Theorem ssfii 8325

Description: Any element of a set A is the intersection of a finite subset of A. (Contributed by FL, 27-Apr-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ssfii	|- ( A e. V -> A C_ ( fi ` A ) )

Proof of Theorem ssfii

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3203	. . . . 5 |- x e. _V
2	1	intsn 4513	. . . 4 |- |^| { x } = x
3		simpl 473	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ x e. A ) -> A e. V )
4		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ x e. A ) -> x e. A )
5	4	snssd 4340	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ x e. A ) -> { x } C_ A )
6	1	snnz 4309	. . . . . 6 |- { x } =/= (/)
7	6	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ x e. A ) -> { x } =/= (/) )
8		snfi 8038	. . . . . 6 |- { x } e. Fin
9	8	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ x e. A ) -> { x } e. Fin )
10		elfir 8321	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ ( { x } C_ A /\ { x } =/= (/) /\ { x } e. Fin ) ) -> |^| { x } e. ( fi ` A ) )
11	3, 5, 7, 9, 10	syl13anc 1328	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ x e. A ) -> |^| { x } e. ( fi ` A ) )
12	2, 11	syl5eqelr 2706	. . 3 |- ( ( A e. V /\ x e. A ) -> x e. ( fi ` A ) )
13	12	ex 450	. 2 |- ( A e. V -> ( x e. A -> x e. ( fi ` A ) ) )
14	13	ssrdv 3609	1 |- ( A e. V -> A C_ ( fi ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   e. wcel 1990   =/= wne 2794   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   |^|cint 4475   ` cfv 5888   Fincfn 7955   ficfi 8316

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-1o 7560  df-en 7956  df-fin 7959  df-fi 8317

This theorem is referenced by:  fieq0  8327  dffi2  8329  inficl  8331  fiuni  8334  dffi3  8337  inffien  8886  fictb  9067  ordtbas2  20995  ordtbas  20996  ordtopn1  20998  ordtopn2  20999  leordtval2  21016  subbascn  21058  2ndcsb  21252  ptbasfi  21384  xkoopn  21392  fsubbas  21671  fbunfip  21673  isufil2  21712  ufileu  21723  filufint  21724  fmfnfmlem4  21761  fmfnfm  21762  hausflim  21785  flimclslem  21788  fclsfnflim  21831  flimfnfcls  21832  fclscmp  21834  alexsubb  21850  alexsubALTlem4  21854  ordtconnlem1  29970  topjoin  32360