Theorem odval 17953

Description: Second substitution for the group order definition. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jul-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.) (Revised by AV, 5-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
odval.1	|- X = ( Base ` G )
odval.2	|- .x. = (.g ` G )
odval.3	|- .0. = ( 0g ` G )
odval.4	|- O = ( od ` G )
odval.i	|- I = { y e. NN | ( y .x. A ) = .0. }

Assertion

Ref	Expression
odval	|- ( A e. X -> ( O ` A ) = if ( I = (/) , 0 , inf ( I , RR , < ) ) )

Distinct variable groups:   y, A   y, G   y, .x.   y, .0.

Allowed substitution hints:   I( y)   O( y)   X( y)

Proof of Theorem odval

Dummy variables i x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( x = A -> ( y .x. x ) = ( y .x. A ) )
2	1	eqeq1d 2624	. . . . . 6 |- ( x = A -> ( ( y .x. x ) = .0. <-> ( y .x. A ) = .0. ) )
3	2	rabbidv 3189	. . . . 5 |- ( x = A -> { y e. NN | ( y .x. x ) = .0. } = { y e. NN | ( y .x. A ) = .0. } )
4		odval.i	. . . . 5 |- I = { y e. NN | ( y .x. A ) = .0. }
5	3, 4	syl6eqr 2674	. . . 4 |- ( x = A -> { y e. NN | ( y .x. x ) = .0. } = I )
6	5	csbeq1d 3540	. . 3 |- ( x = A -> [_ { y e. NN | ( y .x. x ) = .0. } / i ]_ if ( i = (/) , 0 , inf ( i , RR , < ) ) = [_ I / i ]_ if ( i = (/) , 0 , inf ( i , RR , < ) ) )
7		nnex 11026	. . . . 5 |- NN e. _V
8	4, 7	rabex2 4815	. . . 4 |- I e. _V
9		eqeq1 2626	. . . . 5 |- ( i = I -> ( i = (/) <-> I = (/) ) )
10		infeq1 8382	. . . . 5 |- ( i = I -> inf ( i , RR , < ) = inf ( I , RR , < ) )
11	9, 10	ifbieq2d 4111	. . . 4 |- ( i = I -> if ( i = (/) , 0 , inf ( i , RR , < ) ) = if ( I = (/) , 0 , inf ( I , RR , < ) ) )
12	8, 11	csbie 3559	. . 3 |- [_ I / i ]_ if ( i = (/) , 0 , inf ( i , RR , < ) ) = if ( I = (/) , 0 , inf ( I , RR , < ) )
13	6, 12	syl6eq 2672	. 2 |- ( x = A -> [_ { y e. NN | ( y .x. x ) = .0. } / i ]_ if ( i = (/) , 0 , inf ( i , RR , < ) ) = if ( I = (/) , 0 , inf ( I , RR , < ) ) )
14		odval.1	. . 3 |- X = ( Base ` G )
15		odval.2	. . 3 |- .x. = (.g ` G )
16		odval.3	. . 3 |- .0. = ( 0g ` G )
17		odval.4	. . 3 |- O = ( od ` G )
18	14, 15, 16, 17	odfval 17952	. 2 |- O = ( x e. X |-> [_ { y e. NN | ( y .x. x ) = .0. } / i ]_ if ( i = (/) , 0 , inf ( i , RR , < ) ) )
19		c0ex 10034	. . 3 |- 0 e. _V
20		ltso 10118	. . . 4 |- < Or RR
21	20	infex 8399	. . 3 |- inf ( I , RR , < ) e. _V
22	19, 21	ifex 4156	. 2 |- if ( I = (/) , 0 , inf ( I , RR , < ) ) e. _V
23	13, 18, 22	fvmpt 6282	1 |- ( A e. X -> ( O ` A ) = if ( I = (/) , 0 , inf ( I , RR , < ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   {crab 2916   [_csb 3533   (/)c0 3915   ifcif 4086   ` cfv 5888  (class class class)co 6650  infcinf 8347   RRcr 9935   0cc0 9936   < clt 10074   NNcn 11020   Basecbs 15857   0gc0g 16100  ._gcmg 17540   odcod 17944

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-ltxr 10079  df-nn 11021  df-od 17948

This theorem is referenced by:  odlem1  17954  odlem2  17958  submod  17984  ofldchr  29814