Theorem 4ipval2 27563

Description: Four times the inner product value ipval3 27564, useful for simplifying certain proofs. (Contributed by NM, 10-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dipfval.1	|- X = ( BaseSet ` U )
dipfval.2	|- G = ( +v ` U )
dipfval.4	|- S = ( .sOLD ` U )
dipfval.6	|- N = ( normCV ` U )
dipfval.7	|- P = ( .iOLD ` U )

Assertion

Ref	Expression
4ipval2	|- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( 4 x. ( A P B ) ) = ( ( ( ( N ` ( A G B ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) + ( _i x. ( ( ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )

Proof of Theorem 4ipval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dipfval.1	. . . 4 |- X = ( BaseSet ` U )
2		dipfval.2	. . . 4 |- G = ( +v ` U )
3		dipfval.4	. . . 4 |- S = ( .sOLD ` U )
4		dipfval.6	. . . 4 |- N = ( normCV ` U )
5		dipfval.7	. . . 4 |- P = ( .iOLD ` U )
6	1, 2, 3, 4, 5	ipval2 27562	. . 3 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A P B ) = ( ( ( ( ( N ` ( A G B ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) + ( _i x. ( ( ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) / 4 ) )
7	6	oveq2d 6666	. 2 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( 4 x. ( A P B ) ) = ( 4 x. ( ( ( ( ( N ` ( A G B ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) + ( _i x. ( ( ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) / 4 ) ) )
8		simp1 1061	. . . . . . . 8 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> U e. NrmCVec )
9	1, 2	nvgcl 27475	. . . . . . . 8 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A G B ) e. X )
10	1, 4	nvcl 27516	. . . . . . . 8 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( A G B ) e. X ) -> ( N ` ( A G B ) ) e. RR )
11	8, 9, 10	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( N ` ( A G B ) ) e. RR )
12	11	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( N ` ( A G B ) ) e. CC )
13	12	sqcld 13006	. . . . 5 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( ( N ` ( A G B ) ) ^ 2 ) e. CC )
14		neg1cn 11124	. . . . . . . . . . 11 |- -u 1 e. CC
15	1, 3	nvscl 27481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( U e. NrmCVec /\ -u 1 e. CC /\ B e. X ) -> ( -u 1 S B ) e. X )
16	14, 15	mp3an2 1412	. . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. NrmCVec /\ B e. X ) -> ( -u 1 S B ) e. X )
17	16	3adant2 1080	. . . . . . . . 9 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( -u 1 S B ) e. X )
18	1, 2	nvgcl 27475	. . . . . . . . 9 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ ( -u 1 S B ) e. X ) -> ( A G ( -u 1 S B ) ) e. X )
19	17, 18	syld3an3 1371	. . . . . . . 8 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A G ( -u 1 S B ) ) e. X )
20	1, 4	nvcl 27516	. . . . . . . 8 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( A G ( -u 1 S B ) ) e. X ) -> ( N ` ( A G ( -u 1 S B ) ) ) e. RR )
21	8, 19, 20	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( N ` ( A G ( -u 1 S B ) ) ) e. RR )
22	21	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( N ` ( A G ( -u 1 S B ) ) ) e. CC )
23	22	sqcld 13006	. . . . 5 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( ( N ` ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) e. CC )
24	13, 23	subcld 10392	. . . 4 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( ( ( N ` ( A G B ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) e. CC )
25		ax-icn 9995	. . . . 5 |- _i e. CC
26	1, 3	nvscl 27481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U e. NrmCVec /\ _i e. CC /\ B e. X ) -> ( _i S B ) e. X )
27	25, 26	mp3an2 1412	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( U e. NrmCVec /\ B e. X ) -> ( _i S B ) e. X )
28	27	3adant2 1080	. . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( _i S B ) e. X )
29	1, 2	nvgcl 27475	. . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ ( _i S B ) e. X ) -> ( A G ( _i S B ) ) e. X )
30	28, 29	syld3an3 1371	. . . . . . . . 9 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A G ( _i S B ) ) e. X )
31	1, 4	nvcl 27516	. . . . . . . . 9 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( A G ( _i S B ) ) e. X ) -> ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) e. RR )
32	8, 30, 31	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) e. RR )
33	32	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) e. CC )
34	33	sqcld 13006	. . . . . 6 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) e. CC )
35		negicn 10282	. . . . . . . . . . . 12 |- -u _i e. CC
36	1, 3	nvscl 27481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U e. NrmCVec /\ -u _i e. CC /\ B e. X ) -> ( -u _i S B ) e. X )
37	35, 36	mp3an2 1412	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( U e. NrmCVec /\ B e. X ) -> ( -u _i S B ) e. X )
38	37	3adant2 1080	. . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( -u _i S B ) e. X )
39	1, 2	nvgcl 27475	. . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ ( -u _i S B ) e. X ) -> ( A G ( -u _i S B ) ) e. X )
40	38, 39	syld3an3 1371	. . . . . . . . 9 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A G ( -u _i S B ) ) e. X )
41	1, 4	nvcl 27516	. . . . . . . . 9 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( A G ( -u _i S B ) ) e. X ) -> ( N ` ( A G ( -u _i S B ) ) ) e. RR )
42	8, 40, 41	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( N ` ( A G ( -u _i S B ) ) ) e. RR )
43	42	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( N ` ( A G ( -u _i S B ) ) ) e. CC )
44	43	sqcld 13006	. . . . . 6 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( ( N ` ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) e. CC )
45	34, 44	subcld 10392	. . . . 5 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( ( ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) e. CC )
46		mulcl 10020	. . . . 5 |- ( ( _i e. CC /\ ( ( ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) e. CC ) -> ( _i x. ( ( ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) e. CC )
47	25, 45, 46	sylancr 695	. . . 4 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( _i x. ( ( ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) e. CC )
48	24, 47	addcld 10059	. . 3 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( ( ( ( N ` ( A G B ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) + ( _i x. ( ( ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) e. CC )
49		4cn 11098	. . . 4 |- 4 e. CC
50		4ne0 11117	. . . 4 |- 4 =/= 0
51		divcan2 10693	. . . 4 |- ( ( ( ( ( ( N ` ( A G B ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) + ( _i x. ( ( ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) e. CC /\ 4 e. CC /\ 4 =/= 0 ) -> ( 4 x. ( ( ( ( ( N ` ( A G B ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) + ( _i x. ( ( ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) / 4 ) ) = ( ( ( ( N ` ( A G B ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) + ( _i x. ( ( ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
52	49, 50, 51	mp3an23 1416	. . 3 |- ( ( ( ( ( N ` ( A G B ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) + ( _i x. ( ( ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) e. CC -> ( 4 x. ( ( ( ( ( N ` ( A G B ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) + ( _i x. ( ( ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) / 4 ) ) = ( ( ( ( N ` ( A G B ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) + ( _i x. ( ( ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
53	48, 52	syl 17	. 2 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( 4 x. ( ( ( ( ( N ` ( A G B ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) + ( _i x. ( ( ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) / 4 ) ) = ( ( ( ( N ` ( A G B ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) + ( _i x. ( ( ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
54	7, 53	eqtrd 2656	1 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( 4 x. ( A P B ) ) = ( ( ( ( N ` ( A G B ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) + ( _i x. ( ( ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   _ici 9938   + caddc 9939   x. cmul 9941   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   2c2 11070   4c4 11072   ^cexp 12860   NrmCVeccnv 27439   +vcpv 27440   BaseSetcba 27441   .sOLDcns 27442   norm_CVcnmcv 27445   .iOLDcdip 27555

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-grpo 27347  df-ablo 27399  df-vc 27414  df-nv 27447  df-va 27450  df-ba 27451  df-sm 27452  df-0v 27453  df-nmcv 27455  df-dip 27556

This theorem is referenced by:  ip1ilem  27681  ipasslem10  27694