Theorem elfz 12332

Description: Membership in a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 29-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
elfz	|- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M ... N ) <-> ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )

Proof of Theorem elfz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz1 12331	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M ... N ) <-> ( K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N ) ) )
2		3anass 1042	. . . . 5 |- ( ( K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N ) <-> ( K e. ZZ /\ ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
3	2	baib 944	. . . 4 |- ( K e. ZZ -> ( ( K e. ZZ /\ M <_ K /\ K <_ N ) <-> ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
4	1, 3	sylan9bb 736	. . 3 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K e. ZZ ) -> ( K e. ( M ... N ) <-> ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
5	4	3impa 1259	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( K e. ( M ... N ) <-> ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )
6	5	3comr 1273	1 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( M ... N ) <-> ( M <_ K /\ K <_ N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   e. wcel 1990   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   <_ cle 10075   ZZcz 11377   ...cfz 12326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-neg 10269  df-z 11378  df-fz 12327

This theorem is referenced by:  elfz5  12334  fzadd2  12376  fznatpl1  12395  fzrev  12403  fzctr  12451  elfzo  12472  seqf1olem1  12840  bcval5  13105  isprm3  15396  hashdvds  15480  eulerthlem2  15487  prmreclem5  15624  aannenlem1  24083  basellem3  24809  chtub  24937  bcmono  25002  bposlem1  25009  lgseisenlem1  25100  lgsquadlem1  25105  2lgslem1a  25116  axlowdimlem3  25824  axlowdimlem7  25828  axlowdimlem16  25837  axlowdimlem17  25838  axlowdim  25841  submateqlem1  29873  lmatfvlem  29881  bcneg1  31622  poimirlem15  33424  poimirlem24  33433  poimirlem28  33437  mblfinlem2  33447  itg2addnclem2  33462  fzmul  33537  cntotbnd  33595  fzsplit1nn0  37317  irrapxlem3  37388  pellexlem5  37397  acongrep  37547  fzneg  37549  jm2.23  37563  fmul01  39812  fmuldfeq  39815  stoweidlem26  40243  fourierdlem11  40335  fourierdlem12  40336  fourierdlem15  40339  fourierdlem79  40402  smfmullem4  41001  pfxccat3a  41429