12	4ipval2 27563	. . . . . 6 |- ( ( U e. NrmCVec /\ B e. X /\ ( _i S A ) e. X ) -> ( 4 x. ( B P ( _i S A ) ) ) = ( ( ( ( N ` ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( B G ( -u 1 S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) ) + ( _i x. ( ( ( N ` ( B G ( _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
14	2, 3, 9, 13	mp3an 1424	. . . . 5 |- ( 4 x. ( B P ( _i S A ) ) ) = ( ( ( ( N ` ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( B G ( -u 1 S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) ) + ( _i x. ( ( ( N ` ( B G ( _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
15		4cn 11098	. . . . . . 7 |- 4 e. CC
16		negicn 10282	. . . . . . 7 |- -u _i e. CC
17	6, 12	dipcl 27567	. . . . . . . 8 |- ( ( U e. NrmCVec /\ B e. X /\ A e. X ) -> ( B P A ) e. CC )
18	2, 3, 5, 17	mp3an 1424	. . . . . . 7 |- ( B P A ) e. CC
19	15, 16, 18	mul12i 10231	. . . . . 6 |- ( 4 x. ( -u _i x. ( B P A ) ) ) = ( -u _i x. ( 4 x. ( B P A ) ) )
20	6, 10	nvgcl 27475	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( U e. NrmCVec /\ B e. X /\ ( _i S A ) e. X ) -> ( B G ( _i S A ) ) e. X )
21	2, 3, 9, 20	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B G ( _i S A ) ) e. X
22	6, 11, 2, 21	nvcli 27517	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N ` ( B G ( _i S A ) ) ) e. RR
23	22	recni 10052	. . . . . . . . . . 11 |- ( N ` ( B G ( _i S A ) ) ) e. CC
24	23	sqcli 12944	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N ` ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 ) e. CC
25		neg1cn 11124	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- -u 1 e. CC
26	6, 7	nvscl 27481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( U e. NrmCVec /\ -u 1 e. CC /\ ( _i S A ) e. X ) -> ( -u 1 S ( _i S A ) ) e. X )
27	2, 25, 9, 26	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -u 1 S ( _i S A ) ) e. X
28	6, 10	nvgcl 27475	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( U e. NrmCVec /\ B e. X /\ ( -u 1 S ( _i S A ) ) e. X ) -> ( B G ( -u 1 S ( _i S A ) ) ) e. X )
29	2, 3, 27, 28	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B G ( -u 1 S ( _i S A ) ) ) e. X
30	6, 11, 2, 29	nvcli 27517	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N ` ( B G ( -u 1 S ( _i S A ) ) ) ) e. RR
31	30	recni 10052	. . . . . . . . . . 11 |- ( N ` ( B G ( -u 1 S ( _i S A ) ) ) ) e. CC
32	31	sqcli 12944	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N ` ( B G ( -u 1 S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) e. CC
33	24, 32	subcli 10357	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N ` ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( B G ( -u 1 S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) ) e. CC
34	6, 7	nvscl 27481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( U e. NrmCVec /\ _i e. CC /\ ( _i S A ) e. X ) -> ( _i S ( _i S A ) ) e. X )
35	2, 4, 9, 34	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( _i S ( _i S A ) ) e. X
36	6, 10	nvgcl 27475	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( U e. NrmCVec /\ B e. X /\ ( _i S ( _i S A ) ) e. X ) -> ( B G ( _i S ( _i S A ) ) ) e. X )
37	2, 3, 35, 36	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( B G ( _i S ( _i S A ) ) ) e. X
38	6, 11, 2, 37	nvcli 27517	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N ` ( B G ( _i S ( _i S A ) ) ) ) e. RR
39	38	recni 10052	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N ` ( B G ( _i S ( _i S A ) ) ) ) e. CC
40	39	sqcli 12944	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N ` ( B G ( _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) e. CC
41	6, 7	nvscl 27481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( U e. NrmCVec /\ -u _i e. CC /\ ( _i S A ) e. X ) -> ( -u _i S ( _i S A ) ) e. X )
42	2, 16, 9, 41	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -u _i S ( _i S A ) ) e. X
43	6, 10	nvgcl 27475	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( U e. NrmCVec /\ B e. X /\ ( -u _i S ( _i S A ) ) e. X ) -> ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) ) e. X )
44	2, 3, 42, 43	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) ) e. X
45	6, 11, 2, 44	nvcli 27517	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N ` ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) ) ) e. RR
46	45	recni 10052	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N ` ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) ) ) e. CC
47	46	sqcli 12944	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N ` ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) e. CC
48	40, 47	subcli 10357	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N ` ( B G ( _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) ) e. CC
49	4, 48	mulcli 10045	. . . . . . . . 9 |- ( _i x. ( ( ( N ` ( B G ( _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) ) ) e. CC
50	33, 49	addcomi 10227	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N ` ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( B G ( -u 1 S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) ) + ( _i x. ( ( ( N ` ( B G ( _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) = ( ( _i x. ( ( ( N ` ( B G ( _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) ) ) + ( ( ( N ` ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( B G ( -u 1 S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) ) )
51	6, 10	nvgcl 27475	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( U e. NrmCVec /\ B e. X /\ A e. X ) -> ( B G A ) e. X )
52	2, 3, 5, 51	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( B G A ) e. X
53	6, 11, 2, 52	nvcli 27517	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N ` ( B G A ) ) e. RR
54	53	recni 10052	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N ` ( B G A ) ) e. CC
55	54	sqcli 12944	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N ` ( B G A ) ) ^ 2 ) e. CC
56	6, 7	nvscl 27481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( U e. NrmCVec /\ -u 1 e. CC /\ A e. X ) -> ( -u 1 S A ) e. X )
57	2, 25, 5, 56	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -u 1 S A ) e. X
58	6, 10	nvgcl 27475	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( U e. NrmCVec /\ B e. X /\ ( -u 1 S A ) e. X ) -> ( B G ( -u 1 S A ) ) e. X )
59	2, 3, 57, 58	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( B G ( -u 1 S A ) ) e. X
60	6, 11, 2, 59	nvcli 27517	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N ` ( B G ( -u 1 S A ) ) ) e. RR
61	60	recni 10052	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N ` ( B G ( -u 1 S A ) ) ) e. CC
62	61	sqcli 12944	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N ` ( B G ( -u 1 S A ) ) ) ^ 2 ) e. CC
63	55, 62	subcli 10357	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N ` ( B G A ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( B G ( -u 1 S A ) ) ) ^ 2 ) ) e. CC
64	6, 7	nvscl 27481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( U e. NrmCVec /\ -u _i e. CC /\ A e. X ) -> ( -u _i S A ) e. X )
65	2, 16, 5, 64	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -u _i S A ) e. X
66	6, 10	nvgcl 27475	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( U e. NrmCVec /\ B e. X /\ ( -u _i S A ) e. X ) -> ( B G ( -u _i S A ) ) e. X )
67	2, 3, 65, 66	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( B G ( -u _i S A ) ) e. X
68	6, 11, 2, 67	nvcli 27517	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N ` ( B G ( -u _i S A ) ) ) e. RR
69	68	recni 10052	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N ` ( B G ( -u _i S A ) ) ) e. CC
70	69	sqcli 12944	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N ` ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) e. CC
71	24, 70	subcli 10357	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N ` ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) ) e. CC
72	4, 71	mulcli 10045	. . . . . . . . . 10 |- ( _i x. ( ( ( N ` ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) ) ) e. CC
73	16, 63, 72	adddii 10050	. . . . . . . . 9 |- ( -u _i x. ( ( ( ( N ` ( B G A ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( B G ( -u 1 S A ) ) ) ^ 2 ) ) + ( _i x. ( ( ( N ` ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) ) = ( ( -u _i x. ( ( ( N ` ( B G A ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( B G ( -u 1 S A ) ) ) ^ 2 ) ) ) + ( -u _i x. ( _i x. ( ( ( N ` ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
74	4, 4, 5	3pm3.2i 1239	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( _i e. CC /\ _i e. CC /\ A e. X )
75	6, 7	nvsass 27483	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( _i e. CC /\ _i e. CC /\ A e. X ) ) -> ( ( _i x. _i ) S A ) = ( _i S ( _i S A ) ) )
76	2, 74, 75	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( _i x. _i ) S A ) = ( _i S ( _i S A ) )
77		ixi 10656	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( _i x. _i ) = -u 1
78	77	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( _i x. _i ) S A ) = ( -u 1 S A )
79	76, 78	eqtr3i 2646	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( _i S ( _i S A ) ) = ( -u 1 S A )
80	79	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( B G ( _i S ( _i S A ) ) ) = ( B G ( -u 1 S A ) )
81	80	fveq2i 6194	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N ` ( B G ( _i S ( _i S A ) ) ) ) = ( N ` ( B G ( -u 1 S A ) ) )
82	81	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N ` ( B G ( _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) = ( ( N ` ( B G ( -u 1 S A ) ) ) ^ 2 )
83	4, 4	mulneg1i 10476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( -u _i x. _i ) = -u ( _i x. _i )
84	77	negeqi 10274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- -u ( _i x. _i ) = -u -u 1
85		negneg1e1 11128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- -u -u 1 = 1
86	83, 84, 85	3eqtri 2648	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( -u _i x. _i ) = 1
87	86	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( -u _i x. _i ) S A ) = ( 1 S A )
88	16, 4, 5	3pm3.2i 1239	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( -u _i e. CC /\ _i e. CC /\ A e. X )
89	6, 7	nvsass 27483	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( -u _i e. CC /\ _i e. CC /\ A e. X ) ) -> ( ( -u _i x. _i ) S A ) = ( -u _i S ( _i S A ) ) )
90	2, 88, 89	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( -u _i x. _i ) S A ) = ( -u _i S ( _i S A ) )
91	6, 7	nvsid 27482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X ) -> ( 1 S A ) = A )
92	2, 5, 91	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 1 S A ) = A
93	87, 90, 92	3eqtr3i 2652	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -u _i S ( _i S A ) ) = A
94	93	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) ) = ( B G A )
95	94	fveq2i 6194	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N ` ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) ) ) = ( N ` ( B G A ) )
96	95	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N ` ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) = ( ( N ` ( B G A ) ) ^ 2 )
97	82, 96	oveq12i 6662	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N ` ( B G ( _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( N ` ( B G ( -u 1 S A ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( B G A ) ) ^ 2 ) )
98	97	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . 11 |- ( _i x. ( ( ( N ` ( B G ( _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) ) ) = ( _i x. ( ( ( N ` ( B G ( -u 1 S A ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( B G A ) ) ^ 2 ) ) )
99	63	mulm1i 10475	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -u 1 x. ( ( ( N ` ( B G A ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( B G ( -u 1 S A ) ) ) ^ 2 ) ) ) = -u ( ( ( N ` ( B G A ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( B G ( -u 1 S A ) ) ) ^ 2 ) )
100	55, 62	negsubdi2i 10367	. . . . . . . . . . . . . 14 |- -u ( ( ( N ` ( B G A ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( B G ( -u 1 S A ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( N ` ( B G ( -u 1 S A ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( B G A ) ) ^ 2 ) )
101	99, 100	eqtr2i 2645	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N ` ( B G ( -u 1 S A ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( B G A ) ) ^ 2 ) ) = ( -u 1 x. ( ( ( N ` ( B G A ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( B G ( -u 1 S A ) ) ) ^ 2 ) ) )
102	101	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( _i x. ( ( ( N ` ( B G ( -u 1 S A ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( B G A ) ) ^ 2 ) ) ) = ( _i x. ( -u 1 x. ( ( ( N ` ( B G A ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( B G ( -u 1 S A ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
103	4, 25, 63	mulassi 10049	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( _i x. -u 1 ) x. ( ( ( N ` ( B G A ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( B G ( -u 1 S A ) ) ) ^ 2 ) ) ) = ( _i x. ( -u 1 x. ( ( ( N ` ( B G A ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( B G ( -u 1 S A ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
104	102, 103	eqtr4i 2647	. . . . . . . . . . 11 |- ( _i x. ( ( ( N ` ( B G ( -u 1 S A ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( B G A ) ) ^ 2 ) ) ) = ( ( _i x. -u 1 ) x. ( ( ( N ` ( B G A ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( B G ( -u 1 S A ) ) ) ^ 2 ) ) )
105	4	mulm1i 10475	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -u 1 x. _i ) = -u _i
106	25, 4, 105	mulcomli 10047	. . . . . . . . . . . 12 |- ( _i x. -u 1 ) = -u _i
107	106	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( _i x. -u 1 ) x. ( ( ( N ` ( B G A ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( B G ( -u 1 S A ) ) ) ^ 2 ) ) ) = ( -u _i x. ( ( ( N ` ( B G A ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( B G ( -u 1 S A ) ) ) ^ 2 ) ) )
108	98, 104, 107	3eqtri 2648	. . . . . . . . . 10 |- ( _i x. ( ( ( N ` ( B G ( _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) ) ) = ( -u _i x. ( ( ( N ` ( B G A ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( B G ( -u 1 S A ) ) ) ^ 2 ) ) )
109	25, 4, 5	3pm3.2i 1239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( -u 1 e. CC /\ _i e. CC /\ A e. X )
110	6, 7	nvsass 27483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( -u 1 e. CC /\ _i e. CC /\ A e. X ) ) -> ( ( -u 1 x. _i ) S A ) = ( -u 1 S ( _i S A ) ) )
111	2, 109, 110	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( -u 1 x. _i ) S A ) = ( -u 1 S ( _i S A ) )
112	105	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( -u 1 x. _i ) S A ) = ( -u _i S A )
113	111, 112	eqtr3i 2646	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -u 1 S ( _i S A ) ) = ( -u _i S A )
114	113	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( B G ( -u 1 S ( _i S A ) ) ) = ( B G ( -u _i S A ) )
115	114	fveq2i 6194	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N ` ( B G ( -u 1 S ( _i S A ) ) ) ) = ( N ` ( B G ( -u _i S A ) ) )
116	115	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N ` ( B G ( -u 1 S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) = ( ( N ` ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 )
117	116	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N ` ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( B G ( -u 1 S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( N ` ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) )
118	71	mulid2i 10043	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 x. ( ( ( N ` ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) ) ) = ( ( ( N ` ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) )
119	117, 118	eqtr4i 2647	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N ` ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( B G ( -u 1 S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) ) = ( 1 x. ( ( ( N ` ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) ) )
120	86	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -u _i x. _i ) x. ( ( ( N ` ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) ) ) = ( 1 x. ( ( ( N ` ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) ) )
121	119, 120	eqtr4i 2647	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N ` ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( B G ( -u 1 S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( -u _i x. _i ) x. ( ( ( N ` ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) ) )
122	16, 4, 71	mulassi 10049	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -u _i x. _i ) x. ( ( ( N ` ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) ) ) = ( -u _i x. ( _i x. ( ( ( N ` ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
123	121, 122	eqtri 2644	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N ` ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( B G ( -u 1 S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) ) = ( -u _i x. ( _i x. ( ( ( N ` ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
124	108, 123	oveq12i 6662	. . . . . . . . 9 |- ( ( _i x. ( ( ( N ` ( B G ( _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) ) ) + ( ( ( N ` ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( B G ( -u 1 S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) ) ) = ( ( -u _i x. ( ( ( N ` ( B G A ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( B G ( -u 1 S A ) ) ) ^ 2 ) ) ) + ( -u _i x. ( _i x. ( ( ( N ` ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
125	73, 124	eqtr4i 2647	. . . . . . . 8 |- ( -u _i x. ( ( ( ( N ` ( B G A ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( B G ( -u 1 S A ) ) ) ^ 2 ) ) + ( _i x. ( ( ( N ` ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) ) = ( ( _i x. ( ( ( N ` ( B G ( _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) ) ) + ( ( ( N ` ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( B G ( -u 1 S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) ) )
126	50, 125	eqtr4i 2647	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N ` ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( B G ( -u 1 S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) ) + ( _i x. ( ( ( N ` ( B G ( _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) = ( -u _i x. ( ( ( ( N ` ( B G A ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( B G ( -u 1 S A ) ) ) ^ 2 ) ) + ( _i x. ( ( ( N ` ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
127	6, 10, 7, 11, 12	4ipval2 27563	. . . . . . . . 9 |- ( ( U e. NrmCVec /\ B e. X /\ A e. X ) -> ( 4 x. ( B P A ) ) = ( ( ( ( N ` ( B G A ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( B G ( -u 1 S A ) ) ) ^ 2 ) ) + ( _i x. ( ( ( N ` ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
128	2, 3, 5, 127	mp3an 1424	. . . . . . . 8 |- ( 4 x. ( B P A ) ) = ( ( ( ( N ` ( B G A ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( B G ( -u 1 S A ) ) ) ^ 2 ) ) + ( _i x. ( ( ( N ` ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
129	128	oveq2i 6661	. . . . . . 7 |- ( -u _i x. ( 4 x. ( B P A ) ) ) = ( -u _i x. ( ( ( ( N ` ( B G A ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( B G ( -u 1 S A ) ) ) ^ 2 ) ) + ( _i x. ( ( ( N ` ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( B G ( -u _i S A ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
130	126, 129	eqtr4i 2647	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N ` ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( B G ( -u 1 S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) ) + ( _i x. ( ( ( N ` ( B G ( _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) = ( -u _i x. ( 4 x. ( B P A ) ) )
131	19, 130	eqtr4i 2647	. . . . 5 |- ( 4 x. ( -u _i x. ( B P A ) ) ) = ( ( ( ( N ` ( B G ( _i S A ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( B G ( -u 1 S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) ) + ( _i x. ( ( ( N ` ( B G ( _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( B G ( -u _i S ( _i S A ) ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
132	14, 131	eqtr4i 2647	. . . 4 |- ( 4 x. ( B P ( _i S A ) ) ) = ( 4 x. ( -u _i x. ( B P A ) ) )
133	6, 12	dipcl 27567	. . . . . 6 |- ( ( U e. NrmCVec /\ B e. X /\ ( _i S A ) e. X ) -> ( B P ( _i S A ) ) e. CC )
134	2, 3, 9, 133	mp3an 1424	. . . . 5 |- ( B P ( _i S A ) ) e. CC
135	16, 18	mulcli 10045	. . . . 5 |- ( -u _i x. ( B P A ) ) e. CC
136		4ne0 11117	. . . . 5 |- 4 =/= 0
137	134, 135, 15, 136	mulcani 10666	. . . 4 |- ( ( 4 x. ( B P ( _i S A ) ) ) = ( 4 x. ( -u _i x. ( B P A ) ) ) <-> ( B P ( _i S A ) ) = ( -u _i x. ( B P A ) ) )
138	132, 137	mpbi 220	. . 3 |- ( B P ( _i S A ) ) = ( -u _i x. ( B P A ) )
139	138	fveq2i 6194	. 2 |- ( * ` ( B P ( _i S A ) ) ) = ( * ` ( -u _i x. ( B P A ) ) )
140	6, 12	dipcj 27569	. . 3 |- ( ( U e. NrmCVec /\ B e. X /\ ( _i S A ) e. X ) -> ( * ` ( B P ( _i S A ) ) ) = ( ( _i S A ) P B ) )
141	2, 3, 9, 140	mp3an 1424	. 2 |- ( * ` ( B P ( _i S A ) ) ) = ( ( _i S A ) P B )
142	16, 18	cjmuli 13929	. . 3 |- ( * ` ( -u _i x. ( B P A ) ) ) = ( ( * ` -u _i ) x. ( * ` ( B P A ) ) )
143	25, 4	cjmuli 13929	. . . . 5 |- ( * ` ( -u 1 x. _i ) ) = ( ( * ` -u 1 ) x. ( * ` _i ) )
144	105	fveq2i 6194	. . . . 5 |- ( * ` ( -u 1 x. _i ) ) = ( * ` -u _i )
145		neg1rr 11125	. . . . . . . 8 |- -u 1 e. RR
146	25	cjrebi 13914	. . . . . . . 8 |- ( -u 1 e. RR <-> ( * ` -u 1 ) = -u 1 )
147	145, 146	mpbi 220	. . . . . . 7 |- ( * ` -u 1 ) = -u 1
148		cji 13899	. . . . . . 7 |- ( * ` _i ) = -u _i
149	147, 148	oveq12i 6662	. . . . . 6 |- ( ( * ` -u 1 ) x. ( * ` _i ) ) = ( -u 1 x. -u _i )
150		ax-1cn 9994	. . . . . . 7 |- 1 e. CC
151	150, 4	mul2negi 10478	. . . . . 6 |- ( -u 1 x. -u _i ) = ( 1 x. _i )
152	4	mulid2i 10043	. . . . . 6 |- ( 1 x. _i ) = _i
153	149, 151, 152	3eqtri 2648	. . . . 5 |- ( ( * ` -u 1 ) x. ( * ` _i ) ) = _i
154	143, 144, 153	3eqtr3i 2652	. . . 4 |- ( * ` -u _i ) = _i
155	6, 12	dipcj 27569	. . . . 5 |- ( ( U e. NrmCVec /\ B e. X /\ A e. X ) -> ( * ` ( B P A ) ) = ( A P B ) )
156	2, 3, 5, 155	mp3an 1424	. . . 4 |- ( * ` ( B P A ) ) = ( A P B )
157	154, 156	oveq12i 6662	. . 3 |- ( ( * ` -u _i ) x. ( * ` ( B P A ) ) ) = ( _i x. ( A P B ) )
158	142, 157	eqtri 2644	. 2 |- ( * ` ( -u _i x. ( B P A ) ) ) = ( _i x. ( A P B ) )
159	139, 141, 158	3eqtr3i 2652	1 |- ( ( _i S A ) P B ) = ( _i x. ( A P B ) )

Syntax hints:   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   1c1 9937   _ici 9938   + caddc 9939   x. cmul 9941   - cmin 10266   -ucneg 10267   2c2 11070   4c4 11072   ^cexp 12860   *ccj 13836   NrmCVeccnv 27439   +vcpv 27440   BaseSetcba 27441   .sOLDcns 27442   norm_CVcnmcv 27445   .iOLDcdip 27555   CPreHil OLDccphlo 27667

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-grpo 27347  df-gid 27348  df-ginv 27349  df-ablo 27399  df-vc 27414  df-nv 27447  df-va 27450  df-ba 27451  df-sm 27452  df-0v 27453  df-nmcv 27455  df-dip 27556  df-ph 27668

This theorem is referenced by:  ipasslem11  27695