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Theorem ply1mulgsumlem2 42175
Description: Lemma 2 for ply1mulgsum 42178. (Contributed by AV, 19-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1mulgsum.p |- P = (Poly1 ` R )
ply1mulgsum.b |- B = ( Base ` P )
ply1mulgsum.a |- A = (coe1 ` K )
ply1mulgsum.c |- C = (coe1 ` L )
ply1mulgsum.x |- X = (var1 ` R )
ply1mulgsum.pm |- .X. = ( .r ` P )
ply1mulgsum.sm |- .x. = ( .s ` P )
ply1mulgsum.rm |- .* = ( .r ` R )
ply1mulgsum.m |- M = (mulGrp ` P )
ply1mulgsum.e |- .^ = (.g ` M )
Assertion
Ref Expression
ply1mulgsumlem2 |- ( ( R e. Ring /\ K e. B /\ L e. B ) -> E. s e. NN0 A. n e. NN0 ( s < n -> ( R gsumg ( l e. ( 0 ... n ) |-> ( ( A ` l ) .* ( C ` ( n - l ) ) ) ) ) = ( 0g ` R ) ) )
Distinct variable groups:   A, n, s   B, n, s   C, n, s   n, K, s   n, L, s   R, n, s   A, l, n   B, l   C, l   K, l   L, l   R, l, s   .* , s
Allowed substitution hints:   P( n, s, l)   .x. ( n, s, l)   .X. ( n, s, l)   .^ ( n, s, l)   .* ( n, l)   M( n, s, l)   X( n, s, l)
Proof of Theorem ply1mulgsumlem2
Dummy variables x z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ply1mulgsum.p . . 3 |- P = (Poly1 ` R )
2 ply1mulgsum.b . . 3 |- B = ( Base ` P )
3 ply1mulgsum.a . . 3 |- A = (coe1 ` K )
4 ply1mulgsum.c . . 3 |- C = (coe1 ` L )
5 ply1mulgsum.x . . 3 |- X = (var1 ` R )
6 ply1mulgsum.pm . . 3 |- .X. = ( .r ` P )
7 ply1mulgsum.sm . . 3 |- .x. = ( .s ` P )
8 ply1mulgsum.rm . . 3 |- .* = ( .r ` R )
9 ply1mulgsum.m . . 3 |- M = (mulGrp ` P )
10 ply1mulgsum.e . . 3 |- .^ = (.g ` M )
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10ply1mulgsumlem1 42174 . 2 |- ( ( R e. Ring /\ K e. B /\ L e. B ) -> E. z e. NN0 A. x e. NN0 ( z < x -> ( ( A ` x ) = ( 0g ` R ) /\ ( C ` x ) = ( 0g ` R ) ) ) )
12 2nn0 11309 . . . . . . . 8 |- 2 e. NN0
1312a1i 11 . . . . . . 7 |- ( z e. NN0 -> 2 e. NN0 )
14 id 22 . . . . . . 7 |- ( z e. NN0 -> z e. NN0 )
1513, 14nn0mulcld 11356 . . . . . 6 |- ( z e. NN0 -> ( 2 x. z ) e. NN0 )
1615ad2antrr 762 . . . . 5 |- ( ( ( z e. NN0 /\ A. x e. NN0 ( z < x -> ( ( A ` x ) = ( 0g ` R ) /\ ( C ` x ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( R e. Ring /\ K e. B /\ L e. B ) ) -> ( 2 x. z ) e. NN0 )
17 breq1 4656 . . . . . . . 8 |- ( s = ( 2 x. z ) -> ( s < n <-> ( 2 x. z ) < n ) )
1817imbi1d 331 . . . . . . 7 |- ( s = ( 2 x. z ) -> ( ( s < n -> ( R gsumg ( l e. ( 0 ... n ) |-> ( ( A ` l ) .* ( C ` ( n - l ) ) ) ) ) = ( 0g ` R ) ) <-> ( ( 2 x. z ) < n -> ( R gsumg ( l e. ( 0 ... n ) |-> ( ( A ` l ) .* ( C ` ( n - l ) ) ) ) ) = ( 0g ` R ) ) ) )
1918ralbidv 2986 . . . . . 6 |- ( s = ( 2 x. z ) -> ( A. n e. NN0 ( s < n -> ( R gsumg ( l e. ( 0 ... n ) |-> ( ( A ` l ) .* ( C ` ( n - l ) ) ) ) ) = ( 0g ` R ) ) <-> A. n e. NN0 ( ( 2 x. z ) < n -> ( R gsumg ( l e. ( 0 ... n ) |-> ( ( A ` l ) .* ( C ` ( n - l ) ) ) ) ) = ( 0g ` R ) ) ) )
2019adantl 482 . . . . 5 |- ( ( ( ( z e. NN0 /\ A. x e. NN0 ( z < x -> ( ( A ` x ) = ( 0g ` R ) /\ ( C ` x ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( R e. Ring /\ K e. B /\ L e. B ) ) /\ s = ( 2 x. z ) ) -> ( A. n e. NN0 ( s < n -> ( R gsumg ( l e. ( 0 ... n ) |-> ( ( A ` l ) .* ( C ` ( n - l ) ) ) ) ) = ( 0g ` R ) ) <-> A. n e. NN0 ( ( 2 x. z ) < n -> ( R gsumg ( l e. ( 0 ... n ) |-> ( ( A ` l ) .* ( C ` ( n - l ) ) ) ) ) = ( 0g ` R ) ) ) )
21 2re 11090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- 2 e. RR
2221a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( z e. NN0 -> 2 e. RR )
23 nn0re 11301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( z e. NN0 -> z e. RR )
2422, 23remulcld 10070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( z e. NN0 -> ( 2 x. z ) e. RR )
2524ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( z e. NN0 /\ n e. NN0 ) /\ l e. ( 0 ... n ) ) -> ( 2 x. z ) e. RR )
26 nn0re 11301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( n e. NN0 -> n e. RR )
2726adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( z e. NN0 /\ n e. NN0 ) -> n e. RR )
2827adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( z e. NN0 /\ n e. NN0 ) /\ l e. ( 0 ... n ) ) -> n e. RR )
29 elfznn0 12433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( l e. ( 0 ... n ) -> l e. NN0 )
30 nn0re 11301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( l e. NN0 -> l e. RR )
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( l e. ( 0 ... n ) -> l e. RR )
3231adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( z e. NN0 /\ n e. NN0 ) /\ l e. ( 0 ... n ) ) -> l e. RR )
3325, 28, 32ltsub1d 10636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( z e. NN0 /\ n e. NN0 ) /\ l e. ( 0 ... n ) ) -> ( ( 2 x. z ) < n <-> ( ( 2 x. z ) - l ) < ( n - l ) ) )
3423ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( z e. NN0 /\ n e. NN0 ) /\ l e. ( 0 ... n ) ) -> z e. RR )
3532, 34, 25lesub2d 10635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( z e. NN0 /\ n e. NN0 ) /\ l e. ( 0 ... n ) ) -> ( l <_ z <-> ( ( 2 x. z ) - z ) <_ ( ( 2 x. z ) - l ) ) )
3635adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( z e. NN0 /\ n e. NN0 ) /\ l e. ( 0 ... n ) ) /\ ( ( 2 x. z ) - l ) < ( n - l ) ) -> ( l <_ z <-> ( ( 2 x. z ) - z ) <_ ( ( 2 x. z ) - l ) ) )
3724, 23resubcld 10458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( z e. NN0 -> ( ( 2 x. z ) - z ) e. RR )
3837ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( z e. NN0 /\ n e. NN0 ) /\ l e. ( 0 ... n ) ) -> ( ( 2 x. z ) - z ) e. RR )
3924adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( z e. NN0 /\ n e. NN0 ) -> ( 2 x. z ) e. RR )
40 resubcl 10345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( 2 x. z ) e. RR /\ l e. RR ) -> ( ( 2 x. z ) - l ) e. RR )
4139, 31, 40syl2an 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( z e. NN0 /\ n e. NN0 ) /\ l e. ( 0 ... n ) ) -> ( ( 2 x. z ) - l ) e. RR )
42 resubcl 10345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( n e. RR /\ l e. RR ) -> ( n - l ) e. RR )
4327, 31, 42syl2an 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( z e. NN0 /\ n e. NN0 ) /\ l e. ( 0 ... n ) ) -> ( n - l ) e. RR )
44 lelttr 10128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( 2 x. z ) - z ) e. RR /\ ( ( 2 x. z ) - l ) e. RR /\ ( n - l ) e. RR ) -> ( ( ( ( 2 x. z ) - z ) <_ ( ( 2 x. z ) - l ) /\ ( ( 2 x. z ) - l ) < ( n - l ) ) -> ( ( 2 x. z ) - z ) < ( n - l ) ) )
4538, 41, 43, 44syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( z e. NN0 /\ n e. NN0 ) /\ l e. ( 0 ... n ) ) -> ( ( ( ( 2 x. z ) - z ) <_ ( ( 2 x. z ) - l ) /\ ( ( 2 x. z ) - l ) < ( n - l ) ) -> ( ( 2 x. z ) - z ) < ( n - l ) ) )
46 nn0cn 11302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( z e. NN0 -> z e. CC )
47 2txmxeqx 11149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( z e. CC -> ( ( 2 x. z ) - z ) = z )
4846, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( z e. NN0 -> ( ( 2 x. z ) - z ) = z )
4948ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( z e. NN0 /\ n e. NN0 ) /\ l e. ( 0 ... n ) ) -> ( ( 2 x. z ) - z ) = z )
5049breq1d 4663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( z e. NN0 /\ n e. NN0 ) /\ l e. ( 0 ... n ) ) -> ( ( ( 2 x. z ) - z ) < ( n - l ) <-> z < ( n - l ) ) )
5145, 50sylibd 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( z e. NN0 /\ n e. NN0 ) /\ l e. ( 0 ... n ) ) -> ( ( ( ( 2 x. z ) - z ) <_ ( ( 2 x. z ) - l ) /\ ( ( 2 x. z ) - l ) < ( n - l ) ) -> z < ( n - l ) ) )
5251expcomd 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( z e. NN0 /\ n e. NN0 ) /\ l e. ( 0 ... n ) ) -> ( ( ( 2 x. z ) - l ) < ( n - l ) -> ( ( ( 2 x. z ) - z ) <_ ( ( 2 x. z ) - l ) -> z < ( n - l ) ) ) )
5352imp 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( z e. NN0 /\ n e. NN0 ) /\ l e. ( 0 ... n ) ) /\ ( ( 2 x. z ) - l ) < ( n - l ) ) -> ( ( ( 2 x. z ) - z ) <_ ( ( 2 x. z ) - l ) -> z < ( n - l ) ) )
5436, 53sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( z e. NN0 /\ n e. NN0 ) /\ l e. ( 0 ... n ) ) /\ ( ( 2 x. z ) - l ) < ( n - l ) ) -> ( l <_ z -> z < ( n - l ) ) )
5554ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( z e. NN0 /\ n e. NN0 ) /\ l e. ( 0 ... n ) ) -> ( ( ( 2 x. z ) - l ) < ( n - l ) -> ( l <_ z -> z < ( n - l ) ) ) )
5633, 55sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( z e. NN0 /\ n e. NN0 ) /\ l e. ( 0 ... n ) ) -> ( ( 2 x. z ) < n -> ( l <_ z -> z < ( n - l ) ) ) )
5756ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( z e. NN0 /\ n e. NN0 ) -> ( l e. ( 0 ... n ) -> ( ( 2 x. z ) < n -> ( l <_ z -> z < ( n - l ) ) ) ) )
5857com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( z e. NN0 /\ n e. NN0 ) -> ( ( 2 x. z ) < n -> ( l e. ( 0 ... n ) -> ( l <_ z -> z < ( n - l ) ) ) ) )
5958ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z e. NN0 -> ( n e. NN0 -> ( ( 2 x. z ) < n -> ( l e. ( 0 ... n ) -> ( l <_ z -> z < ( n - l ) ) ) ) ) )
6059ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( z e. NN0 /\ A. x e. NN0 ( z < x -> ( ( A ` x ) = ( 0g ` R ) /\ ( C ` x ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( R e. Ring /\ K e. B /\ L e. B ) ) -> ( n e. NN0 -> ( ( 2 x. z ) < n -> ( l e. ( 0 ... n ) -> ( l <_ z -> z < ( n - l ) ) ) ) ) )
6160imp41 619 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( z e. NN0 /\ A. x e. NN0 ( z < x -> ( ( A ` x ) = ( 0g ` R ) /\ ( C ` x ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( R e. Ring /\ K e. B /\ L e. B ) ) /\ n e. NN0 ) /\ ( 2 x. z ) < n ) /\ l e. ( 0 ... n ) ) -> ( l <_ z -> z < ( n - l ) ) )
6261impcom 446 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( l <_ z /\ ( ( ( ( ( z e. NN0 /\ A. x e. NN0 ( z < x -> ( ( A ` x ) = ( 0g ` R ) /\ ( C ` x ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( R e. Ring /\ K e. B /\ L e. B ) ) /\ n e. NN0 ) /\ ( 2 x. z ) < n ) /\ l e. ( 0 ... n ) ) ) -> z < ( n - l ) )
63 fznn0sub2 12446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( l e. ( 0 ... n ) -> ( n - l ) e. ( 0 ... n ) )
64 elfznn0 12433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( n - l ) e. ( 0 ... n ) -> ( n - l ) e. NN0 )
65 breq2 4657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x = ( n - l ) -> ( z < x <-> z < ( n - l ) ) )
66 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( x = ( n - l ) -> ( A ` x ) = ( A ` ( n - l ) ) )
6766eqeq1d 2624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( x = ( n - l ) -> ( ( A ` x ) = ( 0g ` R ) <-> ( A ` ( n - l ) ) = ( 0g ` R ) ) )
68 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( x = ( n - l ) -> ( C ` x ) = ( C ` ( n - l ) ) )
6968eqeq1d 2624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( x = ( n - l ) -> ( ( C ` x ) = ( 0g ` R ) <-> ( C ` ( n - l ) ) = ( 0g ` R ) ) )
7067, 69anbi12d 747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x = ( n - l ) -> ( ( ( A ` x ) = ( 0g ` R ) /\ ( C ` x ) = ( 0g ` R ) ) <-> ( ( A ` ( n - l ) ) = ( 0g ` R ) /\ ( C ` ( n - l ) ) = ( 0g ` R ) ) ) )
7165, 70imbi12d 334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = ( n - l ) -> ( ( z < x -> ( ( A ` x ) = ( 0g ` R ) /\ ( C ` x ) = ( 0g ` R ) ) ) <-> ( z < ( n - l ) -> ( ( A ` ( n - l ) ) = ( 0g ` R ) /\ ( C ` ( n - l ) ) = ( 0g ` R ) ) ) ) )
7271rspcva 3307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( n - l ) e. NN0 /\ A. x e. NN0 ( z < x -> ( ( A ` x ) = ( 0g ` R ) /\ ( C ` x ) = ( 0g ` R ) ) ) ) -> ( z < ( n - l ) -> ( ( A ` ( n - l ) ) = ( 0g ` R ) /\ ( C ` ( n - l ) ) = ( 0g ` R ) ) ) )
73 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( A ` ( n - l ) ) = ( 0g ` R ) /\ ( C ` ( n - l ) ) = ( 0g ` R ) ) -> ( C ` ( n - l ) ) = ( 0g ` R ) )
7472, 73syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( n - l ) e. NN0 /\ A. x e. NN0 ( z < x -> ( ( A ` x ) = ( 0g ` R ) /\ ( C ` x ) = ( 0g ` R ) ) ) ) -> ( z < ( n - l ) -> ( C ` ( n - l ) ) = ( 0g ` R ) ) )
7574ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( n - l ) e. NN0 -> ( A. x e. NN0 ( z < x -> ( ( A ` x ) = ( 0g ` R ) /\ ( C ` x ) = ( 0g ` R ) ) ) -> ( z < ( n - l ) -> ( C ` ( n - l ) ) = ( 0g ` R ) ) ) )
7663, 64, 753syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( l e. ( 0 ... n ) -> ( A. x e. NN0 ( z < x -> ( ( A ` x ) = ( 0g ` R ) /\ ( C ` x ) = ( 0g ` R ) ) ) -> ( z < ( n - l ) -> ( C ` ( n - l ) ) = ( 0g ` R ) ) ) )
7776com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A. x e. NN0 ( z < x -> ( ( A ` x ) = ( 0g ` R ) /\ ( C ` x ) = ( 0g ` R ) ) ) -> ( l e. ( 0 ... n ) -> ( z < ( n - l ) -> ( C ` ( n - l ) ) = ( 0g ` R ) ) ) )
7877ad4antlr 769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( z e. NN0 /\ A. x e. NN0 ( z < x -> ( ( A ` x ) = ( 0g ` R ) /\ ( C ` x ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( R e. Ring /\ K e. B /\ L e. B ) ) /\ n e. NN0 ) /\ ( 2 x. z ) < n ) -> ( l e. ( 0 ... n ) -> ( z < ( n - l ) -> ( C ` ( n - l ) ) = ( 0g ` R ) ) ) )
7978imp 445 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( z e. NN0 /\ A. x e. NN0 ( z < x -> ( ( A ` x ) = ( 0g ` R ) /\ ( C ` x ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( R e. Ring /\ K e. B /\ L e. B ) ) /\ n e. NN0 ) /\ ( 2 x. z ) < n ) /\ l e. ( 0 ... n ) ) -> ( z < ( n - l ) -> ( C ` ( n - l ) ) = ( 0g ` R ) ) )
8079adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( l <_ z /\ ( ( ( ( ( z e. NN0 /\ A. x e. NN0 ( z < x -> ( ( A ` x ) = ( 0g ` R ) /\ ( C ` x ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( R e. Ring /\ K e. B /\ L e. B ) ) /\ n e. NN0 ) /\ ( 2 x. z ) < n ) /\ l e. ( 0 ... n ) ) ) -> ( z < ( n - l ) -> ( C ` ( n - l ) ) = ( 0g ` R ) ) )
8162, 80mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( l <_ z /\ ( ( ( ( ( z e. NN0 /\ A. x e. NN0 ( z < x -> ( ( A ` x ) = ( 0g ` R ) /\ ( C ` x ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( R e. Ring /\ K e. B /\ L e. B ) ) /\ n e. NN0 ) /\ ( 2 x. z ) < n ) /\ l e. ( 0 ... n ) ) ) -> ( C ` ( n - l ) ) = ( 0g ` R ) )
8281oveq2d 6666 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( l <_ z /\ ( ( ( ( ( z e. NN0 /\ A. x e. NN0 ( z < x -> ( ( A ` x ) = ( 0g ` R ) /\ ( C ` x ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( R e. Ring /\ K e. B /\ L e. B ) ) /\ n e. NN0 ) /\ ( 2 x. z ) < n ) /\ l e. ( 0 ... n ) ) ) -> ( ( A ` l ) .* ( C ` ( n - l ) ) ) = ( ( A ` l ) .* ( 0g ` R ) ) )
83 simplr1 1103 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( z e. NN0 /\ A. x e. NN0 ( z < x -> ( ( A ` x ) = ( 0g ` R ) /\ ( C ` x ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( R e. Ring /\ K e. B /\ L e. B ) ) /\ n e. NN0 ) -> R e. Ring )
8483ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( z e. NN0 /\ A. x e. NN0 ( z < x -> ( ( A ` x ) = ( 0g ` R ) /\ ( C ` x ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( R e. Ring /\ K e. B /\ L e. B ) ) /\ n e. NN0 ) /\ ( 2 x. z ) < n ) /\ l e. ( 0 ... n ) ) -> R e. Ring )
8584adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( l <_ z /\ ( ( ( ( ( z e. NN0 /\ A. x e. NN0 ( z < x -> ( ( A ` x ) = ( 0g ` R ) /\ ( C ` x ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( R e. Ring /\ K e. B /\ L e. B ) ) /\ n e. NN0 ) /\ ( 2 x. z ) < n ) /\ l e. ( 0 ... n ) ) ) -> R e. Ring )
86 simplr2 1104 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( z e. NN0 /\ A. x e. NN0 ( z < x -> ( ( A ` x ) = ( 0g ` R ) /\ ( C ` x ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( R e. Ring /\ K e. B /\ L e. B ) ) /\ n e. NN0 ) -> K e. B )
8786adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( z e. NN0 /\ A. x e. NN0 ( z < x -> ( ( A ` x ) = ( 0g ` R ) /\ ( C ` x ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( R e. Ring /\ K e. B /\ L e. B ) ) /\ n e. NN0 ) /\ ( 2 x. z ) < n ) -> K e. B )
8887, 29anim12i 590 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( z e. NN0 /\ A. x e. NN0 ( z < x -> ( ( A ` x ) = ( 0g ` R ) /\ ( C ` x ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( R e. Ring /\ K e. B /\ L e. B ) ) /\ n e. NN0 ) /\ ( 2 x. z ) < n ) /\ l e. ( 0 ... n ) ) -> ( K e. B /\ l e. NN0 ) )
8988adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( l <_ z /\ ( ( ( ( ( z e. NN0 /\ A. x e. NN0 ( z < x -> ( ( A ` x ) = ( 0g ` R ) /\ ( C ` x ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( R e. Ring /\ K e. B /\ L e. B ) ) /\ n e. NN0 ) /\ ( 2 x. z ) < n ) /\ l e. ( 0 ... n ) ) ) -> ( K e. B /\ l e. NN0 ) )
90 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
913, 2, 1, 90coe1fvalcl 19582 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. B /\ l e. NN0 ) -> ( A ` l ) e. ( Base ` R ) )
9289, 91syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( l <_ z /\ ( ( ( ( ( z e. NN0 /\ A. x e. NN0 ( z < x -> ( ( A ` x ) = ( 0g ` R ) /\ ( C ` x ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( R e. Ring /\ K e. B /\ L e. B ) ) /\ n e. NN0 ) /\ ( 2 x. z ) < n ) /\ l e. ( 0 ... n ) ) ) -> ( A ` l ) e. ( Base ` R ) )
93 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
9490, 8, 93ringrz 18588 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. Ring /\ ( A ` l ) e. ( Base ` R ) ) -> ( ( A ` l ) .* ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) )
9585, 92, 94syl2anc 693 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( l <_ z /\ ( ( ( ( ( z e. NN0 /\ A. x e. NN0 ( z < x -> ( ( A ` x ) = ( 0g ` R ) /\ ( C ` x ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( R e. Ring /\ K e. B /\ L e. B ) ) /\ n e. NN0 ) /\ ( 2 x. z ) < n ) /\ l e. ( 0 ... n ) ) ) -> ( ( A ` l ) .* ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) )
9682, 95eqtrd 2656 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( l <_ z /\ ( ( ( ( ( z e. NN0 /\ A. x e. NN0 ( z < x -> ( ( A ` x ) = ( 0g ` R ) /\ ( C ` x ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( R e. Ring /\ K e. B /\ L e. B ) ) /\ n e. NN0 ) /\ ( 2 x. z ) < n ) /\ l e. ( 0 ... n ) ) ) -> ( ( A ` l ) .* ( C ` ( n - l ) ) ) = ( 0g ` R ) )
97 ltnle 10117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( z e. RR /\ l e. RR ) -> ( z < l <-> -. l <_ z ) )
9823, 30, 97syl2an 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( z e. NN0 /\ l e. NN0 ) -> ( z < l <-> -. l <_ z ) )
9998bicomd 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( z e. NN0 /\ l e. NN0 ) -> ( -. l <_ z <-> z < l ) )
10099expcom 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( l e. NN0 -> ( z e. NN0 -> ( -. l <_ z <-> z < l ) ) )
101100, 29syl11 33 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z e. NN0 -> ( l e. ( 0 ... n ) -> ( -. l <_ z <-> z < l ) ) )
102101ad4antr 768 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( z e. NN0 /\ A. x e. NN0 ( z < x -> ( ( A ` x ) = ( 0g ` R ) /\ ( C ` x ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( R e. Ring /\ K e. B /\ L e. B ) ) /\ n e. NN0 ) /\ ( 2 x. z ) < n ) -> ( l e. ( 0 ... n ) -> ( -. l <_ z <-> z < l ) ) )
103102imp 445 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( z e. NN0 /\ A. x e. NN0 ( z < x -> ( ( A ` x ) = ( 0g ` R ) /\ ( C ` x ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( R e. Ring /\ K e. B /\ L e. B ) ) /\ n e. NN0 ) /\ ( 2 x. z ) < n ) /\ l e. ( 0 ... n ) ) -> ( -. l <_ z <-> z < l ) )
104 breq2 4657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = l -> ( z < x <-> z < l ) )
105 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( x = l -> ( A ` x ) = ( A ` l ) )
106105eqeq1d 2624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x = l -> ( ( A ` x ) = ( 0g ` R ) <-> ( A ` l ) = ( 0g ` R ) ) )
107 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( x = l -> ( C ` x ) = ( C ` l ) )
108107eqeq1d 2624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x = l -> ( ( C ` x ) = ( 0g ` R ) <-> ( C ` l ) = ( 0g ` R ) ) )
109106, 108anbi12d 747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = l -> ( ( ( A ` x ) = ( 0g ` R ) /\ ( C ` x ) = ( 0g ` R ) ) <-> ( ( A ` l ) = ( 0g ` R ) /\ ( C ` l ) = ( 0g ` R ) ) ) )
110104, 109imbi12d 334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = l -> ( ( z < x -> ( ( A ` x ) = ( 0g ` R ) /\ ( C ` x ) = ( 0g ` R ) ) ) <-> ( z < l -> ( ( A ` l ) = ( 0g ` R ) /\ ( C ` l ) = ( 0g ` R ) ) ) ) )
111110rspcva 3307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( l e. NN0 /\ A. x e. NN0 ( z < x -> ( ( A ` x ) = ( 0g ` R ) /\ ( C ` x ) = ( 0g ` R ) ) ) ) -> ( z < l -> ( ( A ` l ) = ( 0g ` R ) /\ ( C ` l ) = ( 0g ` R ) ) ) )
112 simpl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( A ` l ) = ( 0g ` R ) /\ ( C ` l ) = ( 0g ` R ) ) -> ( A ` l ) = ( 0g ` R ) )
113111, 112syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( l e. NN0 /\ A. x e. NN0 ( z < x -> ( ( A ` x ) = ( 0g ` R ) /\ ( C ` x ) = ( 0g ` R ) ) ) ) -> ( z < l -> ( A ` l ) = ( 0g ` R ) ) )
114113ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( l e. NN0 -> ( A. x e. NN0 ( z < x -> ( ( A ` x ) = ( 0g ` R ) /\ ( C ` x ) = ( 0g ` R ) ) ) -> ( z < l -> ( A ` l ) = ( 0g ` R ) ) ) )
115114, 29syl11 33 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A. x e. NN0 ( z < x -> ( ( A ` x ) = ( 0g ` R ) /\ ( C ` x ) = ( 0g ` R ) ) ) -> ( l e. ( 0 ... n ) -> ( z < l -> ( A ` l ) = ( 0g ` R ) ) ) )
116115ad4antlr 769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( z e. NN0 /\ A. x e. NN0 ( z < x -> ( ( A ` x ) = ( 0g ` R ) /\ ( C ` x ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( R e. Ring /\ K e. B /\ L e. B ) ) /\ n e. NN0 ) /\ ( 2 x. z ) < n ) -> ( l e. ( 0 ... n ) -> ( z < l -> ( A ` l ) = ( 0g ` R ) ) ) )
117116imp 445 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( z e. NN0 /\ A. x e. NN0 ( z < x -> ( ( A ` x ) = ( 0g ` R ) /\ ( C ` x ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( R e. Ring /\ K e. B /\ L e. B ) ) /\ n e. NN0 ) /\ ( 2 x. z ) < n ) /\ l e. ( 0 ... n ) ) -> ( z < l -> ( A ` l ) = ( 0g ` R ) ) )
118103, 117sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( z e. NN0 /\ A. x e. NN0 ( z < x -> ( ( A ` x ) = ( 0g ` R ) /\ ( C ` x ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( R e. Ring /\ K e. B /\ L e. B ) ) /\ n e. NN0 ) /\ ( 2 x. z ) < n ) /\ l e. ( 0 ... n ) ) -> ( -. l <_ z -> ( A ` l ) = ( 0g ` R ) ) )
119118impcom 446 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -. l <_ z /\ ( ( ( ( ( z e. NN0 /\ A. x e. NN0 ( z < x -> ( ( A ` x ) = ( 0g ` R ) /\ ( C ` x ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( R e. Ring /\ K e. B /\ L e. B ) ) /\ n e. NN0 ) /\ ( 2 x. z ) < n ) /\ l e. ( 0 ... n ) ) ) -> ( A ` l ) = ( 0g ` R ) )
120119oveq1d 6665 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -. l <_ z /\ ( ( ( ( ( z e. NN0 /\ A. x e. NN0 ( z < x -> ( ( A ` x ) = ( 0g ` R ) /\ ( C ` x ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( R e. Ring /\ K e. B /\ L e. B ) ) /\ n e. NN0 ) /\ ( 2 x. z ) < n ) /\ l e. ( 0 ... n ) ) ) -> ( ( A ` l ) .* ( C ` ( n - l ) ) ) = ( ( 0g ` R ) .* ( C ` ( n - l ) ) ) )
12184adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -. l <_ z /\ ( ( ( ( ( z e. NN0 /\ A. x e. NN0 ( z < x -> ( ( A ` x ) = ( 0g ` R ) /\ ( C ` x ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( R e. Ring /\ K e. B /\ L e. B ) ) /\ n e. NN0 ) /\ ( 2 x. z ) < n ) /\ l e. ( 0 ... n ) ) ) -> R e. Ring )
122 simplr3 1105 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( z e. NN0 /\ A. x e. NN0 ( z < x -> ( ( A ` x ) = ( 0g ` R ) /\ ( C ` x ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( R e. Ring /\ K e. B /\ L e. B ) ) /\ n e. NN0 ) -> L e. B )
123122adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( z e. NN0 /\ A. x e. NN0 ( z < x -> ( ( A ` x ) = ( 0g ` R ) /\ ( C ` x ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( R e. Ring /\ K e. B /\ L e. B ) ) /\ n e. NN0 ) /\ ( 2 x. z ) < n ) -> L e. B )
124 fznn0sub 12373 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( l e. ( 0 ... n ) -> ( n - l ) e. NN0 )
125123, 124anim12i 590 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( z e. NN0 /\ A. x e. NN0 ( z < x -> ( ( A ` x ) = ( 0g ` R ) /\ ( C ` x ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( R e. Ring /\ K e. B /\ L e. B ) ) /\ n e. NN0 ) /\ ( 2 x. z ) < n ) /\ l e. ( 0 ... n ) ) -> ( L e. B /\ ( n - l ) e. NN0 ) )
126125adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( -. l <_ z /\ ( ( ( ( ( z e. NN0 /\ A. x e. NN0 ( z < x -> ( ( A ` x ) = ( 0g ` R ) /\ ( C ` x ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( R e. Ring /\ K e. B /\ L e. B ) ) /\ n e. NN0 ) /\ ( 2 x. z ) < n ) /\ l e. ( 0 ... n ) ) ) -> ( L e. B /\ ( n - l ) e. NN0 ) )
1274, 2, 1, 90coe1fvalcl 19582 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( L e. B /\ ( n - l ) e. NN0 ) -> ( C ` ( n - l ) ) e. ( Base ` R ) )
128126, 127syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -. l <_ z /\ ( ( ( ( ( z e. NN0 /\ A. x e. NN0 ( z < x -> ( ( A ` x ) = ( 0g ` R ) /\ ( C ` x ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( R e. Ring /\ K e. B /\ L e. B ) ) /\ n e. NN0 ) /\ ( 2 x. z ) < n ) /\ l e. ( 0 ... n ) ) ) -> ( C ` ( n - l ) ) e. ( Base ` R ) )
12990, 8, 93ringlz 18587 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. Ring /\ ( C ` ( n - l ) ) e. ( Base ` R ) ) -> ( ( 0g ` R ) .* ( C ` ( n - l ) ) ) = ( 0g ` R ) )
130121, 128, 129syl2anc 693 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -. l <_ z /\ ( ( ( ( ( z e. NN0 /\ A. x e. NN0 ( z < x -> ( ( A ` x ) = ( 0g ` R ) /\ ( C ` x ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( R e. Ring /\ K e. B /\ L e. B ) ) /\ n e. NN0 ) /\ ( 2 x. z ) < n ) /\ l e. ( 0 ... n ) ) ) -> ( ( 0g ` R ) .* ( C ` ( n - l ) ) ) = ( 0g ` R ) )
131120, 130eqtrd 2656 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. l <_ z /\ ( ( ( ( ( z e. NN0 /\ A. x e. NN0 ( z < x -> ( ( A ` x ) = ( 0g ` R ) /\ ( C ` x ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( R e. Ring /\ K e. B /\ L e. B ) ) /\ n e. NN0 ) /\ ( 2 x. z ) < n ) /\ l e. ( 0 ... n ) ) ) -> ( ( A ` l ) .* ( C ` ( n - l ) ) ) = ( 0g ` R ) )
13296, 131pm2.61ian 831 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( z e. NN0 /\ A. x e. NN0 ( z < x -> ( ( A ` x ) = ( 0g ` R ) /\ ( C ` x ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( R e. Ring /\ K e. B /\ L e. B ) ) /\ n e. NN0 ) /\ ( 2 x. z ) < n ) /\ l e. ( 0 ... n ) ) -> ( ( A ` l ) .* ( C ` ( n - l ) ) ) = ( 0g ` R ) )
133132mpteq2dva 4744 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( z e. NN0 /\ A. x e. NN0 ( z < x -> ( ( A ` x ) = ( 0g ` R ) /\ ( C ` x ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( R e. Ring /\ K e. B /\ L e. B ) ) /\ n e. NN0 ) /\ ( 2 x. z ) < n ) -> ( l e. ( 0 ... n ) |-> ( ( A ` l ) .* ( C ` ( n - l ) ) ) ) = ( l e. ( 0 ... n ) |-> ( 0g ` R ) ) )
134133oveq2d 6666 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( z e. NN0 /\ A. x e. NN0 ( z < x -> ( ( A ` x ) = ( 0g ` R ) /\ ( C ` x ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( R e. Ring /\ K e. B /\ L e. B ) ) /\ n e. NN0 ) /\ ( 2 x. z ) < n ) -> ( R gsumg ( l e. ( 0 ... n ) |-> ( ( A ` l ) .* ( C ` ( n - l ) ) ) ) ) = ( R gsumg ( l e. ( 0 ... n ) |-> ( 0g ` R ) ) ) )
135 ringmnd 18556 . . . . . . . . . . . 12 |- ( R e. Ring -> R e. Mnd )
1361353ad2ant1 1082 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. Ring /\ K e. B /\ L e. B ) -> R e. Mnd )
137 ovex 6678 . . . . . . . . . . 11 |- ( 0 ... n ) e. _V
138136, 137jctir 561 . . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Ring /\ K e. B /\ L e. B ) -> ( R e. Mnd /\ ( 0 ... n ) e. _V ) )
139138ad3antlr 767 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( z e. NN0 /\ A. x e. NN0 ( z < x -> ( ( A ` x ) = ( 0g ` R ) /\ ( C ` x ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( R e. Ring /\ K e. B /\ L e. B ) ) /\ n e. NN0 ) /\ ( 2 x. z ) < n ) -> ( R e. Mnd /\ ( 0 ... n ) e. _V ) )
14093gsumz 17374 . . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Mnd /\ ( 0 ... n ) e. _V ) -> ( R gsumg ( l e. ( 0 ... n ) |-> ( 0g ` R ) ) ) = ( 0g ` R ) )
141139, 140syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( z e. NN0 /\ A. x e. NN0 ( z < x -> ( ( A ` x ) = ( 0g ` R ) /\ ( C ` x ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( R e. Ring /\ K e. B /\ L e. B ) ) /\ n e. NN0 ) /\ ( 2 x. z ) < n ) -> ( R gsumg ( l e. ( 0 ... n ) |-> ( 0g ` R ) ) ) = ( 0g ` R ) )
142134, 141eqtrd 2656 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( z e. NN0 /\ A. x e. NN0 ( z < x -> ( ( A ` x ) = ( 0g ` R ) /\ ( C ` x ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( R e. Ring /\ K e. B /\ L e. B ) ) /\ n e. NN0 ) /\ ( 2 x. z ) < n ) -> ( R gsumg ( l e. ( 0 ... n ) |-> ( ( A ` l ) .* ( C ` ( n - l ) ) ) ) ) = ( 0g ` R ) )
143142ex 450 . . . . . 6 |- ( ( ( ( z e. NN0 /\ A. x e. NN0 ( z < x -> ( ( A ` x ) = ( 0g ` R ) /\ ( C ` x ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( R e. Ring /\ K e. B /\ L e. B ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( ( 2 x. z ) < n -> ( R gsumg ( l e. ( 0 ... n ) |-> ( ( A ` l ) .* ( C ` ( n - l ) ) ) ) ) = ( 0g ` R ) ) )
144143ralrimiva 2966 . . . . 5 |- ( ( ( z e. NN0 /\ A. x e. NN0 ( z < x -> ( ( A ` x ) = ( 0g ` R ) /\ ( C ` x ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( R e. Ring /\ K e. B /\ L e. B ) ) -> A. n e. NN0 ( ( 2 x. z ) < n -> ( R gsumg ( l e. ( 0 ... n ) |-> ( ( A ` l ) .* ( C ` ( n - l ) ) ) ) ) = ( 0g ` R ) ) )
14516, 20, 144rspcedvd 3317 . . . 4 |- ( ( ( z e. NN0 /\ A. x e. NN0 ( z < x -> ( ( A ` x ) = ( 0g ` R ) /\ ( C ` x ) = ( 0g ` R ) ) ) ) /\ ( R e. Ring /\ K e. B /\ L e. B ) ) -> E. s e. NN0 A. n e. NN0 ( s < n -> ( R gsumg ( l e. ( 0 ... n ) |-> ( ( A ` l ) .* ( C ` ( n - l ) ) ) ) ) = ( 0g ` R ) ) )
146145ex 450 . . 3 |- ( ( z e. NN0 /\ A. x e. NN0 ( z < x -> ( ( A ` x ) = ( 0g ` R ) /\ ( C ` x ) = ( 0g ` R ) ) ) ) -> ( ( R e. Ring /\ K e. B /\ L e. B ) -> E. s e. NN0 A. n e. NN0 ( s < n -> ( R gsumg ( l e. ( 0 ... n ) |-> ( ( A ` l ) .* ( C ` ( n - l ) ) ) ) ) = ( 0g ` R ) ) ) )
147146rexlimiva 3028 . 2 |- ( E. z e. NN0 A. x e. NN0 ( z < x -> ( ( A ` x ) = ( 0g ` R ) /\ ( C ` x ) = ( 0g ` R ) ) ) -> ( ( R e. Ring /\ K e. B /\ L e. B ) -> E. s e. NN0 A. n e. NN0 ( s < n -> ( R gsumg ( l e. ( 0 ... n ) |-> ( ( A ` l ) .* ( C ` ( n - l ) ) ) ) ) = ( 0g ` R ) ) ) )
14811, 147mpcom 38 1 |- ( ( R e. Ring /\ K e. B /\ L e. B ) -> E. s e. NN0 A. n e. NN0 ( s < n -> ( R gsumg ( l e. ( 0 ... n ) |-> ( ( A ` l ) .* ( C ` ( n - l ) ) ) ) ) = ( 0g ` R ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   2c2 11070   NN0cn0 11292   ...cfz 12326   Basecbs 15857   .rcmulr 15942   .scvsca 15945   0gc0g 16100   gsumg cgsu 16101   Mndcmnd 17294  .gcmg 17540  mulGrpcmgp 18489   Ringcrg 18547  var1cv1 19546  Poly1cpl1 19547  coe1cco1 19548
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-seq 12802  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-tset 15960  df-ple 15961  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mgp 18490  df-ring 18549  df-psr 19356  df-mpl 19358  df-opsr 19360  df-psr1 19550  df-ply1 19552  df-coe1 19553
This theorem is referenced by:  ply1mulgsumlem3  42176  ply1mulgsumlem4  42177
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