Theorem oduleval 17131

Description: Value of the less-equal relation in an order dual structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
oduval.d	|- D = (ODual ` O )
oduval.l	|- .<_ = ( le ` O )

Assertion

Ref	Expression
oduleval	|- `' .<_ = ( le ` D )

Proof of Theorem oduleval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6201	. . . . 5 |- ( le ` O ) e. _V
2	1	cnvex 7113	. . . 4 |- `' ( le ` O ) e. _V
3		pleid 16049	. . . . 5 |- le = Slot ( le ` ndx )
4	3	setsid 15914	. . . 4 |- ( ( O e. _V /\ `' ( le ` O ) e. _V ) -> `' ( le ` O ) = ( le ` ( O sSet <. ( le ` ndx ) , `' ( le ` O ) >. ) ) )
5	2, 4	mpan2 707	. . 3 |- ( O e. _V -> `' ( le ` O ) = ( le ` ( O sSet <. ( le ` ndx ) , `' ( le ` O ) >. ) ) )
6	3	str0 15911	. . . 4 |- (/) = ( le ` (/) )
7		fvprc 6185	. . . . . 6 |- ( -. O e. _V -> ( le ` O ) = (/) )
8	7	cnveqd 5298	. . . . 5 |- ( -. O e. _V -> `' ( le ` O ) = `' (/) )
9		cnv0 5535	. . . . 5 |- `' (/) = (/)
10	8, 9	syl6eq 2672	. . . 4 |- ( -. O e. _V -> `' ( le ` O ) = (/) )
11		reldmsets 15886	. . . . . 6 |- Rel dom sSet
12	11	ovprc1 6684	. . . . 5 |- ( -. O e. _V -> ( O sSet <. ( le ` ndx ) , `' ( le ` O ) >. ) = (/) )
13	12	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( -. O e. _V -> ( le ` ( O sSet <. ( le ` ndx ) , `' ( le ` O ) >. ) ) = ( le ` (/) ) )
14	6, 10, 13	3eqtr4a 2682	. . 3 |- ( -. O e. _V -> `' ( le ` O ) = ( le ` ( O sSet <. ( le ` ndx ) , `' ( le ` O ) >. ) ) )
15	5, 14	pm2.61i 176	. 2 |- `' ( le ` O ) = ( le ` ( O sSet <. ( le ` ndx ) , `' ( le ` O ) >. ) )
16		oduval.l	. . 3 |- .<_ = ( le ` O )
17	16	cnveqi 5297	. 2 |- `' .<_ = `' ( le ` O )
18		oduval.d	. . . 4 |- D = (ODual ` O )
19		eqid 2622	. . . 4 |- ( le ` O ) = ( le ` O )
20	18, 19	oduval 17130	. . 3 |- D = ( O sSet <. ( le ` ndx ) , `' ( le ` O ) >. )
21	20	fveq2i 6194	. 2 |- ( le ` D ) = ( le ` ( O sSet <. ( le ` ndx ) , `' ( le ` O ) >. ) )
22	15, 17, 21	3eqtr4i 2654	1 |- `' .<_ = ( le ` D )

Syntax hints:   -. wn 3   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   (/)c0 3915   <.cop 4183   `'ccnv 5113   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ndxcnx 15854   sSet csts 15855   lecple 15948  ODualcodu 17128

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-ltxr 10079  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-dec 11494  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-sets 15864  df-ple 15961  df-odu 17129

This theorem is referenced by:  oduleg  17132  odupos  17135  oduposb  17136  oduglb  17139  odulub  17141  posglbd  17150  oduprs  29656  odutos  29663  ordtcnvNEW  29966  ordtrest2NEW  29969