Theorem odlem2 17958

Description: Any positive annihilator of a group element is an upper bound on the (positive) order of the element. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 5-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
odcl.1	|- X = ( Base ` G )
odcl.2	|- O = ( od ` G )
odid.3	|- .x. = (.g ` G )
odid.4	|- .0. = ( 0g ` G )

Assertion

Ref	Expression
odlem2	|- ( ( A e. X /\ N e. NN /\ ( N .x. A ) = .0. ) -> ( O ` A ) e. ( 1 ... N ) )

Proof of Theorem odlem2

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 6657	. . . . 5 |- ( y = N -> ( y .x. A ) = ( N .x. A ) )
2	1	eqeq1d 2624	. . . 4 |- ( y = N -> ( ( y .x. A ) = .0. <-> ( N .x. A ) = .0. ) )
3	2	elrab 3363	. . 3 |- ( N e. { y e. NN | ( y .x. A ) = .0. } <-> ( N e. NN /\ ( N .x. A ) = .0. ) )
4		odcl.1	. . . . . 6 |- X = ( Base ` G )
5		odid.3	. . . . . 6 |- .x. = (.g ` G )
6		odid.4	. . . . . 6 |- .0. = ( 0g ` G )
7		odcl.2	. . . . . 6 |- O = ( od ` G )
8		eqid 2622	. . . . . 6 |- { y e. NN | ( y .x. A ) = .0. } = { y e. NN | ( y .x. A ) = .0. }
9	4, 5, 6, 7, 8	odval 17953	. . . . 5 |- ( A e. X -> ( O ` A ) = if ( { y e. NN | ( y .x. A ) = .0. } = (/) , 0 , inf ( { y e. NN | ( y .x. A ) = .0. } , RR , < ) ) )
10		n0i 3920	. . . . . 6 |- ( N e. { y e. NN | ( y .x. A ) = .0. } -> -. { y e. NN | ( y .x. A ) = .0. } = (/) )
11	10	iffalsed 4097	. . . . 5 |- ( N e. { y e. NN | ( y .x. A ) = .0. } -> if ( { y e. NN | ( y .x. A ) = .0. } = (/) , 0 , inf ( { y e. NN | ( y .x. A ) = .0. } , RR , < ) ) = inf ( { y e. NN | ( y .x. A ) = .0. } , RR , < ) )
12	9, 11	sylan9eq 2676	. . . 4 |- ( ( A e. X /\ N e. { y e. NN | ( y .x. A ) = .0. } ) -> ( O ` A ) = inf ( { y e. NN | ( y .x. A ) = .0. } , RR , < ) )
13		ssrab2 3687	. . . . . 6 |- { y e. NN | ( y .x. A ) = .0. } C_ NN
14		nnuz 11723	. . . . . . . 8 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
15	13, 14	sseqtri 3637	. . . . . . 7 |- { y e. NN | ( y .x. A ) = .0. } C_ ( ZZ>= ` 1 )
16		ne0i 3921	. . . . . . . 8 |- ( N e. { y e. NN | ( y .x. A ) = .0. } -> { y e. NN | ( y .x. A ) = .0. } =/= (/) )
17	16	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( A e. X /\ N e. { y e. NN | ( y .x. A ) = .0. } ) -> { y e. NN | ( y .x. A ) = .0. } =/= (/) )
18		infssuzcl 11772	. . . . . . 7 |- ( ( { y e. NN | ( y .x. A ) = .0. } C_ ( ZZ>= ` 1 ) /\ { y e. NN | ( y .x. A ) = .0. } =/= (/) ) -> inf ( { y e. NN | ( y .x. A ) = .0. } , RR , < ) e. { y e. NN | ( y .x. A ) = .0. } )
19	15, 17, 18	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( ( A e. X /\ N e. { y e. NN | ( y .x. A ) = .0. } ) -> inf ( { y e. NN | ( y .x. A ) = .0. } , RR , < ) e. { y e. NN | ( y .x. A ) = .0. } )
20	13, 19	sseldi 3601	. . . . 5 |- ( ( A e. X /\ N e. { y e. NN | ( y .x. A ) = .0. } ) -> inf ( { y e. NN | ( y .x. A ) = .0. } , RR , < ) e. NN )
21		infssuzle 11771	. . . . . . 7 |- ( ( { y e. NN | ( y .x. A ) = .0. } C_ ( ZZ>= ` 1 ) /\ N e. { y e. NN | ( y .x. A ) = .0. } ) -> inf ( { y e. NN | ( y .x. A ) = .0. } , RR , < ) <_ N )
22	15, 21	mpan 706	. . . . . 6 |- ( N e. { y e. NN | ( y .x. A ) = .0. } -> inf ( { y e. NN | ( y .x. A ) = .0. } , RR , < ) <_ N )
23	22	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( A e. X /\ N e. { y e. NN | ( y .x. A ) = .0. } ) -> inf ( { y e. NN | ( y .x. A ) = .0. } , RR , < ) <_ N )
24		elrabi 3359	. . . . . . . 8 |- ( N e. { y e. NN | ( y .x. A ) = .0. } -> N e. NN )
25	24	nnzd 11481	. . . . . . 7 |- ( N e. { y e. NN | ( y .x. A ) = .0. } -> N e. ZZ )
26		fznn 12408	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> (inf ( { y e. NN | ( y .x. A ) = .0. } , RR , < ) e. ( 1 ... N ) <-> (inf ( { y e. NN | ( y .x. A ) = .0. } , RR , < ) e. NN /\ inf ( { y e. NN | ( y .x. A ) = .0. } , RR , < ) <_ N ) ) )
27	25, 26	syl 17	. . . . . 6 |- ( N e. { y e. NN | ( y .x. A ) = .0. } -> (inf ( { y e. NN | ( y .x. A ) = .0. } , RR , < ) e. ( 1 ... N ) <-> (inf ( { y e. NN | ( y .x. A ) = .0. } , RR , < ) e. NN /\ inf ( { y e. NN | ( y .x. A ) = .0. } , RR , < ) <_ N ) ) )
28	27	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( A e. X /\ N e. { y e. NN | ( y .x. A ) = .0. } ) -> (inf ( { y e. NN | ( y .x. A ) = .0. } , RR , < ) e. ( 1 ... N ) <-> (inf ( { y e. NN | ( y .x. A ) = .0. } , RR , < ) e. NN /\ inf ( { y e. NN | ( y .x. A ) = .0. } , RR , < ) <_ N ) ) )
29	20, 23, 28	mpbir2and 957	. . . 4 |- ( ( A e. X /\ N e. { y e. NN | ( y .x. A ) = .0. } ) -> inf ( { y e. NN | ( y .x. A ) = .0. } , RR , < ) e. ( 1 ... N ) )
30	12, 29	eqeltrd 2701	. . 3 |- ( ( A e. X /\ N e. { y e. NN | ( y .x. A ) = .0. } ) -> ( O ` A ) e. ( 1 ... N ) )
31	3, 30	sylan2br 493	. 2 |- ( ( A e. X /\ ( N e. NN /\ ( N .x. A ) = .0. ) ) -> ( O ` A ) e. ( 1 ... N ) )
32	31	3impb 1260	1 |- ( ( A e. X /\ N e. NN /\ ( N .x. A ) = .0. ) -> ( O ` A ) e. ( 1 ... N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   {crab 2916   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650  infcinf 8347   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   < clt 10074   <_ cle 10075   NNcn 11020   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   Basecbs 15857   0gc0g 16100  ._gcmg 17540   odcod 17944

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-od 17948

This theorem is referenced by:  mndodconglem  17960  oddvdsnn0  17963  odnncl  17964  oddvds  17966  od1  17976