Theorem omass 7660

Description: Multiplication of ordinal numbers is associative. Theorem 8.26 of [TakeutiZaring] p. 65. (Contributed by NM, 28-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
omass	|- ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> ( ( A .o B ) .o C ) = ( A .o ( B .o C ) ) )

Proof of Theorem omass

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6658	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( ( A .o B ) .o x ) = ( ( A .o B ) .o (/) ) )
2		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( x = (/) -> ( B .o x ) = ( B .o (/) ) )
3	2	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( A .o ( B .o x ) ) = ( A .o ( B .o (/) ) ) )
4	1, 3	eqeq12d 2637	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( ( ( A .o B ) .o x ) = ( A .o ( B .o x ) ) <-> ( ( A .o B ) .o (/) ) = ( A .o ( B .o (/) ) ) ) )
5		oveq2 6658	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( ( A .o B ) .o x ) = ( ( A .o B ) .o y ) )
6		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( B .o x ) = ( B .o y ) )
7	6	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( A .o ( B .o x ) ) = ( A .o ( B .o y ) ) )
8	5, 7	eqeq12d 2637	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ( ( A .o B ) .o x ) = ( A .o ( B .o x ) ) <-> ( ( A .o B ) .o y ) = ( A .o ( B .o y ) ) ) )
9		oveq2 6658	. . . . . 6 |- ( x = suc y -> ( ( A .o B ) .o x ) = ( ( A .o B ) .o suc y ) )
10		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( x = suc y -> ( B .o x ) = ( B .o suc y ) )
11	10	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( x = suc y -> ( A .o ( B .o x ) ) = ( A .o ( B .o suc y ) ) )
12	9, 11	eqeq12d 2637	. . . . 5 |- ( x = suc y -> ( ( ( A .o B ) .o x ) = ( A .o ( B .o x ) ) <-> ( ( A .o B ) .o suc y ) = ( A .o ( B .o suc y ) ) ) )
13		oveq2 6658	. . . . . 6 |- ( x = C -> ( ( A .o B ) .o x ) = ( ( A .o B ) .o C ) )
14		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( x = C -> ( B .o x ) = ( B .o C ) )
15	14	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( x = C -> ( A .o ( B .o x ) ) = ( A .o ( B .o C ) ) )
16	13, 15	eqeq12d 2637	. . . . 5 |- ( x = C -> ( ( ( A .o B ) .o x ) = ( A .o ( B .o x ) ) <-> ( ( A .o B ) .o C ) = ( A .o ( B .o C ) ) ) )
17		omcl 7616	. . . . . . 7 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A .o B ) e. On )
18		om0 7597	. . . . . . 7 |- ( ( A .o B ) e. On -> ( ( A .o B ) .o (/) ) = (/) )
19	17, 18	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( ( A .o B ) .o (/) ) = (/) )
20		om0 7597	. . . . . . . 8 |- ( B e. On -> ( B .o (/) ) = (/) )
21	20	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( B e. On -> ( A .o ( B .o (/) ) ) = ( A .o (/) ) )
22		om0 7597	. . . . . . 7 |- ( A e. On -> ( A .o (/) ) = (/) )
23	21, 22	sylan9eqr 2678	. . . . . 6 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A .o ( B .o (/) ) ) = (/) )
24	19, 23	eqtr4d 2659	. . . . 5 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( ( A .o B ) .o (/) ) = ( A .o ( B .o (/) ) ) )
25		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A .o B ) .o y ) = ( A .o ( B .o y ) ) -> ( ( ( A .o B ) .o y ) +o ( A .o B ) ) = ( ( A .o ( B .o y ) ) +o ( A .o B ) ) )
26		omsuc 7606	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A .o B ) e. On /\ y e. On ) -> ( ( A .o B ) .o suc y ) = ( ( ( A .o B ) .o y ) +o ( A .o B ) ) )
27	17, 26	stoic3 1701	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ y e. On ) -> ( ( A .o B ) .o suc y ) = ( ( ( A .o B ) .o y ) +o ( A .o B ) ) )
28		omsuc 7606	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. On /\ y e. On ) -> ( B .o suc y ) = ( ( B .o y ) +o B ) )
29	28	3adant1 1079	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ y e. On ) -> ( B .o suc y ) = ( ( B .o y ) +o B ) )
30	29	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ y e. On ) -> ( A .o ( B .o suc y ) ) = ( A .o ( ( B .o y ) +o B ) ) )
31		omcl 7616	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( B e. On /\ y e. On ) -> ( B .o y ) e. On )
32		odi 7659	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. On /\ ( B .o y ) e. On /\ B e. On ) -> ( A .o ( ( B .o y ) +o B ) ) = ( ( A .o ( B .o y ) ) +o ( A .o B ) ) )
33	31, 32	syl3an2 1360	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. On /\ ( B e. On /\ y e. On ) /\ B e. On ) -> ( A .o ( ( B .o y ) +o B ) ) = ( ( A .o ( B .o y ) ) +o ( A .o B ) ) )
34	33	3exp 1264	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. On -> ( ( B e. On /\ y e. On ) -> ( B e. On -> ( A .o ( ( B .o y ) +o B ) ) = ( ( A .o ( B .o y ) ) +o ( A .o B ) ) ) ) )
35	34	expd 452	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. On -> ( B e. On -> ( y e. On -> ( B e. On -> ( A .o ( ( B .o y ) +o B ) ) = ( ( A .o ( B .o y ) ) +o ( A .o B ) ) ) ) ) )
36	35	com34 91	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. On -> ( B e. On -> ( B e. On -> ( y e. On -> ( A .o ( ( B .o y ) +o B ) ) = ( ( A .o ( B .o y ) ) +o ( A .o B ) ) ) ) ) )
37	36	pm2.43d 53	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. On -> ( B e. On -> ( y e. On -> ( A .o ( ( B .o y ) +o B ) ) = ( ( A .o ( B .o y ) ) +o ( A .o B ) ) ) ) )
38	37	3imp 1256	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ y e. On ) -> ( A .o ( ( B .o y ) +o B ) ) = ( ( A .o ( B .o y ) ) +o ( A .o B ) ) )
39	30, 38	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ y e. On ) -> ( A .o ( B .o suc y ) ) = ( ( A .o ( B .o y ) ) +o ( A .o B ) ) )
40	27, 39	eqeq12d 2637	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ y e. On ) -> ( ( ( A .o B ) .o suc y ) = ( A .o ( B .o suc y ) ) <-> ( ( ( A .o B ) .o y ) +o ( A .o B ) ) = ( ( A .o ( B .o y ) ) +o ( A .o B ) ) ) )
41	25, 40	syl5ibr 236	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ y e. On ) -> ( ( ( A .o B ) .o y ) = ( A .o ( B .o y ) ) -> ( ( A .o B ) .o suc y ) = ( A .o ( B .o suc y ) ) ) )
42	41	3exp 1264	. . . . . . 7 |- ( A e. On -> ( B e. On -> ( y e. On -> ( ( ( A .o B ) .o y ) = ( A .o ( B .o y ) ) -> ( ( A .o B ) .o suc y ) = ( A .o ( B .o suc y ) ) ) ) ) )
43	42	com3r 87	. . . . . 6 |- ( y e. On -> ( A e. On -> ( B e. On -> ( ( ( A .o B ) .o y ) = ( A .o ( B .o y ) ) -> ( ( A .o B ) .o suc y ) = ( A .o ( B .o suc y ) ) ) ) ) )
44	43	impd 447	. . . . 5 |- ( y e. On -> ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( ( ( A .o B ) .o y ) = ( A .o ( B .o y ) ) -> ( ( A .o B ) .o suc y ) = ( A .o ( B .o suc y ) ) ) ) )
45	17	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. On /\ A e. On ) -> ( A .o B ) e. On )
46		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- x e. _V
47		omlim 7613	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A .o B ) e. On /\ ( x e. _V /\ Lim x ) ) -> ( ( A .o B ) .o x ) = U_ y e. x ( ( A .o B ) .o y ) )
48	46, 47	mpanr1 719	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A .o B ) e. On /\ Lim x ) -> ( ( A .o B ) .o x ) = U_ y e. x ( ( A .o B ) .o y ) )
49	45, 48	sylan 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( B e. On /\ A e. On ) /\ Lim x ) -> ( ( A .o B ) .o x ) = U_ y e. x ( ( A .o B ) .o y ) )
50	49	an32s 846	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( B e. On /\ Lim x ) /\ A e. On ) -> ( ( A .o B ) .o x ) = U_ y e. x ( ( A .o B ) .o y ) )
51	50	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( B e. On /\ Lim x ) /\ A e. On ) /\ (/) e. B ) /\ A. y e. x ( ( A .o B ) .o y ) = ( A .o ( B .o y ) ) ) -> ( ( A .o B ) .o x ) = U_ y e. x ( ( A .o B ) .o y ) )
52		iuneq2 4537	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. y e. x ( ( A .o B ) .o y ) = ( A .o ( B .o y ) ) -> U_ y e. x ( ( A .o B ) .o y ) = U_ y e. x ( A .o ( B .o y ) ) )
53		limelon 5788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( x e. _V /\ Lim x ) -> x e. On )
54	46, 53	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( Lim x -> x e. On )
55	54	anim1i 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( Lim x /\ B e. On ) -> ( x e. On /\ B e. On ) )
56	55	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( B e. On /\ Lim x ) -> ( x e. On /\ B e. On ) )
57		omordi 7646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( x e. On /\ B e. On ) /\ (/) e. B ) -> ( y e. x -> ( B .o y ) e. ( B .o x ) ) )
58	56, 57	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( B e. On /\ Lim x ) /\ (/) e. B ) -> ( y e. x -> ( B .o y ) e. ( B .o x ) ) )
59		ssid 3624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A .o ( B .o y ) ) C_ ( A .o ( B .o y ) )
60		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( z = ( B .o y ) -> ( A .o z ) = ( A .o ( B .o y ) ) )
61	60	sseq2d 3633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z = ( B .o y ) -> ( ( A .o ( B .o y ) ) C_ ( A .o z ) <-> ( A .o ( B .o y ) ) C_ ( A .o ( B .o y ) ) ) )
62	61	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( B .o y ) e. ( B .o x ) /\ ( A .o ( B .o y ) ) C_ ( A .o ( B .o y ) ) ) -> E. z e. ( B .o x ) ( A .o ( B .o y ) ) C_ ( A .o z ) )
63	59, 62	mpan2 707	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( B .o y ) e. ( B .o x ) -> E. z e. ( B .o x ) ( A .o ( B .o y ) ) C_ ( A .o z ) )
64	58, 63	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( B e. On /\ Lim x ) /\ (/) e. B ) -> ( y e. x -> E. z e. ( B .o x ) ( A .o ( B .o y ) ) C_ ( A .o z ) ) )
65	64	ralrimiv 2965	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( B e. On /\ Lim x ) /\ (/) e. B ) -> A. y e. x E. z e. ( B .o x ) ( A .o ( B .o y ) ) C_ ( A .o z ) )
66		iunss2 4565	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. y e. x E. z e. ( B .o x ) ( A .o ( B .o y ) ) C_ ( A .o z ) -> U_ y e. x ( A .o ( B .o y ) ) C_ U_ z e. ( B .o x ) ( A .o z ) )
67	65, 66	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( B e. On /\ Lim x ) /\ (/) e. B ) -> U_ y e. x ( A .o ( B .o y ) ) C_ U_ z e. ( B .o x ) ( A .o z ) )
68	67	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( B e. On /\ Lim x ) /\ A e. On ) /\ (/) e. B ) -> U_ y e. x ( A .o ( B .o y ) ) C_ U_ z e. ( B .o x ) ( A .o z ) )
69		omcl 7616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( B e. On /\ x e. On ) -> ( B .o x ) e. On )
70	54, 69	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( B e. On /\ Lim x ) -> ( B .o x ) e. On )
71		onelon 5748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( B .o x ) e. On /\ z e. ( B .o x ) ) -> z e. On )
72	70, 71	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( B e. On /\ Lim x ) /\ z e. ( B .o x ) ) -> z e. On )
73	72	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( B e. On /\ Lim x ) /\ A e. On ) /\ z e. ( B .o x ) ) -> z e. On )
74		omordlim 7657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( B e. On /\ ( x e. _V /\ Lim x ) ) /\ z e. ( B .o x ) ) -> E. y e. x z e. ( B .o y ) )
75	74	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( B e. On /\ ( x e. _V /\ Lim x ) ) -> ( z e. ( B .o x ) -> E. y e. x z e. ( B .o y ) ) )
76	46, 75	mpanr1 719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( B e. On /\ Lim x ) -> ( z e. ( B .o x ) -> E. y e. x z e. ( B .o y ) ) )
77	76	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( z e. On /\ ( B e. On /\ Lim x ) ) /\ A e. On ) -> ( z e. ( B .o x ) -> E. y e. x z e. ( B .o y ) ) )
78		onelon 5748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( x e. On /\ y e. x ) -> y e. On )
79	54, 78	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( Lim x /\ y e. x ) -> y e. On )
80	79, 31	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( B e. On /\ ( Lim x /\ y e. x ) ) -> ( B .o y ) e. On )
81		onelss 5766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( B .o y ) e. On -> ( z e. ( B .o y ) -> z C_ ( B .o y ) ) )
82	81	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( z e. On /\ ( B .o y ) e. On /\ A e. On ) -> ( z e. ( B .o y ) -> z C_ ( B .o y ) ) )
83		omwordi 7651	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( z e. On /\ ( B .o y ) e. On /\ A e. On ) -> ( z C_ ( B .o y ) -> ( A .o z ) C_ ( A .o ( B .o y ) ) ) )
84	82, 83	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( z e. On /\ ( B .o y ) e. On /\ A e. On ) -> ( z e. ( B .o y ) -> ( A .o z ) C_ ( A .o ( B .o y ) ) ) )
85	84	3exp 1264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( z e. On -> ( ( B .o y ) e. On -> ( A e. On -> ( z e. ( B .o y ) -> ( A .o z ) C_ ( A .o ( B .o y ) ) ) ) ) )
86	80, 85	syl5 34	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( z e. On -> ( ( B e. On /\ ( Lim x /\ y e. x ) ) -> ( A e. On -> ( z e. ( B .o y ) -> ( A .o z ) C_ ( A .o ( B .o y ) ) ) ) ) )
87	86	exp4d 637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( z e. On -> ( B e. On -> ( Lim x -> ( y e. x -> ( A e. On -> ( z e. ( B .o y ) -> ( A .o z ) C_ ( A .o ( B .o y ) ) ) ) ) ) ) )
88	87	imp32 449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( z e. On /\ ( B e. On /\ Lim x ) ) -> ( y e. x -> ( A e. On -> ( z e. ( B .o y ) -> ( A .o z ) C_ ( A .o ( B .o y ) ) ) ) ) )
89	88	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( z e. On /\ ( B e. On /\ Lim x ) ) -> ( A e. On -> ( y e. x -> ( z e. ( B .o y ) -> ( A .o z ) C_ ( A .o ( B .o y ) ) ) ) ) )
90	89	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( z e. On /\ ( B e. On /\ Lim x ) ) /\ A e. On ) -> ( y e. x -> ( z e. ( B .o y ) -> ( A .o z ) C_ ( A .o ( B .o y ) ) ) ) )
91	90	reximdvai 3015	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( z e. On /\ ( B e. On /\ Lim x ) ) /\ A e. On ) -> ( E. y e. x z e. ( B .o y ) -> E. y e. x ( A .o z ) C_ ( A .o ( B .o y ) ) ) )
92	77, 91	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( z e. On /\ ( B e. On /\ Lim x ) ) /\ A e. On ) -> ( z e. ( B .o x ) -> E. y e. x ( A .o z ) C_ ( A .o ( B .o y ) ) ) )
93	92	exp31 630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z e. On -> ( ( B e. On /\ Lim x ) -> ( A e. On -> ( z e. ( B .o x ) -> E. y e. x ( A .o z ) C_ ( A .o ( B .o y ) ) ) ) ) )
94	93	imp4c 617	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. On -> ( ( ( ( B e. On /\ Lim x ) /\ A e. On ) /\ z e. ( B .o x ) ) -> E. y e. x ( A .o z ) C_ ( A .o ( B .o y ) ) ) )
95	73, 94	mpcom 38	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( B e. On /\ Lim x ) /\ A e. On ) /\ z e. ( B .o x ) ) -> E. y e. x ( A .o z ) C_ ( A .o ( B .o y ) ) )
96	95	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( B e. On /\ Lim x ) /\ A e. On ) -> A. z e. ( B .o x ) E. y e. x ( A .o z ) C_ ( A .o ( B .o y ) ) )
97		iunss2 4565	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. z e. ( B .o x ) E. y e. x ( A .o z ) C_ ( A .o ( B .o y ) ) -> U_ z e. ( B .o x ) ( A .o z ) C_ U_ y e. x ( A .o ( B .o y ) ) )
98	96, 97	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( B e. On /\ Lim x ) /\ A e. On ) -> U_ z e. ( B .o x ) ( A .o z ) C_ U_ y e. x ( A .o ( B .o y ) ) )
99	98	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( B e. On /\ Lim x ) /\ A e. On ) /\ (/) e. B ) -> U_ z e. ( B .o x ) ( A .o z ) C_ U_ y e. x ( A .o ( B .o y ) ) )
100	68, 99	eqssd 3620	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( B e. On /\ Lim x ) /\ A e. On ) /\ (/) e. B ) -> U_ y e. x ( A .o ( B .o y ) ) = U_ z e. ( B .o x ) ( A .o z ) )
101		omlimcl 7658	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( B e. On /\ ( x e. _V /\ Lim x ) ) /\ (/) e. B ) -> Lim ( B .o x ) )
102	46, 101	mpanlr1 722	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( B e. On /\ Lim x ) /\ (/) e. B ) -> Lim ( B .o x ) )
103		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( B .o x ) e. _V
104		omlim 7613	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. On /\ ( ( B .o x ) e. _V /\ Lim ( B .o x ) ) ) -> ( A .o ( B .o x ) ) = U_ z e. ( B .o x ) ( A .o z ) )
105	103, 104	mpanr1 719	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. On /\ Lim ( B .o x ) ) -> ( A .o ( B .o x ) ) = U_ z e. ( B .o x ) ( A .o z ) )
106	102, 105	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. On /\ ( ( B e. On /\ Lim x ) /\ (/) e. B ) ) -> ( A .o ( B .o x ) ) = U_ z e. ( B .o x ) ( A .o z ) )
107	106	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( B e. On /\ Lim x ) /\ (/) e. B ) /\ A e. On ) -> ( A .o ( B .o x ) ) = U_ z e. ( B .o x ) ( A .o z ) )
108	107	an32s 846	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( B e. On /\ Lim x ) /\ A e. On ) /\ (/) e. B ) -> ( A .o ( B .o x ) ) = U_ z e. ( B .o x ) ( A .o z ) )
109	100, 108	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( B e. On /\ Lim x ) /\ A e. On ) /\ (/) e. B ) -> U_ y e. x ( A .o ( B .o y ) ) = ( A .o ( B .o x ) ) )
110	52, 109	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( B e. On /\ Lim x ) /\ A e. On ) /\ (/) e. B ) /\ A. y e. x ( ( A .o B ) .o y ) = ( A .o ( B .o y ) ) ) -> U_ y e. x ( ( A .o B ) .o y ) = ( A .o ( B .o x ) ) )
111	51, 110	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( B e. On /\ Lim x ) /\ A e. On ) /\ (/) e. B ) /\ A. y e. x ( ( A .o B ) .o y ) = ( A .o ( B .o y ) ) ) -> ( ( A .o B ) .o x ) = ( A .o ( B .o x ) ) )
112	111	exp31 630	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B e. On /\ Lim x ) /\ A e. On ) -> ( (/) e. B -> ( A. y e. x ( ( A .o B ) .o y ) = ( A .o ( B .o y ) ) -> ( ( A .o B ) .o x ) = ( A .o ( B .o x ) ) ) ) )
113		eloni 5733	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. On -> Ord B )
114		ord0eln0 5779	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Ord B -> ( (/) e. B <-> B =/= (/) ) )
115	114	necon2bbid 2837	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Ord B -> ( B = (/) <-> -. (/) e. B ) )
116	113, 115	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. On -> ( B = (/) <-> -. (/) e. B ) )
117	116	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B e. On /\ Lim x ) /\ A e. On ) -> ( B = (/) <-> -. (/) e. B ) )
118		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( B = (/) -> ( A .o B ) = ( A .o (/) ) )
119	118, 22	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. On /\ B = (/) ) -> ( A .o B ) = (/) )
120	119	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. On /\ B = (/) ) -> ( ( A .o B ) .o x ) = ( (/) .o x ) )
121		om0r 7619	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. On -> ( (/) .o x ) = (/) )
122	120, 121	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. On /\ ( A e. On /\ B = (/) ) ) -> ( ( A .o B ) .o x ) = (/) )
123	122	anassrs 680	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. On /\ A e. On ) /\ B = (/) ) -> ( ( A .o B ) .o x ) = (/) )
124		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( B = (/) -> ( B .o x ) = ( (/) .o x ) )
125	124, 121	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. On /\ B = (/) ) -> ( B .o x ) = (/) )
126	125	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. On /\ B = (/) ) -> ( A .o ( B .o x ) ) = ( A .o (/) ) )
127	126, 22	sylan9eq 2676	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( x e. On /\ B = (/) ) /\ A e. On ) -> ( A .o ( B .o x ) ) = (/) )
128	127	an32s 846	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. On /\ A e. On ) /\ B = (/) ) -> ( A .o ( B .o x ) ) = (/) )
129	123, 128	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. On /\ A e. On ) /\ B = (/) ) -> ( ( A .o B ) .o x ) = ( A .o ( B .o x ) ) )
130	129	ex 450	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. On /\ A e. On ) -> ( B = (/) -> ( ( A .o B ) .o x ) = ( A .o ( B .o x ) ) ) )
131	54, 130	sylan 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Lim x /\ A e. On ) -> ( B = (/) -> ( ( A .o B ) .o x ) = ( A .o ( B .o x ) ) ) )
132	131	adantll 750	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B e. On /\ Lim x ) /\ A e. On ) -> ( B = (/) -> ( ( A .o B ) .o x ) = ( A .o ( B .o x ) ) ) )
133	117, 132	sylbird 250	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B e. On /\ Lim x ) /\ A e. On ) -> ( -. (/) e. B -> ( ( A .o B ) .o x ) = ( A .o ( B .o x ) ) ) )
134	133	a1dd 50	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B e. On /\ Lim x ) /\ A e. On ) -> ( -. (/) e. B -> ( A. y e. x ( ( A .o B ) .o y ) = ( A .o ( B .o y ) ) -> ( ( A .o B ) .o x ) = ( A .o ( B .o x ) ) ) ) )
135	112, 134	pm2.61d 170	. . . . . . . 8 |- ( ( ( B e. On /\ Lim x ) /\ A e. On ) -> ( A. y e. x ( ( A .o B ) .o y ) = ( A .o ( B .o y ) ) -> ( ( A .o B ) .o x ) = ( A .o ( B .o x ) ) ) )
136	135	exp31 630	. . . . . . 7 |- ( B e. On -> ( Lim x -> ( A e. On -> ( A. y e. x ( ( A .o B ) .o y ) = ( A .o ( B .o y ) ) -> ( ( A .o B ) .o x ) = ( A .o ( B .o x ) ) ) ) ) )
137	136	com3l 89	. . . . . 6 |- ( Lim x -> ( A e. On -> ( B e. On -> ( A. y e. x ( ( A .o B ) .o y ) = ( A .o ( B .o y ) ) -> ( ( A .o B ) .o x ) = ( A .o ( B .o x ) ) ) ) ) )
138	137	impd 447	. . . . 5 |- ( Lim x -> ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A. y e. x ( ( A .o B ) .o y ) = ( A .o ( B .o y ) ) -> ( ( A .o B ) .o x ) = ( A .o ( B .o x ) ) ) ) )
139	4, 8, 12, 16, 24, 44, 138	tfinds3 7064	. . . 4 |- ( C e. On -> ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( ( A .o B ) .o C ) = ( A .o ( B .o C ) ) ) )
140	139	expd 452	. . 3 |- ( C e. On -> ( A e. On -> ( B e. On -> ( ( A .o B ) .o C ) = ( A .o ( B .o C ) ) ) ) )
141	140	com3l 89	. 2 |- ( A e. On -> ( B e. On -> ( C e. On -> ( ( A .o B ) .o C ) = ( A .o ( B .o C ) ) ) ) )
142	141	3imp 1256	1 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> ( ( A .o B ) .o C ) = ( A .o ( B .o C ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   U_ciun 4520   Ord word 5722   Oncon0 5723   Lim wlim 5724   suc csuc 5725  (class class class)co 6650   +o coa 7557   .o comu 7558

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-omul 7565

This theorem is referenced by:  oeoalem  7676  omabs  7727