Theorem 1hevtxdg0 26401

Description: The vertex degree of vertex D in a graph G with only one hyperedge E is 0 if D is not incident with the edge E. (Contributed by AV, 2-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
1hevtxdg0.i	|- ( ph -> (iEdg ` G ) = { <. A , E >. } )
1hevtxdg0.v	|- ( ph -> (Vtx ` G ) = V )
1hevtxdg0.a	|- ( ph -> A e. X )
1hevtxdg0.d	|- ( ph -> D e. V )
1hevtxdg0.e	|- ( ph -> E e. Y )
1hevtxdg0.n	|- ( ph -> D e/ E )

Assertion

Ref	Expression
1hevtxdg0	|- ( ph -> ( (VtxDeg ` G ) ` D ) = 0 )

Proof of Theorem 1hevtxdg0

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1hevtxdg0.n	. . . . . . 7 |- ( ph -> D e/ E )
2		df-nel 2898	. . . . . . 7 |- ( D e/ E <-> -. D e. E )
3	1, 2	sylib 208	. . . . . 6 |- ( ph -> -. D e. E )
4		1hevtxdg0.i	. . . . . . . 8 |- ( ph -> (iEdg ` G ) = { <. A , E >. } )
5	4	fveq1d 6193	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( (iEdg ` G ) ` A ) = ( { <. A , E >. } ` A ) )
6		1hevtxdg0.a	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. X )
7		1hevtxdg0.e	. . . . . . . 8 |- ( ph -> E e. Y )
8		fvsng 6447	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. X /\ E e. Y ) -> ( { <. A , E >. } ` A ) = E )
9	6, 7, 8	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( { <. A , E >. } ` A ) = E )
10	5, 9	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ph -> ( (iEdg ` G ) ` A ) = E )
11	3, 10	neleqtrrd 2723	. . . . 5 |- ( ph -> -. D e. ( (iEdg ` G ) ` A ) )
12		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( x = A -> ( (iEdg ` G ) ` x ) = ( (iEdg ` G ) ` A ) )
13	12	eleq2d 2687	. . . . . . . 8 |- ( x = A -> ( D e. ( (iEdg ` G ) ` x ) <-> D e. ( (iEdg ` G ) ` A ) ) )
14	13	notbid 308	. . . . . . 7 |- ( x = A -> ( -. D e. ( (iEdg ` G ) ` x ) <-> -. D e. ( (iEdg ` G ) ` A ) ) )
15	14	ralsng 4218	. . . . . 6 |- ( A e. X -> ( A. x e. { A } -. D e. ( (iEdg ` G ) ` x ) <-> -. D e. ( (iEdg ` G ) ` A ) ) )
16	6, 15	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. x e. { A } -. D e. ( (iEdg ` G ) ` x ) <-> -. D e. ( (iEdg ` G ) ` A ) ) )
17	11, 16	mpbird 247	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. { A } -. D e. ( (iEdg ` G ) ` x ) )
18	4	dmeqd 5326	. . . . . 6 |- ( ph -> dom (iEdg ` G ) = dom { <. A , E >. } )
19		dmsnopg 5606	. . . . . . 7 |- ( E e. Y -> dom { <. A , E >. } = { A } )
20	7, 19	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> dom { <. A , E >. } = { A } )
21	18, 20	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ph -> dom (iEdg ` G ) = { A } )
22	21	raleqdv 3144	. . . 4 |- ( ph -> ( A. x e. dom (iEdg ` G ) -. D e. ( (iEdg ` G ) ` x ) <-> A. x e. { A } -. D e. ( (iEdg ` G ) ` x ) ) )
23	17, 22	mpbird 247	. . 3 |- ( ph -> A. x e. dom (iEdg ` G ) -. D e. ( (iEdg ` G ) ` x ) )
24		ralnex 2992	. . 3 |- ( A. x e. dom (iEdg ` G ) -. D e. ( (iEdg ` G ) ` x ) <-> -. E. x e. dom (iEdg ` G ) D e. ( (iEdg ` G ) ` x ) )
25	23, 24	sylib 208	. 2 |- ( ph -> -. E. x e. dom (iEdg ` G ) D e. ( (iEdg ` G ) ` x ) )
26		1hevtxdg0.d	. . . 4 |- ( ph -> D e. V )
27		1hevtxdg0.v	. . . . 5 |- ( ph -> (Vtx ` G ) = V )
28	27	eleq2d 2687	. . . 4 |- ( ph -> ( D e. (Vtx ` G ) <-> D e. V ) )
29	26, 28	mpbird 247	. . 3 |- ( ph -> D e. (Vtx ` G ) )
30		eqid 2622	. . . 4 |- (Vtx ` G ) = (Vtx ` G )
31		eqid 2622	. . . 4 |- (iEdg ` G ) = (iEdg ` G )
32		eqid 2622	. . . 4 |- (VtxDeg ` G ) = (VtxDeg ` G )
33	30, 31, 32	vtxd0nedgb 26384	. . 3 |- ( D e. (Vtx ` G ) -> ( ( (VtxDeg ` G ) ` D ) = 0 <-> -. E. x e. dom (iEdg ` G ) D e. ( (iEdg ` G ) ` x ) ) )
34	29, 33	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( ( (VtxDeg ` G ) ` D ) = 0 <-> -. E. x e. dom (iEdg ` G ) D e. ( (iEdg ` G ) ` x ) ) )
35	25, 34	mpbird 247	1 |- ( ph -> ( (VtxDeg ` G ) ` D ) = 0 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   = wceq 1483   e. wcel 1990   e/ wnel 2897   A.wral 2912   E.wrex 2913   {csn 4177   <.cop 4183   dom cdm 5114   ` cfv 5888   0cc0 9936  Vtxcvtx 25874  iEdgciedg 25875  VtxDegcvtxdg 26361

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-xadd 11947  df-fz 12327  df-hash 13118  df-vtxdg 26362

This theorem is referenced by:  p1evtxdeq  26409  eupth2lem3lem6  27093