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Theorem oelim2 7675
Description: Ordinal exponentiation with a limit exponent. Part of Exercise 4.36 of [Mendelson] p. 250. (Contributed by NM, 6-Jan-2005.)
Assertion
Ref Expression
oelim2 |- ( ( A e. On /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) -> ( A ^o B ) = U_ x e. ( B \ 1o ) ( A ^o x ) )
Distinct variable groups:   x, A   x, B
Allowed substitution hint:   C( x)
Proof of Theorem oelim2
Dummy variable y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limelon 5788 . . . . . 6 |- ( ( B e. C /\ Lim B ) -> B e. On )
2 0ellim 5787 . . . . . . 7 |- ( Lim B -> (/) e. B )
32adantl 482 . . . . . 6 |- ( ( B e. C /\ Lim B ) -> (/) e. B )
4 oe0m1 7601 . . . . . . 7 |- ( B e. On -> ( (/) e. B <-> ( (/) ^o B ) = (/) ) )
54biimpa 501 . . . . . 6 |- ( ( B e. On /\ (/) e. B ) -> ( (/) ^o B ) = (/) )
61, 3, 5syl2anc 693 . . . . 5 |- ( ( B e. C /\ Lim B ) -> ( (/) ^o B ) = (/) )
7 eldif 3584 . . . . . . . . 9 |- ( x e. ( B \ 1o ) <-> ( x e. B /\ -. x e. 1o ) )
8 limord 5784 . . . . . . . . . . . 12 |- ( Lim B -> Ord B )
9 ordelon 5747 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Ord B /\ x e. B ) -> x e. On )
108, 9sylan 488 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( Lim B /\ x e. B ) -> x e. On )
11 on0eln0 5780 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. On -> ( (/) e. x <-> x =/= (/) ) )
12 el1o 7579 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. 1o <-> x = (/) )
1312necon3bbii 2841 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. x e. 1o <-> x =/= (/) )
1411, 13syl6bbr 278 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. On -> ( (/) e. x <-> -. x e. 1o ) )
15 oe0m1 7601 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. On -> ( (/) e. x <-> ( (/) ^o x ) = (/) ) )
1615biimpd 219 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. On -> ( (/) e. x -> ( (/) ^o x ) = (/) ) )
1714, 16sylbird 250 . . . . . . . . . . 11 |- ( x e. On -> ( -. x e. 1o -> ( (/) ^o x ) = (/) ) )
1810, 17syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ( Lim B /\ x e. B ) -> ( -. x e. 1o -> ( (/) ^o x ) = (/) ) )
1918impr 649 . . . . . . . . 9 |- ( ( Lim B /\ ( x e. B /\ -. x e. 1o ) ) -> ( (/) ^o x ) = (/) )
207, 19sylan2b 492 . . . . . . . 8 |- ( ( Lim B /\ x e. ( B \ 1o ) ) -> ( (/) ^o x ) = (/) )
2120iuneq2dv 4542 . . . . . . 7 |- ( Lim B -> U_ x e. ( B \ 1o ) ( (/) ^o x ) = U_ x e. ( B \ 1o ) (/) )
22 df-1o 7560 . . . . . . . . . . 11 |- 1o = suc (/)
23 limsuc 7049 . . . . . . . . . . . 12 |- ( Lim B -> ( (/) e. B <-> suc (/) e. B ) )
242, 23mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 |- ( Lim B -> suc (/) e. B )
2522, 24syl5eqel 2705 . . . . . . . . . 10 |- ( Lim B -> 1o e. B )
26 1on 7567 . . . . . . . . . . 11 |- 1o e. On
2726onirri 5834 . . . . . . . . . 10 |- -. 1o e. 1o
2825, 27jctir 561 . . . . . . . . 9 |- ( Lim B -> ( 1o e. B /\ -. 1o e. 1o ) )
29 eldif 3584 . . . . . . . . 9 |- ( 1o e. ( B \ 1o ) <-> ( 1o e. B /\ -. 1o e. 1o ) )
3028, 29sylibr 224 . . . . . . . 8 |- ( Lim B -> 1o e. ( B \ 1o ) )
31 ne0i 3921 . . . . . . . 8 |- ( 1o e. ( B \ 1o ) -> ( B \ 1o ) =/= (/) )
32 iunconst 4529 . . . . . . . 8 |- ( ( B \ 1o ) =/= (/) -> U_ x e. ( B \ 1o ) (/) = (/) )
3330, 31, 323syl 18 . . . . . . 7 |- ( Lim B -> U_ x e. ( B \ 1o ) (/) = (/) )
3421, 33eqtrd 2656 . . . . . 6 |- ( Lim B -> U_ x e. ( B \ 1o ) ( (/) ^o x ) = (/) )
3534adantl 482 . . . . 5 |- ( ( B e. C /\ Lim B ) -> U_ x e. ( B \ 1o ) ( (/) ^o x ) = (/) )
366, 35eqtr4d 2659 . . . 4 |- ( ( B e. C /\ Lim B ) -> ( (/) ^o B ) = U_ x e. ( B \ 1o ) ( (/) ^o x ) )
37 oveq1 6657 . . . . 5 |- ( A = (/) -> ( A ^o B ) = ( (/) ^o B ) )
38 oveq1 6657 . . . . . 6 |- ( A = (/) -> ( A ^o x ) = ( (/) ^o x ) )
3938iuneq2d 4547 . . . . 5 |- ( A = (/) -> U_ x e. ( B \ 1o ) ( A ^o x ) = U_ x e. ( B \ 1o ) ( (/) ^o x ) )
4037, 39eqeq12d 2637 . . . 4 |- ( A = (/) -> ( ( A ^o B ) = U_ x e. ( B \ 1o ) ( A ^o x ) <-> ( (/) ^o B ) = U_ x e. ( B \ 1o ) ( (/) ^o x ) ) )
4136, 40syl5ibr 236 . . 3 |- ( A = (/) -> ( ( B e. C /\ Lim B ) -> ( A ^o B ) = U_ x e. ( B \ 1o ) ( A ^o x ) ) )
4241impcom 446 . 2 |- ( ( ( B e. C /\ Lim B ) /\ A = (/) ) -> ( A ^o B ) = U_ x e. ( B \ 1o ) ( A ^o x ) )
43 oelim 7614 . . 3 |- ( ( ( A e. On /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) /\ (/) e. A ) -> ( A ^o B ) = U_ y e. B ( A ^o y ) )
44 limsuc 7049 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( Lim B -> ( y e. B <-> suc y e. B ) )
4544biimpa 501 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Lim B /\ y e. B ) -> suc y e. B )
46 nsuceq0 5805 . . . . . . . . . . . . 13 |- suc y =/= (/)
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Lim B /\ y e. B ) -> suc y =/= (/) )
48 dif1o 7580 . . . . . . . . . . . 12 |- ( suc y e. ( B \ 1o ) <-> ( suc y e. B /\ suc y =/= (/) ) )
4945, 47, 48sylanbrc 698 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( Lim B /\ y e. B ) -> suc y e. ( B \ 1o ) )
5049ex 450 . . . . . . . . . 10 |- ( Lim B -> ( y e. B -> suc y e. ( B \ 1o ) ) )
5150ad2antlr 763 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. On /\ Lim B ) /\ (/) e. A ) -> ( y e. B -> suc y e. ( B \ 1o ) ) )
52 sssucid 5802 . . . . . . . . . . 11 |- y C_ suc y
53 ordelon 5747 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( Ord B /\ y e. B ) -> y e. On )
548, 53sylan 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( Lim B /\ y e. B ) -> y e. On )
55 suceloni 7013 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. On -> suc y e. On )
5654, 55jccir 562 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( Lim B /\ y e. B ) -> ( y e. On /\ suc y e. On ) )
57 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. On /\ suc y e. On /\ A e. On ) -> ( y e. On /\ suc y e. On /\ A e. On ) )
58573expa 1265 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( y e. On /\ suc y e. On ) /\ A e. On ) -> ( y e. On /\ suc y e. On /\ A e. On ) )
5958ancoms 469 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. On /\ ( y e. On /\ suc y e. On ) ) -> ( y e. On /\ suc y e. On /\ A e. On ) )
6056, 59sylan2 491 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. On /\ ( Lim B /\ y e. B ) ) -> ( y e. On /\ suc y e. On /\ A e. On ) )
6160anassrs 680 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. On /\ Lim B ) /\ y e. B ) -> ( y e. On /\ suc y e. On /\ A e. On ) )
62 oewordi 7671 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( y e. On /\ suc y e. On /\ A e. On ) /\ (/) e. A ) -> ( y C_ suc y -> ( A ^o y ) C_ ( A ^o suc y ) ) )
6361, 62sylan 488 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. On /\ Lim B ) /\ y e. B ) /\ (/) e. A ) -> ( y C_ suc y -> ( A ^o y ) C_ ( A ^o suc y ) ) )
6463an32s 846 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. On /\ Lim B ) /\ (/) e. A ) /\ y e. B ) -> ( y C_ suc y -> ( A ^o y ) C_ ( A ^o suc y ) ) )
6552, 64mpi 20 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. On /\ Lim B ) /\ (/) e. A ) /\ y e. B ) -> ( A ^o y ) C_ ( A ^o suc y ) )
6665ex 450 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. On /\ Lim B ) /\ (/) e. A ) -> ( y e. B -> ( A ^o y ) C_ ( A ^o suc y ) ) )
6751, 66jcad 555 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. On /\ Lim B ) /\ (/) e. A ) -> ( y e. B -> ( suc y e. ( B \ 1o ) /\ ( A ^o y ) C_ ( A ^o suc y ) ) ) )
68 oveq2 6658 . . . . . . . . . 10 |- ( x = suc y -> ( A ^o x ) = ( A ^o suc y ) )
6968sseq2d 3633 . . . . . . . . 9 |- ( x = suc y -> ( ( A ^o y ) C_ ( A ^o x ) <-> ( A ^o y ) C_ ( A ^o suc y ) ) )
7069rspcev 3309 . . . . . . . 8 |- ( ( suc y e. ( B \ 1o ) /\ ( A ^o y ) C_ ( A ^o suc y ) ) -> E. x e. ( B \ 1o ) ( A ^o y ) C_ ( A ^o x ) )
7167, 70syl6 35 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. On /\ Lim B ) /\ (/) e. A ) -> ( y e. B -> E. x e. ( B \ 1o ) ( A ^o y ) C_ ( A ^o x ) ) )
7271ralrimiv 2965 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. On /\ Lim B ) /\ (/) e. A ) -> A. y e. B E. x e. ( B \ 1o ) ( A ^o y ) C_ ( A ^o x ) )
73 iunss2 4565 . . . . . 6 |- ( A. y e. B E. x e. ( B \ 1o ) ( A ^o y ) C_ ( A ^o x ) -> U_ y e. B ( A ^o y ) C_ U_ x e. ( B \ 1o ) ( A ^o x ) )
7472, 73syl 17 . . . . 5 |- ( ( ( A e. On /\ Lim B ) /\ (/) e. A ) -> U_ y e. B ( A ^o y ) C_ U_ x e. ( B \ 1o ) ( A ^o x ) )
75 difss 3737 . . . . . . . 8 |- ( B \ 1o ) C_ B
76 iunss1 4532 . . . . . . . 8 |- ( ( B \ 1o ) C_ B -> U_ x e. ( B \ 1o ) ( A ^o x ) C_ U_ x e. B ( A ^o x ) )
7775, 76ax-mp 5 . . . . . . 7 |- U_ x e. ( B \ 1o ) ( A ^o x ) C_ U_ x e. B ( A ^o x )
78 oveq2 6658 . . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( A ^o x ) = ( A ^o y ) )
7978cbviunv 4559 . . . . . . 7 |- U_ x e. B ( A ^o x ) = U_ y e. B ( A ^o y )
8077, 79sseqtri 3637 . . . . . 6 |- U_ x e. ( B \ 1o ) ( A ^o x ) C_ U_ y e. B ( A ^o y )
8180a1i 11 . . . . 5 |- ( ( ( A e. On /\ Lim B ) /\ (/) e. A ) -> U_ x e. ( B \ 1o ) ( A ^o x ) C_ U_ y e. B ( A ^o y ) )
8274, 81eqssd 3620 . . . 4 |- ( ( ( A e. On /\ Lim B ) /\ (/) e. A ) -> U_ y e. B ( A ^o y ) = U_ x e. ( B \ 1o ) ( A ^o x ) )
8382adantlrl 756 . . 3 |- ( ( ( A e. On /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) /\ (/) e. A ) -> U_ y e. B ( A ^o y ) = U_ x e. ( B \ 1o ) ( A ^o x ) )
8443, 83eqtrd 2656 . 2 |- ( ( ( A e. On /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) /\ (/) e. A ) -> ( A ^o B ) = U_ x e. ( B \ 1o ) ( A ^o x ) )
8542, 84oe0lem 7593 1 |- ( ( A e. On /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) -> ( A ^o B ) = U_ x e. ( B \ 1o ) ( A ^o x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   \ cdif 3571   C_ wss 3574   (/)c0 3915   U_ciun 4520   Ord word 5722   Oncon0 5723   Lim wlim 5724   suc csuc 5725  (class class class)co 6650   1oc1o 7553   ^o coe 7559
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-oexp 7566
This theorem is referenced by:  oelimcl  7680  oaabs2  7725  omabs  7727
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