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Theorem ip1ilem 27681

Description: Lemma for ip1i 27682. (Contributed by NM, 21-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
ip1i.1
ip1i.2
ip1i.4
ip1i.7
ip1i.9
ip1i.a
ip1i.b
ip1i.c
ip1i.6	_CV
ip0i.j

**Assertion**
Ref	Expression
ip1ilem

**Proof of Theorem ip1ilem**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		ip1i.9	. . . . . . 7
2	1	phnvi 27671	. . . . . 6
3		ip1i.a	. . . . . 6
4		ip1i.c	. . . . . 6
5		ip1i.1	. . . . . . 7
6		ip1i.2	. . . . . . 7
7		ip1i.4	. . . . . . 7
8		ip1i.6	. . . . . . 7 _CV
9		ip1i.7	. . . . . . 7
10	5, 6, 7, 8, 9	4ipval2 27563	. . . . . 6 $/\$ $/\$
11	2, 3, 4, 10	mp3an 1424	. . . . 5
12	11	oveq2i 6661	. . . 4
13		2cn 11091	. . . . 5
14		4cn 11098	. . . . 5
15	5, 9	dipcl 27567	. . . . . 6 $/\$ $/\$
16	2, 3, 4, 15	mp3an 1424	. . . . 5
17	13, 14, 16	mul12i 10231	. . . 4
18	5, 6	nvgcl 27475	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
19	2, 3, 4, 18	mp3an 1424	. . . . . . . . . . 11
20	5, 8, 2, 19	nvcli 27517	. . . . . . . . . 10
21	20	resqcli 12949	. . . . . . . . 9
22	21	recni 10052	. . . . . . . 8
23		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . . 14
24	23	negcli 10349	. . . . . . . . . . . . 13
25	5, 7	nvscl 27481	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
26	2, 24, 4, 25	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . 12
27	5, 6	nvgcl 27475	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
28	2, 3, 26, 27	mp3an 1424	. . . . . . . . . . 11
29	5, 8, 2, 28	nvcli 27517	. . . . . . . . . 10
30	29	resqcli 12949	. . . . . . . . 9
31	30	recni 10052	. . . . . . . 8
32	22, 31	subcli 10357	. . . . . . 7
33		ax-icn 9995	. . . . . . . 8
34	5, 7	nvscl 27481	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
35	2, 33, 4, 34	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . . 13
36	5, 6	nvgcl 27475	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
37	2, 3, 35, 36	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . 12
38	5, 8, 2, 37	nvcli 27517	. . . . . . . . . . 11
39	38	resqcli 12949	. . . . . . . . . 10
40	39	recni 10052	. . . . . . . . 9
41	33	negcli 10349	. . . . . . . . . . . . . 14
42	5, 7	nvscl 27481	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
43	2, 41, 4, 42	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . . 13
44	5, 6	nvgcl 27475	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
45	2, 3, 43, 44	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . 12
46	5, 8, 2, 45	nvcli 27517	. . . . . . . . . . 11
47	46	resqcli 12949	. . . . . . . . . 10
48	47	recni 10052	. . . . . . . . 9
49	40, 48	subcli 10357	. . . . . . . 8
50	33, 49	mulcli 10045	. . . . . . 7
51	13, 32, 50	adddii 10050	. . . . . 6
52		ip1i.b	. . . . . . . . 9
53	5, 6, 7, 9, 1, 3, 52, 4, 8, 23	ip0i 27680	. . . . . . . 8
54	5, 7	nvsid 27482	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
55	2, 4, 54	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . 13
56	55	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . 12
57	56	fveq2i 6194	. . . . . . . . . . 11
58	57	oveq1i 6660	. . . . . . . . . 10
59	58	oveq1i 6660	. . . . . . . . 9
60	55	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . 12
61	60	fveq2i 6194	. . . . . . . . . . 11
62	61	oveq1i 6660	. . . . . . . . . 10
63	62	oveq1i 6660	. . . . . . . . 9
64	59, 63	oveq12i 6662	. . . . . . . 8
65	55	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . 12
66	65	fveq2i 6194	. . . . . . . . . . 11
67	66	oveq1i 6660	. . . . . . . . . 10
68	67	oveq1i 6660	. . . . . . . . 9
69	68	oveq2i 6661	. . . . . . . 8
70	53, 64, 69	3eqtr3i 2652	. . . . . . 7
71	5, 6, 7, 9, 1, 3, 52, 4, 8, 33	ip0i 27680	. . . . . . . . 9
72	71	oveq2i 6661	. . . . . . . 8
73	5, 6	nvgcl 27475	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
74	2, 3, 52, 73	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . . . 14
75	5, 6	nvgcl 27475	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
76	2, 74, 35, 75	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . . 13
77	5, 8, 2, 76	nvcli 27517	. . . . . . . . . . . 12
78	77	resqcli 12949	. . . . . . . . . . 11
79	78	recni 10052	. . . . . . . . . 10
80	5, 6	nvgcl 27475	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
81	2, 74, 43, 80	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . . 13
82	5, 8, 2, 81	nvcli 27517	. . . . . . . . . . . 12
83	82	resqcli 12949	. . . . . . . . . . 11
84	83	recni 10052	. . . . . . . . . 10
85	79, 84	subcli 10357	. . . . . . . . 9
86	5, 7	nvscl 27481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
87	2, 24, 52, 86	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . . . . 15
88	5, 6	nvgcl 27475	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
89	2, 3, 87, 88	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . . . 14
90	5, 6	nvgcl 27475	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
91	2, 89, 35, 90	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . . 13
92	5, 8, 2, 91	nvcli 27517	. . . . . . . . . . . 12
93	92	resqcli 12949	. . . . . . . . . . 11
94	93	recni 10052	. . . . . . . . . 10
95	5, 6	nvgcl 27475	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
96	2, 89, 43, 95	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . . 13
97	5, 8, 2, 96	nvcli 27517	. . . . . . . . . . . 12
98	97	resqcli 12949	. . . . . . . . . . 11
99	98	recni 10052	. . . . . . . . . 10
100	94, 99	subcli 10357	. . . . . . . . 9
101	33, 85, 100	adddii 10050	. . . . . . . 8
102	33, 13, 49	mul12i 10231	. . . . . . . 8
103	72, 101, 102	3eqtr3i 2652	. . . . . . 7
104	70, 103	oveq12i 6662	. . . . . 6
105	51, 104	eqtr4i 2647	. . . . 5
106	5, 6	nvgcl 27475	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
107	2, 74, 4, 106	mp3an 1424	. . . . . . . . . 10
108	5, 8, 2, 107	nvcli 27517	. . . . . . . . 9
109	108	resqcli 12949	. . . . . . . 8
110	109	recni 10052	. . . . . . 7
111	5, 6	nvgcl 27475	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
112	2, 74, 26, 111	mp3an 1424	. . . . . . . . . 10
113	5, 8, 2, 112	nvcli 27517	. . . . . . . . 9
114	113	resqcli 12949	. . . . . . . 8
115	114	recni 10052	. . . . . . 7
116	110, 115	subcli 10357	. . . . . 6
117	5, 6	nvgcl 27475	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
118	2, 89, 4, 117	mp3an 1424	. . . . . . . . . 10
119	5, 8, 2, 118	nvcli 27517	. . . . . . . . 9
120	119	resqcli 12949	. . . . . . . 8
121	120	recni 10052	. . . . . . 7
122	5, 6	nvgcl 27475	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
123	2, 89, 26, 122	mp3an 1424	. . . . . . . . . 10
124	5, 8, 2, 123	nvcli 27517	. . . . . . . . 9
125	124	resqcli 12949	. . . . . . . 8
126	125	recni 10052	. . . . . . 7
127	121, 126	subcli 10357	. . . . . 6
128	33, 85	mulcli 10045	. . . . . 6
129	33, 100	mulcli 10045	. . . . . 6
130	116, 127, 128, 129	add4i 10260	. . . . 5
131	5, 9	dipcl 27567	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
132	2, 74, 4, 131	mp3an 1424	. . . . . . 7
133	5, 9	dipcl 27567	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
134	2, 89, 4, 133	mp3an 1424	. . . . . . 7
135	14, 132, 134	adddii 10050	. . . . . 6
136	5, 6, 7, 8, 9	4ipval2 27563	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
137	2, 74, 4, 136	mp3an 1424	. . . . . . 7
138	5, 6, 7, 8, 9	4ipval2 27563	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
139	2, 89, 4, 138	mp3an 1424	. . . . . . 7
140	137, 139	oveq12i 6662	. . . . . 6
141	135, 140	eqtr2i 2645	. . . . 5
142	105, 130, 141	3eqtri 2648	. . . 4
143	12, 17, 142	3eqtr3ri 2653	. . 3
144	143	oveq1i 6660	. 2
145	132, 134	addcli 10044	. . 3
146		4ne0 11117	. . 3
147	145, 14, 146	divcan3i 10771	. 2
148	13, 16	mulcli 10045	. . 3
149	148, 14, 146	divcan3i 10771	. 2
150	144, 147, 149	3eqtr3i 2652	1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wceq 1483

wcel 1990

cfv 5888 (class class class)co 6650

cc 9934

c1 9937

ci 9938

caddc 9939

cmul 9941

cmin 10266

cneg 10267

cdiv 10684

c2 11070

c4 11072

cexp 12860

cnv 27439

cpv 27440

cba 27441

cns 27442

_CVcnmcv 27445

cdip 27555

ccphlo 27667

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-oadd 7564 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-sup 8348 df-oi 8415 df-card 8765 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-4 11081 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-rp 11833 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-seq 12802 df-exp 12861 df-hash 13118 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-clim 14219 df-sum 14417 df-grpo 27347 df-ablo 27399 df-vc 27414 df-nv 27447 df-va 27450 df-ba 27451 df-sm 27452 df-0v 27453 df-nmcv 27455 df-dip 27556 df-ph 27668

This theorem is referenced by: ip1i 27682

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