Theorem omlimcl 7658

Description: The product of any nonzero ordinal with a limit ordinal is a limit ordinal. Proposition 8.24 of [TakeutiZaring] p. 64. (Contributed by NM, 25-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
omlimcl	|- ( ( ( A e. On /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) /\ (/) e. A ) -> Lim ( A .o B ) )

Proof of Theorem omlimcl

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limelon 5788	. . . 4 |- ( ( B e. C /\ Lim B ) -> B e. On )
2		omcl 7616	. . . . 5 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( A .o B ) e. On )
3		eloni 5733	. . . . 5 |- ( ( A .o B ) e. On -> Ord ( A .o B ) )
4	2, 3	syl 17	. . . 4 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> Ord ( A .o B ) )
5	1, 4	sylan2 491	. . 3 |- ( ( A e. On /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) -> Ord ( A .o B ) )
6	5	adantr 481	. 2 |- ( ( ( A e. On /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) /\ (/) e. A ) -> Ord ( A .o B ) )
7		0ellim 5787	. . . . . . . 8 |- ( Lim B -> (/) e. B )
8		n0i 3920	. . . . . . . 8 |- ( (/) e. B -> -. B = (/) )
9	7, 8	syl 17	. . . . . . 7 |- ( Lim B -> -. B = (/) )
10		n0i 3920	. . . . . . 7 |- ( (/) e. A -> -. A = (/) )
11	9, 10	anim12ci 591	. . . . . 6 |- ( ( Lim B /\ (/) e. A ) -> ( -. A = (/) /\ -. B = (/) ) )
12	11	adantll 750	. . . . 5 |- ( ( ( B e. C /\ Lim B ) /\ (/) e. A ) -> ( -. A = (/) /\ -. B = (/) ) )
13	12	adantll 750	. . . 4 |- ( ( ( A e. On /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) /\ (/) e. A ) -> ( -. A = (/) /\ -. B = (/) ) )
14		om00 7655	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( ( A .o B ) = (/) <-> ( A = (/) \/ B = (/) ) ) )
15	14	notbid 308	. . . . . . 7 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( -. ( A .o B ) = (/) <-> -. ( A = (/) \/ B = (/) ) ) )
16		ioran 511	. . . . . . 7 |- ( -. ( A = (/) \/ B = (/) ) <-> ( -. A = (/) /\ -. B = (/) ) )
17	15, 16	syl6bb 276	. . . . . 6 |- ( ( A e. On /\ B e. On ) -> ( -. ( A .o B ) = (/) <-> ( -. A = (/) /\ -. B = (/) ) ) )
18	1, 17	sylan2 491	. . . . 5 |- ( ( A e. On /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) -> ( -. ( A .o B ) = (/) <-> ( -. A = (/) /\ -. B = (/) ) ) )
19	18	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( A e. On /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) /\ (/) e. A ) -> ( -. ( A .o B ) = (/) <-> ( -. A = (/) /\ -. B = (/) ) ) )
20	13, 19	mpbird 247	. . 3 |- ( ( ( A e. On /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) /\ (/) e. A ) -> -. ( A .o B ) = (/) )
21		vex 3203	. . . . . . . . . . 11 |- y e. _V
22	21	sucid 5804	. . . . . . . . . 10 |- y e. suc y
23		omlim 7613	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. On /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) -> ( A .o B ) = U_ x e. B ( A .o x ) )
24		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A .o B ) = suc y -> ( ( A .o B ) = U_ x e. B ( A .o x ) <-> suc y = U_ x e. B ( A .o x ) ) )
25	24	biimpac 503	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A .o B ) = U_ x e. B ( A .o x ) /\ ( A .o B ) = suc y ) -> suc y = U_ x e. B ( A .o x ) )
26	23, 25	sylan 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. On /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) /\ ( A .o B ) = suc y ) -> suc y = U_ x e. B ( A .o x ) )
27	22, 26	syl5eleq 2707	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. On /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) /\ ( A .o B ) = suc y ) -> y e. U_ x e. B ( A .o x ) )
28		eliun 4524	. . . . . . . . 9 |- ( y e. U_ x e. B ( A .o x ) <-> E. x e. B y e. ( A .o x ) )
29	27, 28	sylib 208	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. On /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) /\ ( A .o B ) = suc y ) -> E. x e. B y e. ( A .o x ) )
30	29	adantlr 751	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. On /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) /\ (/) e. A ) /\ ( A .o B ) = suc y ) -> E. x e. B y e. ( A .o x ) )
31		onelon 5748	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( B e. On /\ x e. B ) -> x e. On )
32	1, 31	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( B e. C /\ Lim B ) /\ x e. B ) -> x e. On )
33		onnbtwn 5818	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. On -> -. ( x e. B /\ B e. suc x ) )
34		imnan 438	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. B -> -. B e. suc x ) <-> -. ( x e. B /\ B e. suc x ) )
35	33, 34	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. On -> ( x e. B -> -. B e. suc x ) )
36	35	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. B -> ( x e. On -> -. B e. suc x ) )
37	36	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( B e. C /\ Lim B ) /\ x e. B ) -> ( x e. On -> -. B e. suc x ) )
38	32, 37	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( B e. C /\ Lim B ) /\ x e. B ) -> -. B e. suc x )
39	38	adantll 750	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. On /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) /\ x e. B ) -> -. B e. suc x )
40	39	adantlr 751	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. On /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) /\ (/) e. A ) /\ x e. B ) -> -. B e. suc x )
41	40	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. On /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) /\ (/) e. A ) /\ x e. B ) /\ y e. ( A .o x ) ) -> -. B e. suc x )
42		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( B e. On /\ x e. B ) -> B e. On )
43	42, 31	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( B e. On /\ x e. B ) -> ( B e. On /\ x e. On ) )
44	1, 43	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( B e. C /\ Lim B ) /\ x e. B ) -> ( B e. On /\ x e. On ) )
45	44	anim2i 593	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. On /\ ( ( B e. C /\ Lim B ) /\ x e. B ) ) -> ( A e. On /\ ( B e. On /\ x e. On ) ) )
46	45	anassrs 680	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. On /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) /\ x e. B ) -> ( A e. On /\ ( B e. On /\ x e. On ) ) )
47		omcl 7616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( A e. On /\ x e. On ) -> ( A .o x ) e. On )
48		eloni 5733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( A .o x ) e. On -> Ord ( A .o x ) )
49		ordsucelsuc 7022	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( Ord ( A .o x ) -> ( y e. ( A .o x ) <-> suc y e. suc ( A .o x ) ) )
50	48, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( A .o x ) e. On -> ( y e. ( A .o x ) <-> suc y e. suc ( A .o x ) ) )
51		oa1suc 7611	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( A .o x ) e. On -> ( ( A .o x ) +o 1o ) = suc ( A .o x ) )
52	51	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( A .o x ) e. On -> ( suc y e. ( ( A .o x ) +o 1o ) <-> suc y e. suc ( A .o x ) ) )
53	50, 52	bitr4d 271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( A .o x ) e. On -> ( y e. ( A .o x ) <-> suc y e. ( ( A .o x ) +o 1o ) ) )
54	47, 53	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A e. On /\ x e. On ) -> ( y e. ( A .o x ) <-> suc y e. ( ( A .o x ) +o 1o ) ) )
55	54	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A e. On /\ x e. On ) /\ (/) e. A ) -> ( y e. ( A .o x ) <-> suc y e. ( ( A .o x ) +o 1o ) ) )
56		eloni 5733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( A e. On -> Ord A )
57		ordgt0ge1 7577	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( Ord A -> ( (/) e. A <-> 1o C_ A ) )
58	56, 57	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( A e. On -> ( (/) e. A <-> 1o C_ A ) )
59	58	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( A e. On /\ x e. On ) -> ( (/) e. A <-> 1o C_ A ) )
60		1on 7567	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- 1o e. On
61		oaword 7629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( 1o e. On /\ A e. On /\ ( A .o x ) e. On ) -> ( 1o C_ A <-> ( ( A .o x ) +o 1o ) C_ ( ( A .o x ) +o A ) ) )
62	60, 61	mp3an1 1411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( A e. On /\ ( A .o x ) e. On ) -> ( 1o C_ A <-> ( ( A .o x ) +o 1o ) C_ ( ( A .o x ) +o A ) ) )
63	47, 62	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( A e. On /\ x e. On ) -> ( 1o C_ A <-> ( ( A .o x ) +o 1o ) C_ ( ( A .o x ) +o A ) ) )
64	59, 63	bitrd 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( A e. On /\ x e. On ) -> ( (/) e. A <-> ( ( A .o x ) +o 1o ) C_ ( ( A .o x ) +o A ) ) )
65	64	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( A e. On /\ x e. On ) /\ (/) e. A ) -> ( ( A .o x ) +o 1o ) C_ ( ( A .o x ) +o A ) )
66		omsuc 7606	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( A e. On /\ x e. On ) -> ( A .o suc x ) = ( ( A .o x ) +o A ) )
67	66	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( A e. On /\ x e. On ) /\ (/) e. A ) -> ( A .o suc x ) = ( ( A .o x ) +o A ) )
68	65, 67	sseqtr4d 3642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( A e. On /\ x e. On ) /\ (/) e. A ) -> ( ( A .o x ) +o 1o ) C_ ( A .o suc x ) )
69	68	sseld 3602	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A e. On /\ x e. On ) /\ (/) e. A ) -> ( suc y e. ( ( A .o x ) +o 1o ) -> suc y e. ( A .o suc x ) ) )
70	55, 69	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. On /\ x e. On ) /\ (/) e. A ) -> ( y e. ( A .o x ) -> suc y e. ( A .o suc x ) ) )
71		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A .o B ) = suc y -> ( ( A .o B ) e. ( A .o suc x ) <-> suc y e. ( A .o suc x ) ) )
72	71	biimprd 238	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A .o B ) = suc y -> ( suc y e. ( A .o suc x ) -> ( A .o B ) e. ( A .o suc x ) ) )
73	70, 72	syl9 77	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. On /\ x e. On ) /\ (/) e. A ) -> ( ( A .o B ) = suc y -> ( y e. ( A .o x ) -> ( A .o B ) e. ( A .o suc x ) ) ) )
74	73	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. On /\ x e. On ) /\ (/) e. A ) -> ( y e. ( A .o x ) -> ( ( A .o B ) = suc y -> ( A .o B ) e. ( A .o suc x ) ) ) )
75	74	adantlrl 756	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. On /\ ( B e. On /\ x e. On ) ) /\ (/) e. A ) -> ( y e. ( A .o x ) -> ( ( A .o B ) = suc y -> ( A .o B ) e. ( A .o suc x ) ) ) )
76		sucelon 7017	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. On <-> suc x e. On )
77		omord 7648	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( B e. On /\ suc x e. On /\ A e. On ) -> ( ( B e. suc x /\ (/) e. A ) <-> ( A .o B ) e. ( A .o suc x ) ) )
78		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( B e. suc x /\ (/) e. A ) -> B e. suc x )
79	77, 78	syl6bir 244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( B e. On /\ suc x e. On /\ A e. On ) -> ( ( A .o B ) e. ( A .o suc x ) -> B e. suc x ) )
80	76, 79	syl3an2b 1363	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( B e. On /\ x e. On /\ A e. On ) -> ( ( A .o B ) e. ( A .o suc x ) -> B e. suc x ) )
81	80	3comr 1273	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. On /\ B e. On /\ x e. On ) -> ( ( A .o B ) e. ( A .o suc x ) -> B e. suc x ) )
82	81	3expb 1266	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. On /\ ( B e. On /\ x e. On ) ) -> ( ( A .o B ) e. ( A .o suc x ) -> B e. suc x ) )
83	82	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. On /\ ( B e. On /\ x e. On ) ) /\ (/) e. A ) -> ( ( A .o B ) e. ( A .o suc x ) -> B e. suc x ) )
84	75, 83	syl6d 75	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. On /\ ( B e. On /\ x e. On ) ) /\ (/) e. A ) -> ( y e. ( A .o x ) -> ( ( A .o B ) = suc y -> B e. suc x ) ) )
85	46, 84	sylan 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. On /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) /\ x e. B ) /\ (/) e. A ) -> ( y e. ( A .o x ) -> ( ( A .o B ) = suc y -> B e. suc x ) ) )
86	85	an32s 846	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. On /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) /\ (/) e. A ) /\ x e. B ) -> ( y e. ( A .o x ) -> ( ( A .o B ) = suc y -> B e. suc x ) ) )
87	86	imp 445	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. On /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) /\ (/) e. A ) /\ x e. B ) /\ y e. ( A .o x ) ) -> ( ( A .o B ) = suc y -> B e. suc x ) )
88	41, 87	mtod 189	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. On /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) /\ (/) e. A ) /\ x e. B ) /\ y e. ( A .o x ) ) -> -. ( A .o B ) = suc y )
89	88	exp31 630	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. On /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) /\ (/) e. A ) -> ( x e. B -> ( y e. ( A .o x ) -> -. ( A .o B ) = suc y ) ) )
90	89	rexlimdv 3030	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. On /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) /\ (/) e. A ) -> ( E. x e. B y e. ( A .o x ) -> -. ( A .o B ) = suc y ) )
91	90	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. On /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) /\ (/) e. A ) /\ ( A .o B ) = suc y ) -> ( E. x e. B y e. ( A .o x ) -> -. ( A .o B ) = suc y ) )
92	30, 91	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. On /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) /\ (/) e. A ) /\ ( A .o B ) = suc y ) -> -. ( A .o B ) = suc y )
93	92	pm2.01da 458	. . . . 5 |- ( ( ( A e. On /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) /\ (/) e. A ) -> -. ( A .o B ) = suc y )
94	93	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. On /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) /\ (/) e. A ) /\ y e. On ) -> -. ( A .o B ) = suc y )
95	94	nrexdv 3001	. . 3 |- ( ( ( A e. On /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) /\ (/) e. A ) -> -. E. y e. On ( A .o B ) = suc y )
96		ioran 511	. . 3 |- ( -. ( ( A .o B ) = (/) \/ E. y e. On ( A .o B ) = suc y ) <-> ( -. ( A .o B ) = (/) /\ -. E. y e. On ( A .o B ) = suc y ) )
97	20, 95, 96	sylanbrc 698	. 2 |- ( ( ( A e. On /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) /\ (/) e. A ) -> -. ( ( A .o B ) = (/) \/ E. y e. On ( A .o B ) = suc y ) )
98		dflim3 7047	. 2 |- ( Lim ( A .o B ) <-> ( Ord ( A .o B ) /\ -. ( ( A .o B ) = (/) \/ E. y e. On ( A .o B ) = suc y ) ) )
99	6, 97, 98	sylanbrc 698	1 |- ( ( ( A e. On /\ ( B e. C /\ Lim B ) ) /\ (/) e. A ) -> Lim ( A .o B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   C_ wss 3574   (/)c0 3915   U_ciun 4520   Ord word 5722   Oncon0 5723   Lim wlim 5724   suc csuc 5725  (class class class)co 6650   1oc1o 7553   +o coa 7557   .o comu 7558

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-omul 7565

This theorem is referenced by:  odi  7659  omass  7660