Theorem pfxccat3a 41429

Description: A prefix of a concatenation is either a prefix of the first concatenated word or a concatenation of the first word with a prefix of the second word. Could replace swrdccat3a 13494. (Contributed by AV, 10-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
pfxccatin12.l	|- L = ( # ` A )
pfxccatpfx2.m	|- M = ( # ` B )

Assertion

Ref	Expression
pfxccat3a	|- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) -> ( N e. ( 0 ... ( L + M ) ) -> ( ( A ++ B ) prefix N ) = if ( N <_ L , ( A prefix N ) , ( A ++ ( B prefix ( N - L ) ) ) ) ) )

Proof of Theorem pfxccat3a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 794	. . . . . 6 |- ( ( N <_ L /\ ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( 0 ... ( L + M ) ) ) ) -> ( A e. Word V /\ B e. Word V ) )
2		elfznn0 12433	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( 0 ... ( L + M ) ) -> N e. NN0 )
3	2	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( 0 ... ( L + M ) ) ) -> N e. NN0 )
4	3	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( N <_ L /\ ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( 0 ... ( L + M ) ) ) ) -> N e. NN0 )
5		pfxccatin12.l	. . . . . . . . . . 11 |- L = ( # ` A )
6		lencl 13324	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. Word V -> ( # ` A ) e. NN0 )
7	5, 6	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. Word V -> L e. NN0 )
8	7	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) -> L e. NN0 )
9	8	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( 0 ... ( L + M ) ) ) -> L e. NN0 )
10	9	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( N <_ L /\ ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( 0 ... ( L + M ) ) ) ) -> L e. NN0 )
11		simpl 473	. . . . . . 7 |- ( ( N <_ L /\ ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( 0 ... ( L + M ) ) ) ) -> N <_ L )
12		elfz2nn0 12431	. . . . . . 7 |- ( N e. ( 0 ... L ) <-> ( N e. NN0 /\ L e. NN0 /\ N <_ L ) )
13	4, 10, 11, 12	syl3anbrc 1246	. . . . . 6 |- ( ( N <_ L /\ ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( 0 ... ( L + M ) ) ) ) -> N e. ( 0 ... L ) )
14		df-3an 1039	. . . . . 6 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ N e. ( 0 ... L ) ) <-> ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( 0 ... L ) ) )
15	1, 13, 14	sylanbrc 698	. . . . 5 |- ( ( N <_ L /\ ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( 0 ... ( L + M ) ) ) ) -> ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ N e. ( 0 ... L ) ) )
16	5	pfxccatpfx1 41427	. . . . 5 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ N e. ( 0 ... L ) ) -> ( ( A ++ B ) prefix N ) = ( A prefix N ) )
17	15, 16	syl 17	. . . 4 |- ( ( N <_ L /\ ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( 0 ... ( L + M ) ) ) ) -> ( ( A ++ B ) prefix N ) = ( A prefix N ) )
18		iftrue 4092	. . . . 5 |- ( N <_ L -> if ( N <_ L , ( A prefix N ) , ( A ++ ( B prefix ( N - L ) ) ) ) = ( A prefix N ) )
19	18	adantr 481	. . . 4 |- ( ( N <_ L /\ ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( 0 ... ( L + M ) ) ) ) -> if ( N <_ L , ( A prefix N ) , ( A ++ ( B prefix ( N - L ) ) ) ) = ( A prefix N ) )
20	17, 19	eqtr4d 2659	. . 3 |- ( ( N <_ L /\ ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( 0 ... ( L + M ) ) ) ) -> ( ( A ++ B ) prefix N ) = if ( N <_ L , ( A prefix N ) , ( A ++ ( B prefix ( N - L ) ) ) ) )
21		simprl 794	. . . . . 6 |- ( ( -. N <_ L /\ ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( 0 ... ( L + M ) ) ) ) -> ( A e. Word V /\ B e. Word V ) )
22		elfz2nn0 12431	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( 0 ... ( L + M ) ) <-> ( N e. NN0 /\ ( L + M ) e. NN0 /\ N <_ ( L + M ) ) )
23	5	eleq1i 2692	. . . . . . . . . . . 12 |- ( L e. NN0 <-> ( # ` A ) e. NN0 )
24		nn0ltp1le 11435	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( L e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( L < N <-> ( L + 1 ) <_ N ) )
25		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( L e. NN0 -> L e. RR )
26		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
27		ltnle 10117	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( L e. RR /\ N e. RR ) -> ( L < N <-> -. N <_ L ) )
28	25, 26, 27	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( L e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( L < N <-> -. N <_ L ) )
29	24, 28	bitr3d 270	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( L e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( L + 1 ) <_ N <-> -. N <_ L ) )
30	29	3ad2antr1 1226	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( L e. NN0 /\ ( N e. NN0 /\ ( L + M ) e. NN0 /\ N <_ ( L + M ) ) ) -> ( ( L + 1 ) <_ N <-> -. N <_ L ) )
31		simpr3 1069	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( L e. NN0 /\ ( N e. NN0 /\ ( L + M ) e. NN0 /\ N <_ ( L + M ) ) ) -> N <_ ( L + M ) )
32	31	anim1i 592	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( L e. NN0 /\ ( N e. NN0 /\ ( L + M ) e. NN0 /\ N <_ ( L + M ) ) ) /\ ( L + 1 ) <_ N ) -> ( N <_ ( L + M ) /\ ( L + 1 ) <_ N ) )
33	32	ancomd 467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( L e. NN0 /\ ( N e. NN0 /\ ( L + M ) e. NN0 /\ N <_ ( L + M ) ) ) /\ ( L + 1 ) <_ N ) -> ( ( L + 1 ) <_ N /\ N <_ ( L + M ) ) )
34		nn0z 11400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
35	34	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. NN0 /\ ( L + M ) e. NN0 /\ N <_ ( L + M ) ) -> N e. ZZ )
36	35	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( L e. NN0 /\ ( N e. NN0 /\ ( L + M ) e. NN0 /\ N <_ ( L + M ) ) ) -> N e. ZZ )
37	36	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( L e. NN0 /\ ( N e. NN0 /\ ( L + M ) e. NN0 /\ N <_ ( L + M ) ) ) /\ ( L + 1 ) <_ N ) -> N e. ZZ )
38		peano2nn0 11333	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( L e. NN0 -> ( L + 1 ) e. NN0 )
39	38	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( L e. NN0 -> ( L + 1 ) e. ZZ )
40	39	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( L e. NN0 /\ ( N e. NN0 /\ ( L + M ) e. NN0 /\ N <_ ( L + M ) ) ) -> ( L + 1 ) e. ZZ )
41	40	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( L e. NN0 /\ ( N e. NN0 /\ ( L + M ) e. NN0 /\ N <_ ( L + M ) ) ) /\ ( L + 1 ) <_ N ) -> ( L + 1 ) e. ZZ )
42		nn0z 11400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( L + M ) e. NN0 -> ( L + M ) e. ZZ )
43	42	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. NN0 /\ ( L + M ) e. NN0 /\ N <_ ( L + M ) ) -> ( L + M ) e. ZZ )
44	43	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( L e. NN0 /\ ( N e. NN0 /\ ( L + M ) e. NN0 /\ N <_ ( L + M ) ) ) -> ( L + M ) e. ZZ )
45	44	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( L e. NN0 /\ ( N e. NN0 /\ ( L + M ) e. NN0 /\ N <_ ( L + M ) ) ) /\ ( L + 1 ) <_ N ) -> ( L + M ) e. ZZ )
46		elfz 12332	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. ZZ /\ ( L + 1 ) e. ZZ /\ ( L + M ) e. ZZ ) -> ( N e. ( ( L + 1 ) ... ( L + M ) ) <-> ( ( L + 1 ) <_ N /\ N <_ ( L + M ) ) ) )
47	37, 41, 45, 46	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( L e. NN0 /\ ( N e. NN0 /\ ( L + M ) e. NN0 /\ N <_ ( L + M ) ) ) /\ ( L + 1 ) <_ N ) -> ( N e. ( ( L + 1 ) ... ( L + M ) ) <-> ( ( L + 1 ) <_ N /\ N <_ ( L + M ) ) ) )
48	33, 47	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( L e. NN0 /\ ( N e. NN0 /\ ( L + M ) e. NN0 /\ N <_ ( L + M ) ) ) /\ ( L + 1 ) <_ N ) -> N e. ( ( L + 1 ) ... ( L + M ) ) )
49	48	ex 450	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( L e. NN0 /\ ( N e. NN0 /\ ( L + M ) e. NN0 /\ N <_ ( L + M ) ) ) -> ( ( L + 1 ) <_ N -> N e. ( ( L + 1 ) ... ( L + M ) ) ) )
50	30, 49	sylbird 250	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( L e. NN0 /\ ( N e. NN0 /\ ( L + M ) e. NN0 /\ N <_ ( L + M ) ) ) -> ( -. N <_ L -> N e. ( ( L + 1 ) ... ( L + M ) ) ) )
51	50	ex 450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( L e. NN0 -> ( ( N e. NN0 /\ ( L + M ) e. NN0 /\ N <_ ( L + M ) ) -> ( -. N <_ L -> N e. ( ( L + 1 ) ... ( L + M ) ) ) ) )
52	23, 51	sylbir 225	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( # ` A ) e. NN0 -> ( ( N e. NN0 /\ ( L + M ) e. NN0 /\ N <_ ( L + M ) ) -> ( -. N <_ L -> N e. ( ( L + 1 ) ... ( L + M ) ) ) ) )
53	6, 52	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. Word V -> ( ( N e. NN0 /\ ( L + M ) e. NN0 /\ N <_ ( L + M ) ) -> ( -. N <_ L -> N e. ( ( L + 1 ) ... ( L + M ) ) ) ) )
54	53	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) -> ( ( N e. NN0 /\ ( L + M ) e. NN0 /\ N <_ ( L + M ) ) -> ( -. N <_ L -> N e. ( ( L + 1 ) ... ( L + M ) ) ) ) )
55	22, 54	syl5bi 232	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) -> ( N e. ( 0 ... ( L + M ) ) -> ( -. N <_ L -> N e. ( ( L + 1 ) ... ( L + M ) ) ) ) )
56	55	imp 445	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( 0 ... ( L + M ) ) ) -> ( -. N <_ L -> N e. ( ( L + 1 ) ... ( L + M ) ) ) )
57	56	impcom 446	. . . . . 6 |- ( ( -. N <_ L /\ ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( 0 ... ( L + M ) ) ) ) -> N e. ( ( L + 1 ) ... ( L + M ) ) )
58		df-3an 1039	. . . . . 6 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ N e. ( ( L + 1 ) ... ( L + M ) ) ) <-> ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( ( L + 1 ) ... ( L + M ) ) ) )
59	21, 57, 58	sylanbrc 698	. . . . 5 |- ( ( -. N <_ L /\ ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( 0 ... ( L + M ) ) ) ) -> ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ N e. ( ( L + 1 ) ... ( L + M ) ) ) )
60		pfxccatpfx2.m	. . . . . 6 |- M = ( # ` B )
61	5, 60	pfxccatpfx2 41428	. . . . 5 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V /\ N e. ( ( L + 1 ) ... ( L + M ) ) ) -> ( ( A ++ B ) prefix N ) = ( A ++ ( B prefix ( N - L ) ) ) )
62	59, 61	syl 17	. . . 4 |- ( ( -. N <_ L /\ ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( 0 ... ( L + M ) ) ) ) -> ( ( A ++ B ) prefix N ) = ( A ++ ( B prefix ( N - L ) ) ) )
63		iffalse 4095	. . . . 5 |- ( -. N <_ L -> if ( N <_ L , ( A prefix N ) , ( A ++ ( B prefix ( N - L ) ) ) ) = ( A ++ ( B prefix ( N - L ) ) ) )
64	63	adantr 481	. . . 4 |- ( ( -. N <_ L /\ ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( 0 ... ( L + M ) ) ) ) -> if ( N <_ L , ( A prefix N ) , ( A ++ ( B prefix ( N - L ) ) ) ) = ( A ++ ( B prefix ( N - L ) ) ) )
65	62, 64	eqtr4d 2659	. . 3 |- ( ( -. N <_ L /\ ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( 0 ... ( L + M ) ) ) ) -> ( ( A ++ B ) prefix N ) = if ( N <_ L , ( A prefix N ) , ( A ++ ( B prefix ( N - L ) ) ) ) )
66	20, 65	pm2.61ian 831	. 2 |- ( ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) /\ N e. ( 0 ... ( L + M ) ) ) -> ( ( A ++ B ) prefix N ) = if ( N <_ L , ( A prefix N ) , ( A ++ ( B prefix ( N - L ) ) ) ) )
67	66	ex 450	1 |- ( ( A e. Word V /\ B e. Word V ) -> ( N e. ( 0 ... ( L + M ) ) -> ( ( A ++ B ) prefix N ) = if ( N <_ L , ( A prefix N ) , ( A ++ ( B prefix ( N - L ) ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   ifcif 4086   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ...cfz 12326   #chash 13117  Word cword 13291   ++ cconcat 13293   prefix cpfx 41381

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301  df-substr 13303  df-pfx 41382

This theorem is referenced by: (None)