Theorem nvabs 27527

Description: Norm difference property of a normed complex vector space. Problem 3 of [Kreyszig] p. 64. (Contributed by NM, 4-Dec-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nvabs.1	|- X = ( BaseSet ` U )
nvabs.2	|- G = ( +v ` U )
nvabs.4	|- S = ( .sOLD ` U )
nvabs.6	|- N = ( normCV ` U )

Assertion

Ref	Expression
nvabs	|- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( abs ` ( ( N ` A ) - ( N ` B ) ) ) <_ ( N ` ( A G ( -u 1 S B ) ) ) )

Proof of Theorem nvabs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nvabs.1	. . . . 5 |- X = ( BaseSet ` U )
2		nvabs.2	. . . . 5 |- G = ( +v ` U )
3		nvabs.4	. . . . 5 |- S = ( .sOLD ` U )
4		nvabs.6	. . . . 5 |- N = ( normCV ` U )
5	1, 2, 3, 4	nvdif 27521	. . . 4 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( N ` ( A G ( -u 1 S B ) ) ) = ( N ` ( B G ( -u 1 S A ) ) ) )
6	5	negeqd 10275	. . 3 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> -u ( N ` ( A G ( -u 1 S B ) ) ) = -u ( N ` ( B G ( -u 1 S A ) ) ) )
7	1, 4	nvcl 27516	. . . . 5 |- ( ( U e. NrmCVec /\ B e. X ) -> ( N ` B ) e. RR )
8	7	3adant2 1080	. . . 4 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( N ` B ) e. RR )
9	1, 4	nvcl 27516	. . . . 5 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X ) -> ( N ` A ) e. RR )
10	9	3adant3 1081	. . . 4 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( N ` A ) e. RR )
11		simp1 1061	. . . . . 6 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> U e. NrmCVec )
12		neg1cn 11124	. . . . . . . . . 10 |- -u 1 e. CC
13	1, 3	nvscl 27481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. NrmCVec /\ -u 1 e. CC /\ A e. X ) -> ( -u 1 S A ) e. X )
14	12, 13	mp3an2 1412	. . . . . . . . 9 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X ) -> ( -u 1 S A ) e. X )
15	14	3adant2 1080	. . . . . . . 8 |- ( ( U e. NrmCVec /\ B e. X /\ A e. X ) -> ( -u 1 S A ) e. X )
16	1, 2	nvgcl 27475	. . . . . . . 8 |- ( ( U e. NrmCVec /\ B e. X /\ ( -u 1 S A ) e. X ) -> ( B G ( -u 1 S A ) ) e. X )
17	15, 16	syld3an3 1371	. . . . . . 7 |- ( ( U e. NrmCVec /\ B e. X /\ A e. X ) -> ( B G ( -u 1 S A ) ) e. X )
18	17	3com23 1271	. . . . . 6 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( B G ( -u 1 S A ) ) e. X )
19	1, 4	nvcl 27516	. . . . . 6 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( B G ( -u 1 S A ) ) e. X ) -> ( N ` ( B G ( -u 1 S A ) ) ) e. RR )
20	11, 18, 19	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( N ` ( B G ( -u 1 S A ) ) ) e. RR )
21	20	renegcld 10457	. . . 4 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> -u ( N ` ( B G ( -u 1 S A ) ) ) e. RR )
22	1, 2	nvcom 27476	. . . . . . . . 9 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ ( B G ( -u 1 S A ) ) e. X ) -> ( A G ( B G ( -u 1 S A ) ) ) = ( ( B G ( -u 1 S A ) ) G A ) )
23	18, 22	syld3an3 1371	. . . . . . . 8 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A G ( B G ( -u 1 S A ) ) ) = ( ( B G ( -u 1 S A ) ) G A ) )
24		simprr 796	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> B e. X )
25	14	adantrr 753	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( -u 1 S A ) e. X )
26		simprl 794	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> A e. X )
27	24, 25, 26	3jca 1242	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( B e. X /\ ( -u 1 S A ) e. X /\ A e. X ) )
28	1, 2	nvass 27477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( B e. X /\ ( -u 1 S A ) e. X /\ A e. X ) ) -> ( ( B G ( -u 1 S A ) ) G A ) = ( B G ( ( -u 1 S A ) G A ) ) )
29	27, 28	syldan 487	. . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( ( B G ( -u 1 S A ) ) G A ) = ( B G ( ( -u 1 S A ) G A ) ) )
30	29	3impb 1260	. . . . . . . . 9 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( ( B G ( -u 1 S A ) ) G A ) = ( B G ( ( -u 1 S A ) G A ) ) )
31		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0vec ` U ) = ( 0vec ` U )
32	1, 2, 3, 31	nvlinv 27507	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X ) -> ( ( -u 1 S A ) G A ) = ( 0vec ` U ) )
33	32	3adant3 1081	. . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( ( -u 1 S A ) G A ) = ( 0vec ` U ) )
34	33	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( B G ( ( -u 1 S A ) G A ) ) = ( B G ( 0vec ` U ) ) )
35	1, 2, 31	nv0rid 27490	. . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. NrmCVec /\ B e. X ) -> ( B G ( 0vec ` U ) ) = B )
36	35	3adant2 1080	. . . . . . . . 9 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( B G ( 0vec ` U ) ) = B )
37	30, 34, 36	3eqtrd 2660	. . . . . . . 8 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( ( B G ( -u 1 S A ) ) G A ) = B )
38	23, 37	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A G ( B G ( -u 1 S A ) ) ) = B )
39	38	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( N ` ( A G ( B G ( -u 1 S A ) ) ) ) = ( N ` B ) )
40	1, 2, 4	nvtri 27525	. . . . . . 7 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ ( B G ( -u 1 S A ) ) e. X ) -> ( N ` ( A G ( B G ( -u 1 S A ) ) ) ) <_ ( ( N ` A ) + ( N ` ( B G ( -u 1 S A ) ) ) ) )
41	18, 40	syld3an3 1371	. . . . . 6 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( N ` ( A G ( B G ( -u 1 S A ) ) ) ) <_ ( ( N ` A ) + ( N ` ( B G ( -u 1 S A ) ) ) ) )
42	39, 41	eqbrtrrd 4677	. . . . 5 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( N ` B ) <_ ( ( N ` A ) + ( N ` ( B G ( -u 1 S A ) ) ) ) )
43	10	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( N ` A ) e. CC )
44	20	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( N ` ( B G ( -u 1 S A ) ) ) e. CC )
45	43, 44	subnegd 10399	. . . . 5 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( ( N ` A ) - -u ( N ` ( B G ( -u 1 S A ) ) ) ) = ( ( N ` A ) + ( N ` ( B G ( -u 1 S A ) ) ) ) )
46	42, 45	breqtrrd 4681	. . . 4 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( N ` B ) <_ ( ( N ` A ) - -u ( N ` ( B G ( -u 1 S A ) ) ) ) )
47	8, 10, 21, 46	lesubd 10631	. . 3 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> -u ( N ` ( B G ( -u 1 S A ) ) ) <_ ( ( N ` A ) - ( N ` B ) ) )
48	6, 47	eqbrtrd 4675	. 2 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> -u ( N ` ( A G ( -u 1 S B ) ) ) <_ ( ( N ` A ) - ( N ` B ) ) )
49		simp2 1062	. . . . . . 7 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> A e. X )
50	1, 3	nvscl 27481	. . . . . . . . 9 |- ( ( U e. NrmCVec /\ -u 1 e. CC /\ B e. X ) -> ( -u 1 S B ) e. X )
51	12, 50	mp3an2 1412	. . . . . . . 8 |- ( ( U e. NrmCVec /\ B e. X ) -> ( -u 1 S B ) e. X )
52	51	3adant2 1080	. . . . . . 7 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( -u 1 S B ) e. X )
53		simp3 1063	. . . . . . 7 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> B e. X )
54	1, 2	nvass 27477	. . . . . . 7 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( A e. X /\ ( -u 1 S B ) e. X /\ B e. X ) ) -> ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G B ) = ( A G ( ( -u 1 S B ) G B ) ) )
55	11, 49, 52, 53, 54	syl13anc 1328	. . . . . 6 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G B ) = ( A G ( ( -u 1 S B ) G B ) ) )
56	1, 2, 3, 31	nvlinv 27507	. . . . . . . 8 |- ( ( U e. NrmCVec /\ B e. X ) -> ( ( -u 1 S B ) G B ) = ( 0vec ` U ) )
57	56	3adant2 1080	. . . . . . 7 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( ( -u 1 S B ) G B ) = ( 0vec ` U ) )
58	57	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A G ( ( -u 1 S B ) G B ) ) = ( A G ( 0vec ` U ) ) )
59	1, 2, 31	nv0rid 27490	. . . . . . 7 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X ) -> ( A G ( 0vec ` U ) ) = A )
60	59	3adant3 1081	. . . . . 6 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A G ( 0vec ` U ) ) = A )
61	55, 58, 60	3eqtrd 2660	. . . . 5 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G B ) = A )
62	61	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( N ` ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G B ) ) = ( N ` A ) )
63	1, 2	nvgcl 27475	. . . . . 6 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ ( -u 1 S B ) e. X ) -> ( A G ( -u 1 S B ) ) e. X )
64	52, 63	syld3an3 1371	. . . . 5 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A G ( -u 1 S B ) ) e. X )
65	1, 2, 4	nvtri 27525	. . . . 5 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( A G ( -u 1 S B ) ) e. X /\ B e. X ) -> ( N ` ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G B ) ) <_ ( ( N ` ( A G ( -u 1 S B ) ) ) + ( N ` B ) ) )
66	64, 65	syld3an2 1373	. . . 4 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( N ` ( ( A G ( -u 1 S B ) ) G B ) ) <_ ( ( N ` ( A G ( -u 1 S B ) ) ) + ( N ` B ) ) )
67	62, 66	eqbrtrrd 4677	. . 3 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( N ` A ) <_ ( ( N ` ( A G ( -u 1 S B ) ) ) + ( N ` B ) ) )
68	1, 4	nvcl 27516	. . . . 5 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( A G ( -u 1 S B ) ) e. X ) -> ( N ` ( A G ( -u 1 S B ) ) ) e. RR )
69	11, 64, 68	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( N ` ( A G ( -u 1 S B ) ) ) e. RR )
70	10, 8, 69	lesubaddd 10624	. . 3 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( ( ( N ` A ) - ( N ` B ) ) <_ ( N ` ( A G ( -u 1 S B ) ) ) <-> ( N ` A ) <_ ( ( N ` ( A G ( -u 1 S B ) ) ) + ( N ` B ) ) ) )
71	67, 70	mpbird 247	. 2 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( ( N ` A ) - ( N ` B ) ) <_ ( N ` ( A G ( -u 1 S B ) ) ) )
72	10, 8	resubcld 10458	. . 3 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( ( N ` A ) - ( N ` B ) ) e. RR )
73	72, 69	absled 14169	. 2 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( ( abs ` ( ( N ` A ) - ( N ` B ) ) ) <_ ( N ` ( A G ( -u 1 S B ) ) ) <-> ( -u ( N ` ( A G ( -u 1 S B ) ) ) <_ ( ( N ` A ) - ( N ` B ) ) /\ ( ( N ` A ) - ( N ` B ) ) <_ ( N ` ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ) ) )
74	48, 71, 73	mpbir2and 957	1 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( abs ` ( ( N ` A ) - ( N ` B ) ) ) <_ ( N ` ( A G ( -u 1 S B ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   1c1 9937   + caddc 9939   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   abscabs 13974   NrmCVeccnv 27439   +vcpv 27440   BaseSetcba 27441   .sOLDcns 27442   0veccn0v 27443   norm_CVcnmcv 27445

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-grpo 27347  df-gid 27348  df-ginv 27349  df-ablo 27399  df-vc 27414  df-nv 27447  df-va 27450  df-ba 27451  df-sm 27452  df-0v 27453  df-nmcv 27455

This theorem is referenced by:  nmcvcn  27550