Theorem p1evtxdeq 26409

Description: If an edge E which does not contain vertex U is added to a graph G (yielding a graph F), the degree of U is the same in both graphs. (Contributed by AV, 2-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
p1evtxdeq.v	|- V = (Vtx ` G )
p1evtxdeq.i	|- I = (iEdg ` G )
p1evtxdeq.f	|- ( ph -> Fun I )
p1evtxdeq.fv	|- ( ph -> (Vtx ` F ) = V )
p1evtxdeq.fi	|- ( ph -> (iEdg ` F ) = ( I u. { <. K , E >. } ) )
p1evtxdeq.k	|- ( ph -> K e. X )
p1evtxdeq.d	|- ( ph -> K e/ dom I )
p1evtxdeq.u	|- ( ph -> U e. V )
p1evtxdeq.e	|- ( ph -> E e. Y )
p1evtxdeq.n	|- ( ph -> U e/ E )

Assertion

Ref	Expression
p1evtxdeq	|- ( ph -> ( (VtxDeg ` F ) ` U ) = ( (VtxDeg ` G ) ` U ) )

Proof of Theorem p1evtxdeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		p1evtxdeq.v	. . 3 |- V = (Vtx ` G )
2		p1evtxdeq.i	. . 3 |- I = (iEdg ` G )
3		p1evtxdeq.f	. . 3 |- ( ph -> Fun I )
4		p1evtxdeq.fv	. . 3 |- ( ph -> (Vtx ` F ) = V )
5		p1evtxdeq.fi	. . 3 |- ( ph -> (iEdg ` F ) = ( I u. { <. K , E >. } ) )
6		p1evtxdeq.k	. . 3 |- ( ph -> K e. X )
7		p1evtxdeq.d	. . 3 |- ( ph -> K e/ dom I )
8		p1evtxdeq.u	. . 3 |- ( ph -> U e. V )
9		p1evtxdeq.e	. . 3 |- ( ph -> E e. Y )
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	p1evtxdeqlem 26408	. 2 |- ( ph -> ( (VtxDeg ` F ) ` U ) = ( ( (VtxDeg ` G ) ` U ) +e ( (VtxDeg ` <. V , { <. K , E >. } >. ) ` U ) ) )
11		fvex 6201	. . . . . . 7 |- (Vtx ` G ) e. _V
12	1, 11	eqeltri 2697	. . . . . 6 |- V e. _V
13		snex 4908	. . . . . 6 |- { <. K , E >. } e. _V
14	12, 13	pm3.2i 471	. . . . 5 |- ( V e. _V /\ { <. K , E >. } e. _V )
15		opiedgfv 25887	. . . . 5 |- ( ( V e. _V /\ { <. K , E >. } e. _V ) -> (iEdg ` <. V , { <. K , E >. } >. ) = { <. K , E >. } )
16	14, 15	mp1i 13	. . . 4 |- ( ph -> (iEdg ` <. V , { <. K , E >. } >. ) = { <. K , E >. } )
17		opvtxfv 25884	. . . . 5 |- ( ( V e. _V /\ { <. K , E >. } e. _V ) -> (Vtx ` <. V , { <. K , E >. } >. ) = V )
18	14, 17	mp1i 13	. . . 4 |- ( ph -> (Vtx ` <. V , { <. K , E >. } >. ) = V )
19		p1evtxdeq.n	. . . 4 |- ( ph -> U e/ E )
20	16, 18, 6, 8, 9, 19	1hevtxdg0 26401	. . 3 |- ( ph -> ( (VtxDeg ` <. V , { <. K , E >. } >. ) ` U ) = 0 )
21	20	oveq2d 6666	. 2 |- ( ph -> ( ( (VtxDeg ` G ) ` U ) +e ( (VtxDeg ` <. V , { <. K , E >. } >. ) ` U ) ) = ( ( (VtxDeg ` G ) ` U ) +e 0 ) )
22	1	vtxdgelxnn0 26368	. . . 4 |- ( U e. V -> ( (VtxDeg ` G ) ` U ) e. NN0* )
23		xnn0xr 11368	. . . 4 |- ( ( (VtxDeg ` G ) ` U ) e. NN0* -> ( (VtxDeg ` G ) ` U ) e. RR* )
24	8, 22, 23	3syl 18	. . 3 |- ( ph -> ( (VtxDeg ` G ) ` U ) e. RR* )
25	24	xaddid1d 12074	. 2 |- ( ph -> ( ( (VtxDeg ` G ) ` U ) +e 0 ) = ( (VtxDeg ` G ) ` U ) )
26	10, 21, 25	3eqtrd 2660	1 |- ( ph -> ( (VtxDeg ` F ) ` U ) = ( (VtxDeg ` G ) ` U ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   e/ wnel 2897   _Vcvv 3200   u. cun 3572   {csn 4177   <.cop 4183   dom cdm 5114   Fun wfun 5882   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   RR*cxr 10073  NN0*cxnn0 11363   +ecxad 11944  Vtxcvtx 25874  iEdgciedg 25875  VtxDegcvtxdg 26361

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-xadd 11947  df-fz 12327  df-hash 13118  df-vtx 25876  df-iedg 25877  df-vtxdg 26362

This theorem is referenced by:  vdegp1ai  26432