Theorem phssip 20003

Description: The inner product (as a function) on a subspace is a restriction of the inner product (as a function) on the parent space. (Contributed by NM, 28-Jan-2008.) (Revised by AV, 19-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
phssip.x	|- X = ( W ↾s U )
phssip.s	|- S = ( LSubSp ` W )
phssip.i	|- .x. = ( .if ` W )
phssip.p	|- P = ( .if ` X )

Assertion

Ref	Expression
phssip	|- ( ( W e. PreHil /\ U e. S ) -> P = ( .x. |` ( U X. U ) ) )

Proof of Theorem phssip

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . . 4 |- ( Base ` X ) = ( Base ` X )
2		eqid 2622	. . . 4 |- ( .i ` X ) = ( .i ` X )
3		phssip.p	. . . 4 |- P = ( .if ` X )
4	1, 2, 3	ipffval 19993	. . 3 |- P = ( x e. ( Base ` X ) , y e. ( Base ` X ) |-> ( x ( .i ` X ) y ) )
5		phllmod 19975	. . . . . . 7 |- ( W e. PreHil -> W e. LMod )
6		phssip.s	. . . . . . . 8 |- S = ( LSubSp ` W )
7	6	lsssubg 18957	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ U e. S ) -> U e. (SubGrp ` W ) )
8	5, 7	sylan 488	. . . . . 6 |- ( ( W e. PreHil /\ U e. S ) -> U e. (SubGrp ` W ) )
9		phssip.x	. . . . . . 7 |- X = ( W ↾s U )
10	9	subgbas 17598	. . . . . 6 |- ( U e. (SubGrp ` W ) -> U = ( Base ` X ) )
11	8, 10	syl 17	. . . . 5 |- ( ( W e. PreHil /\ U e. S ) -> U = ( Base ` X ) )
12		eqidd 2623	. . . . 5 |- ( ( W e. PreHil /\ U e. S ) -> ( x ( .i ` W ) y ) = ( x ( .i ` W ) y ) )
13	11, 11, 12	mpt2eq123dv 6717	. . . 4 |- ( ( W e. PreHil /\ U e. S ) -> ( x e. U , y e. U |-> ( x ( .i ` W ) y ) ) = ( x e. ( Base ` X ) , y e. ( Base ` X ) |-> ( x ( .i ` W ) y ) ) )
14		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
15	14	subgss 17595	. . . . . 6 |- ( U e. (SubGrp ` W ) -> U C_ ( Base ` W ) )
16	8, 15	syl 17	. . . . 5 |- ( ( W e. PreHil /\ U e. S ) -> U C_ ( Base ` W ) )
17		resmpt2 6758	. . . . 5 |- ( ( U C_ ( Base ` W ) /\ U C_ ( Base ` W ) ) -> ( ( x e. ( Base ` W ) , y e. ( Base ` W ) |-> ( x ( .i ` W ) y ) ) |` ( U X. U ) ) = ( x e. U , y e. U |-> ( x ( .i ` W ) y ) ) )
18	16, 16, 17	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( W e. PreHil /\ U e. S ) -> ( ( x e. ( Base ` W ) , y e. ( Base ` W ) |-> ( x ( .i ` W ) y ) ) |` ( U X. U ) ) = ( x e. U , y e. U |-> ( x ( .i ` W ) y ) ) )
19		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( .i ` W ) = ( .i ` W )
20	9, 19, 2	ssipeq 20001	. . . . . . 7 |- ( U e. S -> ( .i ` X ) = ( .i ` W ) )
21	20	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( W e. PreHil /\ U e. S ) -> ( .i ` X ) = ( .i ` W ) )
22	21	oveqd 6667	. . . . 5 |- ( ( W e. PreHil /\ U e. S ) -> ( x ( .i ` X ) y ) = ( x ( .i ` W ) y ) )
23	22	mpt2eq3dv 6721	. . . 4 |- ( ( W e. PreHil /\ U e. S ) -> ( x e. ( Base ` X ) , y e. ( Base ` X ) |-> ( x ( .i ` X ) y ) ) = ( x e. ( Base ` X ) , y e. ( Base ` X ) |-> ( x ( .i ` W ) y ) ) )
24	13, 18, 23	3eqtr4rd 2667	. . 3 |- ( ( W e. PreHil /\ U e. S ) -> ( x e. ( Base ` X ) , y e. ( Base ` X ) |-> ( x ( .i ` X ) y ) ) = ( ( x e. ( Base ` W ) , y e. ( Base ` W ) |-> ( x ( .i ` W ) y ) ) |` ( U X. U ) ) )
25	4, 24	syl5eq 2668	. 2 |- ( ( W e. PreHil /\ U e. S ) -> P = ( ( x e. ( Base ` W ) , y e. ( Base ` W ) |-> ( x ( .i ` W ) y ) ) |` ( U X. U ) ) )
26		phssip.i	. . . . 5 |- .x. = ( .if ` W )
27	14, 19, 26	ipffval 19993	. . . 4 |- .x. = ( x e. ( Base ` W ) , y e. ( Base ` W ) |-> ( x ( .i ` W ) y ) )
28	27	a1i 11	. . 3 |- ( ( W e. PreHil /\ U e. S ) -> .x. = ( x e. ( Base ` W ) , y e. ( Base ` W ) |-> ( x ( .i ` W ) y ) ) )
29	28	reseq1d 5395	. 2 |- ( ( W e. PreHil /\ U e. S ) -> ( .x. |` ( U X. U ) ) = ( ( x e. ( Base ` W ) , y e. ( Base ` W ) |-> ( x ( .i ` W ) y ) ) |` ( U X. U ) ) )
30	25, 29	eqtr4d 2659	1 |- ( ( W e. PreHil /\ U e. S ) -> P = ( .x. |` ( U X. U ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   C_ wss 3574   X. cxp 5112   |` cres 5116   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   Basecbs 15857   ↾_s cress 15858   .icip 15946  SubGrpcsubg 17588   LModclmod 18863   LSubSpclss 18932   PreHilcphl 19969   .ifcipf 19970

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-ip 15959  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-subg 17591  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lvec 19103  df-phl 19971  df-ipf 19972

This theorem is referenced by: (None)