Theorem psrbagaddcl 19370

Description: The sum of two finite bags is a finite bag. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
psrbag.d	|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }

Assertion

Ref	Expression
psrbagaddcl	|- ( ( I e. V /\ F e. D /\ G e. D ) -> ( F oF + G ) e. D )

Distinct variable groups:   f, F   f, G   f, I

Allowed substitution hints:   D( f)   V( f)

Proof of Theorem psrbagaddcl

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0addcl 11328	. . . 4 |- ( ( x e. NN0 /\ y e. NN0 ) -> ( x + y ) e. NN0 )
2	1	adantl 482	. . 3 |- ( ( ( I e. V /\ F e. D /\ G e. D ) /\ ( x e. NN0 /\ y e. NN0 ) ) -> ( x + y ) e. NN0 )
3		simp2 1062	. . . . 5 |- ( ( I e. V /\ F e. D /\ G e. D ) -> F e. D )
4		psrbag.d	. . . . . . 7 |- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin }
5	4	psrbag 19364	. . . . . 6 |- ( I e. V -> ( F e. D <-> ( F : I --> NN0 /\ ( `' F " NN ) e. Fin ) ) )
6	5	3ad2ant1 1082	. . . . 5 |- ( ( I e. V /\ F e. D /\ G e. D ) -> ( F e. D <-> ( F : I --> NN0 /\ ( `' F " NN ) e. Fin ) ) )
7	3, 6	mpbid 222	. . . 4 |- ( ( I e. V /\ F e. D /\ G e. D ) -> ( F : I --> NN0 /\ ( `' F " NN ) e. Fin ) )
8	7	simpld 475	. . 3 |- ( ( I e. V /\ F e. D /\ G e. D ) -> F : I --> NN0 )
9		simp3 1063	. . . . 5 |- ( ( I e. V /\ F e. D /\ G e. D ) -> G e. D )
10	4	psrbag 19364	. . . . . 6 |- ( I e. V -> ( G e. D <-> ( G : I --> NN0 /\ ( `' G " NN ) e. Fin ) ) )
11	10	3ad2ant1 1082	. . . . 5 |- ( ( I e. V /\ F e. D /\ G e. D ) -> ( G e. D <-> ( G : I --> NN0 /\ ( `' G " NN ) e. Fin ) ) )
12	9, 11	mpbid 222	. . . 4 |- ( ( I e. V /\ F e. D /\ G e. D ) -> ( G : I --> NN0 /\ ( `' G " NN ) e. Fin ) )
13	12	simpld 475	. . 3 |- ( ( I e. V /\ F e. D /\ G e. D ) -> G : I --> NN0 )
14		simp1 1061	. . 3 |- ( ( I e. V /\ F e. D /\ G e. D ) -> I e. V )
15		inidm 3822	. . 3 |- ( I i^i I ) = I
16	2, 8, 13, 14, 14, 15	off 6912	. 2 |- ( ( I e. V /\ F e. D /\ G e. D ) -> ( F oF + G ) : I --> NN0 )
17		frnnn0supp 11349	. . . . 5 |- ( ( I e. V /\ ( F oF + G ) : I --> NN0 ) -> ( ( F oF + G ) supp 0 ) = ( `' ( F oF + G ) " NN ) )
18	14, 16, 17	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( I e. V /\ F e. D /\ G e. D ) -> ( ( F oF + G ) supp 0 ) = ( `' ( F oF + G ) " NN ) )
19		fvexd 6203	. . . . . 6 |- ( ( ( I e. V /\ F e. D /\ G e. D ) /\ x e. I ) -> ( F ` x ) e. _V )
20		fvexd 6203	. . . . . 6 |- ( ( ( I e. V /\ F e. D /\ G e. D ) /\ x e. I ) -> ( G ` x ) e. _V )
21	8	feqmptd 6249	. . . . . 6 |- ( ( I e. V /\ F e. D /\ G e. D ) -> F = ( x e. I |-> ( F ` x ) ) )
22	13	feqmptd 6249	. . . . . 6 |- ( ( I e. V /\ F e. D /\ G e. D ) -> G = ( x e. I |-> ( G ` x ) ) )
23	14, 19, 20, 21, 22	offval2 6914	. . . . 5 |- ( ( I e. V /\ F e. D /\ G e. D ) -> ( F oF + G ) = ( x e. I |-> ( ( F ` x ) + ( G ` x ) ) ) )
24	23	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( ( I e. V /\ F e. D /\ G e. D ) -> ( ( F oF + G ) supp 0 ) = ( ( x e. I |-> ( ( F ` x ) + ( G ` x ) ) ) supp 0 ) )
25	18, 24	eqtr3d 2658	. . 3 |- ( ( I e. V /\ F e. D /\ G e. D ) -> ( `' ( F oF + G ) " NN ) = ( ( x e. I |-> ( ( F ` x ) + ( G ` x ) ) ) supp 0 ) )
26		frnnn0supp 11349	. . . . . . 7 |- ( ( I e. V /\ F : I --> NN0 ) -> ( F supp 0 ) = ( `' F " NN ) )
27	14, 8, 26	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( I e. V /\ F e. D /\ G e. D ) -> ( F supp 0 ) = ( `' F " NN ) )
28	7	simprd 479	. . . . . 6 |- ( ( I e. V /\ F e. D /\ G e. D ) -> ( `' F " NN ) e. Fin )
29	27, 28	eqeltrd 2701	. . . . 5 |- ( ( I e. V /\ F e. D /\ G e. D ) -> ( F supp 0 ) e. Fin )
30		frnnn0supp 11349	. . . . . . 7 |- ( ( I e. V /\ G : I --> NN0 ) -> ( G supp 0 ) = ( `' G " NN ) )
31	14, 13, 30	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( I e. V /\ F e. D /\ G e. D ) -> ( G supp 0 ) = ( `' G " NN ) )
32	12	simprd 479	. . . . . 6 |- ( ( I e. V /\ F e. D /\ G e. D ) -> ( `' G " NN ) e. Fin )
33	31, 32	eqeltrd 2701	. . . . 5 |- ( ( I e. V /\ F e. D /\ G e. D ) -> ( G supp 0 ) e. Fin )
34		unfi 8227	. . . . 5 |- ( ( ( F supp 0 ) e. Fin /\ ( G supp 0 ) e. Fin ) -> ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) e. Fin )
35	29, 33, 34	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( I e. V /\ F e. D /\ G e. D ) -> ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) e. Fin )
36		ssun1 3776	. . . . . . . . 9 |- ( F supp 0 ) C_ ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) )
37	36	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. V /\ F e. D /\ G e. D ) -> ( F supp 0 ) C_ ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) )
38		c0ex 10034	. . . . . . . . 9 |- 0 e. _V
39	38	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. V /\ F e. D /\ G e. D ) -> 0 e. _V )
40	8, 37, 14, 39	suppssr 7326	. . . . . . 7 |- ( ( ( I e. V /\ F e. D /\ G e. D ) /\ x e. ( I \ ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ) ) -> ( F ` x ) = 0 )
41		ssun2 3777	. . . . . . . . 9 |- ( G supp 0 ) C_ ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) )
42	41	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. V /\ F e. D /\ G e. D ) -> ( G supp 0 ) C_ ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) )
43	13, 42, 14, 39	suppssr 7326	. . . . . . 7 |- ( ( ( I e. V /\ F e. D /\ G e. D ) /\ x e. ( I \ ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ) ) -> ( G ` x ) = 0 )
44	40, 43	oveq12d 6668	. . . . . 6 |- ( ( ( I e. V /\ F e. D /\ G e. D ) /\ x e. ( I \ ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ) ) -> ( ( F ` x ) + ( G ` x ) ) = ( 0 + 0 ) )
45		00id 10211	. . . . . 6 |- ( 0 + 0 ) = 0
46	44, 45	syl6eq 2672	. . . . 5 |- ( ( ( I e. V /\ F e. D /\ G e. D ) /\ x e. ( I \ ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ) ) -> ( ( F ` x ) + ( G ` x ) ) = 0 )
47	46, 14	suppss2 7329	. . . 4 |- ( ( I e. V /\ F e. D /\ G e. D ) -> ( ( x e. I |-> ( ( F ` x ) + ( G ` x ) ) ) supp 0 ) C_ ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) )
48		ssfi 8180	. . . 4 |- ( ( ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) e. Fin /\ ( ( x e. I |-> ( ( F ` x ) + ( G ` x ) ) ) supp 0 ) C_ ( ( F supp 0 ) u. ( G supp 0 ) ) ) -> ( ( x e. I |-> ( ( F ` x ) + ( G ` x ) ) ) supp 0 ) e. Fin )
49	35, 47, 48	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( I e. V /\ F e. D /\ G e. D ) -> ( ( x e. I |-> ( ( F ` x ) + ( G ` x ) ) ) supp 0 ) e. Fin )
50	25, 49	eqeltrd 2701	. 2 |- ( ( I e. V /\ F e. D /\ G e. D ) -> ( `' ( F oF + G ) " NN ) e. Fin )
51	4	psrbag 19364	. . 3 |- ( I e. V -> ( ( F oF + G ) e. D <-> ( ( F oF + G ) : I --> NN0 /\ ( `' ( F oF + G ) " NN ) e. Fin ) ) )
52	51	3ad2ant1 1082	. 2 |- ( ( I e. V /\ F e. D /\ G e. D ) -> ( ( F oF + G ) e. D <-> ( ( F oF + G ) : I --> NN0 /\ ( `' ( F oF + G ) " NN ) e. Fin ) ) )
53	16, 50, 52	mpbir2and 957	1 |- ( ( I e. V /\ F e. D /\ G e. D ) -> ( F oF + G ) e. D )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   C_ wss 3574   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   "cima 5117   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   supp csupp 7295   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   0cc0 9936   + caddc 9939   NNcn 11020   NN0cn0 11292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293

This theorem is referenced by:  mplmon2mul  19501  evlslem1  19515  tdeglem3  23819