Theorem ofldchr 29814

Description: The characteristic of an ordered field is zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2018.) (Proof shortened by AV, 6-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
ofldchr	|- ( F e. oField -> (chr ` F ) = 0 )

Proof of Theorem ofldchr

Dummy variables m n y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . 3 |- ( od ` F ) = ( od ` F )
2		eqid 2622	. . 3 |- ( 1r ` F ) = ( 1r ` F )
3		eqid 2622	. . 3 |- (chr ` F ) = (chr ` F )
4	1, 2, 3	chrval 19873	. 2 |- ( ( od ` F ) ` ( 1r ` F ) ) = (chr ` F )
5		ofldfld 29810	. . . . 5 |- ( F e. oField -> F e. Field )
6		isfld 18756	. . . . . 6 |- ( F e. Field <-> ( F e. DivRing /\ F e. CRing ) )
7	6	simplbi 476	. . . . 5 |- ( F e. Field -> F e. DivRing )
8		drngring 18754	. . . . 5 |- ( F e. DivRing -> F e. Ring )
9	5, 7, 8	3syl 18	. . . 4 |- ( F e. oField -> F e. Ring )
10		eqid 2622	. . . . 5 |- ( Base ` F ) = ( Base ` F )
11	10, 2	ringidcl 18568	. . . 4 |- ( F e. Ring -> ( 1r ` F ) e. ( Base ` F ) )
12		eqid 2622	. . . . 5 |- (.g ` F ) = (.g ` F )
13		eqid 2622	. . . . 5 |- ( 0g ` F ) = ( 0g ` F )
14		eqid 2622	. . . . 5 |- { y e. NN | ( y (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) = ( 0g ` F ) } = { y e. NN | ( y (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) = ( 0g ` F ) }
15	10, 12, 13, 1, 14	odval 17953	. . . 4 |- ( ( 1r ` F ) e. ( Base ` F ) -> ( ( od ` F ) ` ( 1r ` F ) ) = if ( { y e. NN | ( y (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) = ( 0g ` F ) } = (/) , 0 , inf ( { y e. NN | ( y (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) = ( 0g ` F ) } , RR , < ) ) )
16	9, 11, 15	3syl 18	. . 3 |- ( F e. oField -> ( ( od ` F ) ` ( 1r ` F ) ) = if ( { y e. NN | ( y (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) = ( 0g ` F ) } = (/) , 0 , inf ( { y e. NN | ( y (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) = ( 0g ` F ) } , RR , < ) ) )
17		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = 1 -> ( n (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) = ( 1 (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) )
18	17	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = 1 -> ( ( 0g ` F ) ( lt ` F ) ( n (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) <-> ( 0g ` F ) ( lt ` F ) ( 1 (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) ) )
19	18	imbi2d 330	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = 1 -> ( ( F e. oField -> ( 0g ` F ) ( lt ` F ) ( n (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) ) <-> ( F e. oField -> ( 0g ` F ) ( lt ` F ) ( 1 (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) ) ) )
20		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = m -> ( n (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) = ( m (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) )
21	20	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = m -> ( ( 0g ` F ) ( lt ` F ) ( n (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) <-> ( 0g ` F ) ( lt ` F ) ( m (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) ) )
22	21	imbi2d 330	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = m -> ( ( F e. oField -> ( 0g ` F ) ( lt ` F ) ( n (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) ) <-> ( F e. oField -> ( 0g ` F ) ( lt ` F ) ( m (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) ) ) )
23		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( n (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) = ( ( m + 1 ) (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) )
24	23	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( ( 0g ` F ) ( lt ` F ) ( n (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) <-> ( 0g ` F ) ( lt ` F ) ( ( m + 1 ) (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) ) )
25	24	imbi2d 330	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( ( F e. oField -> ( 0g ` F ) ( lt ` F ) ( n (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) ) <-> ( F e. oField -> ( 0g ` F ) ( lt ` F ) ( ( m + 1 ) (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) ) ) )
26		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = y -> ( n (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) = ( y (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) )
27	26	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = y -> ( ( 0g ` F ) ( lt ` F ) ( n (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) <-> ( 0g ` F ) ( lt ` F ) ( y (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) ) )
28	27	imbi2d 330	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = y -> ( ( F e. oField -> ( 0g ` F ) ( lt ` F ) ( n (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) ) <-> ( F e. oField -> ( 0g ` F ) ( lt ` F ) ( y (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) ) ) )
29		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( lt ` F ) = ( lt ` F )
30	13, 2, 29	ofldlt1 29813	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F e. oField -> ( 0g ` F ) ( lt ` F ) ( 1r ` F ) )
31	9, 11	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F e. oField -> ( 1r ` F ) e. ( Base ` F ) )
32	10, 12	mulg1 17548	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1r ` F ) e. ( Base ` F ) -> ( 1 (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) = ( 1r ` F ) )
33	31, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F e. oField -> ( 1 (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) = ( 1r ` F ) )
34	30, 33	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . 11 |- ( F e. oField -> ( 0g ` F ) ( lt ` F ) ( 1 (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) )
35		ofldtos 29811	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( F e. oField -> F e. Toset )
36		tospos 29658	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( F e. Toset -> F e. Poset )
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( F e. oField -> F e. Poset )
38	37	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( m e. NN /\ F e. oField ) /\ ( 0g ` F ) ( lt ` F ) ( m (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) ) -> F e. Poset )
39		ringgrp 18552	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( F e. Ring -> F e. Grp )
40	9, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F e. oField -> F e. Grp )
41	40	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( m e. NN /\ F e. oField ) /\ ( 0g ` F ) ( lt ` F ) ( m (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) ) -> F e. Grp )
42	10, 13	grpidcl 17450	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( F e. Grp -> ( 0g ` F ) e. ( Base ` F ) )
43	41, 42	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( m e. NN /\ F e. oField ) /\ ( 0g ` F ) ( lt ` F ) ( m (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) ) -> ( 0g ` F ) e. ( Base ` F ) )
44		grpmnd 17429	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( F e. Grp -> F e. Mnd )
45		mndmgm 17300	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( F e. Mnd -> F e. Mgm )
46	44, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F e. Grp -> F e. Mgm )
47	41, 46	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( m e. NN /\ F e. oField ) /\ ( 0g ` F ) ( lt ` F ) ( m (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) ) -> F e. Mgm )
48		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( m e. NN /\ F e. oField ) /\ ( 0g ` F ) ( lt ` F ) ( m (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) ) -> m e. NN )
49	31	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( m e. NN /\ F e. oField ) /\ ( 0g ` F ) ( lt ` F ) ( m (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) ) -> ( 1r ` F ) e. ( Base ` F ) )
50	10, 12	mulgnncl 17556	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F e. Mgm /\ m e. NN /\ ( 1r ` F ) e. ( Base ` F ) ) -> ( m (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) e. ( Base ` F ) )
51	47, 48, 49, 50	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( m e. NN /\ F e. oField ) /\ ( 0g ` F ) ( lt ` F ) ( m (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) ) -> ( m (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) e. ( Base ` F ) )
52	48	peano2nnd 11037	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( m e. NN /\ F e. oField ) /\ ( 0g ` F ) ( lt ` F ) ( m (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) ) -> ( m + 1 ) e. NN )
53	10, 12	mulgnncl 17556	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F e. Mgm /\ ( m + 1 ) e. NN /\ ( 1r ` F ) e. ( Base ` F ) ) -> ( ( m + 1 ) (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) e. ( Base ` F ) )
54	47, 52, 49, 53	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( m e. NN /\ F e. oField ) /\ ( 0g ` F ) ( lt ` F ) ( m (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) ) -> ( ( m + 1 ) (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) e. ( Base ` F ) )
55	43, 51, 54	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( m e. NN /\ F e. oField ) /\ ( 0g ` F ) ( lt ` F ) ( m (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) ) -> ( ( 0g ` F ) e. ( Base ` F ) /\ ( m (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) e. ( Base ` F ) /\ ( ( m + 1 ) (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) e. ( Base ` F ) ) )
56		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( m e. NN /\ F e. oField ) /\ ( 0g ` F ) ( lt ` F ) ( m (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) ) -> ( 0g ` F ) ( lt ` F ) ( m (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) )
57		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( m e. NN /\ F e. oField ) /\ ( 0g ` F ) ( lt ` F ) ( m (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) ) -> F e. oField )
58		isofld 29802	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( F e. oField <-> ( F e. Field /\ F e. oRing ) )
59	58	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F e. oField -> F e. oRing )
60		orngogrp 29801	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F e. oRing -> F e. oGrp )
61	57, 59, 60	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( m e. NN /\ F e. oField ) /\ ( 0g ` F ) ( lt ` F ) ( m (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) ) -> F e. oGrp )
62	30	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( m e. NN /\ F e. oField ) /\ ( 0g ` F ) ( lt ` F ) ( m (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) ) -> ( 0g ` F ) ( lt ` F ) ( 1r ` F ) )
63		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( +g ` F ) = ( +g ` F )
64	10, 29, 63	ogrpaddlt 29718	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F e. oGrp /\ ( ( 0g ` F ) e. ( Base ` F ) /\ ( 1r ` F ) e. ( Base ` F ) /\ ( m (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) e. ( Base ` F ) ) /\ ( 0g ` F ) ( lt ` F ) ( 1r ` F ) ) -> ( ( 0g ` F ) ( +g ` F ) ( m (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) ) ( lt ` F ) ( ( 1r ` F ) ( +g ` F ) ( m (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) ) )
65	61, 43, 49, 51, 62, 64	syl131anc 1339	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( m e. NN /\ F e. oField ) /\ ( 0g ` F ) ( lt ` F ) ( m (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) ) -> ( ( 0g ` F ) ( +g ` F ) ( m (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) ) ( lt ` F ) ( ( 1r ` F ) ( +g ` F ) ( m (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) ) )
66	10, 63, 13	grplid 17452	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F e. Grp /\ ( m (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) e. ( Base ` F ) ) -> ( ( 0g ` F ) ( +g ` F ) ( m (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) ) = ( m (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) )
67	41, 51, 66	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( m e. NN /\ F e. oField ) /\ ( 0g ` F ) ( lt ` F ) ( m (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) ) -> ( ( 0g ` F ) ( +g ` F ) ( m (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) ) = ( m (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) )
68	67	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( m e. NN /\ F e. oField ) /\ ( 0g ` F ) ( lt ` F ) ( m (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) ) -> ( m (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) = ( ( 0g ` F ) ( +g ` F ) ( m (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) ) )
69	10, 12, 63	mulgnnp1 17549	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( m e. NN /\ ( 1r ` F ) e. ( Base ` F ) ) -> ( ( m + 1 ) (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) = ( ( m (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) ( +g ` F ) ( 1r ` F ) ) )
70	48, 49, 69	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( m e. NN /\ F e. oField ) /\ ( 0g ` F ) ( lt ` F ) ( m (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) ) -> ( ( m + 1 ) (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) = ( ( m (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) ( +g ` F ) ( 1r ` F ) ) )
71		ringcmn 18581	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( F e. Ring -> F e. CMnd )
72	57, 9, 71	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( m e. NN /\ F e. oField ) /\ ( 0g ` F ) ( lt ` F ) ( m (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) ) -> F e. CMnd )
73	10, 63	cmncom 18209	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F e. CMnd /\ ( m (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) e. ( Base ` F ) /\ ( 1r ` F ) e. ( Base ` F ) ) -> ( ( m (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) ( +g ` F ) ( 1r ` F ) ) = ( ( 1r ` F ) ( +g ` F ) ( m (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) ) )
74	72, 51, 49, 73	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( m e. NN /\ F e. oField ) /\ ( 0g ` F ) ( lt ` F ) ( m (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) ) -> ( ( m (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) ( +g ` F ) ( 1r ` F ) ) = ( ( 1r ` F ) ( +g ` F ) ( m (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) ) )
75	70, 74	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( m e. NN /\ F e. oField ) /\ ( 0g ` F ) ( lt ` F ) ( m (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) ) -> ( ( m + 1 ) (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) = ( ( 1r ` F ) ( +g ` F ) ( m (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) ) )
76	65, 68, 75	3brtr4d 4685	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( m e. NN /\ F e. oField ) /\ ( 0g ` F ) ( lt ` F ) ( m (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) ) -> ( m (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) ( lt ` F ) ( ( m + 1 ) (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) )
77	10, 29	plttr 16970	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F e. Poset /\ ( ( 0g ` F ) e. ( Base ` F ) /\ ( m (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) e. ( Base ` F ) /\ ( ( m + 1 ) (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) e. ( Base ` F ) ) ) -> ( ( ( 0g ` F ) ( lt ` F ) ( m (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) /\ ( m (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) ( lt ` F ) ( ( m + 1 ) (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) ) -> ( 0g ` F ) ( lt ` F ) ( ( m + 1 ) (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) ) )
78	77	imp 445	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F e. Poset /\ ( ( 0g ` F ) e. ( Base ` F ) /\ ( m (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) e. ( Base ` F ) /\ ( ( m + 1 ) (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) e. ( Base ` F ) ) ) /\ ( ( 0g ` F ) ( lt ` F ) ( m (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) /\ ( m (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) ( lt ` F ) ( ( m + 1 ) (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) ) ) -> ( 0g ` F ) ( lt ` F ) ( ( m + 1 ) (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) )
79	38, 55, 56, 76, 78	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( m e. NN /\ F e. oField ) /\ ( 0g ` F ) ( lt ` F ) ( m (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) ) -> ( 0g ` F ) ( lt ` F ) ( ( m + 1 ) (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) )
80	79	exp31 630	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. NN -> ( F e. oField -> ( ( 0g ` F ) ( lt ` F ) ( m (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) -> ( 0g ` F ) ( lt ` F ) ( ( m + 1 ) (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) ) ) )
81	80	a2d 29	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. NN -> ( ( F e. oField -> ( 0g ` F ) ( lt ` F ) ( m (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) ) -> ( F e. oField -> ( 0g ` F ) ( lt ` F ) ( ( m + 1 ) (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) ) ) )
82	19, 22, 25, 28, 34, 81	nnind 11038	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. NN -> ( F e. oField -> ( 0g ` F ) ( lt ` F ) ( y (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) ) )
83	82	impcom 446	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. oField /\ y e. NN ) -> ( 0g ` F ) ( lt ` F ) ( y (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) )
84		fvex 6201	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0g ` F ) e. _V
85		ovex 6678	. . . . . . . . . . 11 |- ( y (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) e. _V
86	29	pltne 16962	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. oField /\ ( 0g ` F ) e. _V /\ ( y (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) e. _V ) -> ( ( 0g ` F ) ( lt ` F ) ( y (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) -> ( 0g ` F ) =/= ( y (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) ) )
87	84, 85, 86	mp3an23 1416	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. oField -> ( ( 0g ` F ) ( lt ` F ) ( y (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) -> ( 0g ` F ) =/= ( y (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) ) )
88	87	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. oField /\ y e. NN ) -> ( ( 0g ` F ) ( lt ` F ) ( y (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) -> ( 0g ` F ) =/= ( y (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) ) )
89	83, 88	mpd 15	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. oField /\ y e. NN ) -> ( 0g ` F ) =/= ( y (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) )
90	89	necomd 2849	. . . . . . 7 |- ( ( F e. oField /\ y e. NN ) -> ( y (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) =/= ( 0g ` F ) )
91	90	neneqd 2799	. . . . . 6 |- ( ( F e. oField /\ y e. NN ) -> -. ( y (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) = ( 0g ` F ) )
92	91	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( F e. oField -> A. y e. NN -. ( y (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) = ( 0g ` F ) )
93		rabeq0 3957	. . . . 5 |- ( { y e. NN | ( y (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) = ( 0g ` F ) } = (/) <-> A. y e. NN -. ( y (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) = ( 0g ` F ) )
94	92, 93	sylibr 224	. . . 4 |- ( F e. oField -> { y e. NN | ( y (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) = ( 0g ` F ) } = (/) )
95	94	iftrued 4094	. . 3 |- ( F e. oField -> if ( { y e. NN | ( y (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) = ( 0g ` F ) } = (/) , 0 , inf ( { y e. NN | ( y (.g ` F ) ( 1r ` F ) ) = ( 0g ` F ) } , RR , < ) ) = 0 )
96	16, 95	eqtrd 2656	. 2 |- ( F e. oField -> ( ( od ` F ) ` ( 1r ` F ) ) = 0 )
97	4, 96	syl5eqr 2670	1 |- ( F e. oField -> (chr ` F ) = 0 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   (/)c0 3915   ifcif 4086   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650  infcinf 8347   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   NNcn 11020   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   0gc0g 16100   Posetcpo 16940   ltcplt 16941  Tosetctos 17033  Mgmcmgm 17240   Mndcmnd 17294   Grpcgrp 17422  ._gcmg 17540   odcod 17944  CMndccmn 18193   1rcur 18501   Ringcrg 18547   CRingccrg 18548   DivRingcdr 18747  Fieldcfield 18748  chrcchr 19850  oGrpcogrp 29698  oRingcorng 29795  oFieldcofld 29796

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-seq 12802  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-0g 16102  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958  df-toset 17034  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mulg 17541  df-od 17948  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-drng 18749  df-field 18750  df-chr 19854  df-omnd 29699  df-ogrp 29700  df-orng 29797  df-ofld 29798

This theorem is referenced by:  rerrext  30053  cnrrext  30054