Theorem tdeglem3 23819

Description: Additivity of the total degree helper function. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.) (Proof shortened by AV, 27-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tdeglem.a	|- A = { m e. ( NN0 ^m I ) | ( `' m " NN ) e. Fin }
tdeglem.h	|- H = ( h e. A |-> (ℂfld gsumg h ) )

Assertion

Ref	Expression
tdeglem3	|- ( ( I e. V /\ X e. A /\ Y e. A ) -> ( H ` ( X oF + Y ) ) = ( ( H ` X ) + ( H ` Y ) ) )

Distinct variable groups:   A, h   h, I, m   h, V   h, X, m   h, Y, m

Allowed substitution hints:   A( m)   H( h, m)   V( m)

Proof of Theorem tdeglem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfldbas 19750	. . 3 |- CC = ( Base ` ℂfld )
2		cnfld0 19770	. . 3 |- 0 = ( 0g ` ℂfld )
3		cnfldadd 19751	. . 3 |- + = ( +g ` ℂfld )
4		cnring 19768	. . . 4 |- ℂfld e. Ring
5		ringcmn 18581	. . . 4 |- (ℂfld e. Ring -> ℂfld e. CMnd )
6	4, 5	mp1i 13	. . 3 |- ( ( I e. V /\ X e. A /\ Y e. A ) -> ℂfld e. CMnd )
7		simp1 1061	. . 3 |- ( ( I e. V /\ X e. A /\ Y e. A ) -> I e. V )
8		tdeglem.a	. . . . . 6 |- A = { m e. ( NN0 ^m I ) | ( `' m " NN ) e. Fin }
9	8	psrbagf 19365	. . . . 5 |- ( ( I e. V /\ X e. A ) -> X : I --> NN0 )
10		nn0sscn 11297	. . . . 5 |- NN0 C_ CC
11		fss 6056	. . . . 5 |- ( ( X : I --> NN0 /\ NN0 C_ CC ) -> X : I --> CC )
12	9, 10, 11	sylancl 694	. . . 4 |- ( ( I e. V /\ X e. A ) -> X : I --> CC )
13	12	3adant3 1081	. . 3 |- ( ( I e. V /\ X e. A /\ Y e. A ) -> X : I --> CC )
14	8	psrbagf 19365	. . . . 5 |- ( ( I e. V /\ Y e. A ) -> Y : I --> NN0 )
15		fss 6056	. . . . 5 |- ( ( Y : I --> NN0 /\ NN0 C_ CC ) -> Y : I --> CC )
16	14, 10, 15	sylancl 694	. . . 4 |- ( ( I e. V /\ Y e. A ) -> Y : I --> CC )
17	16	3adant2 1080	. . 3 |- ( ( I e. V /\ X e. A /\ Y e. A ) -> Y : I --> CC )
18	8	psrbagfsupp 19509	. . . . 5 |- ( ( X e. A /\ I e. V ) -> X finSupp 0 )
19	18	ancoms 469	. . . 4 |- ( ( I e. V /\ X e. A ) -> X finSupp 0 )
20	19	3adant3 1081	. . 3 |- ( ( I e. V /\ X e. A /\ Y e. A ) -> X finSupp 0 )
21	8	psrbagfsupp 19509	. . . . 5 |- ( ( Y e. A /\ I e. V ) -> Y finSupp 0 )
22	21	ancoms 469	. . . 4 |- ( ( I e. V /\ Y e. A ) -> Y finSupp 0 )
23	22	3adant2 1080	. . 3 |- ( ( I e. V /\ X e. A /\ Y e. A ) -> Y finSupp 0 )
24	1, 2, 3, 6, 7, 13, 17, 20, 23	gsumadd 18323	. 2 |- ( ( I e. V /\ X e. A /\ Y e. A ) -> (ℂfld gsumg ( X oF + Y ) ) = ( (ℂfld gsumg X ) + (ℂfld gsumg Y ) ) )
25	8	psrbagaddcl 19370	. . 3 |- ( ( I e. V /\ X e. A /\ Y e. A ) -> ( X oF + Y ) e. A )
26		oveq2 6658	. . . 4 |- ( h = ( X oF + Y ) -> (ℂfld gsumg h ) = (ℂfld gsumg ( X oF + Y ) ) )
27		tdeglem.h	. . . 4 |- H = ( h e. A |-> (ℂfld gsumg h ) )
28		ovex 6678	. . . 4 |- (ℂfld gsumg ( X oF + Y ) ) e. _V
29	26, 27, 28	fvmpt 6282	. . 3 |- ( ( X oF + Y ) e. A -> ( H ` ( X oF + Y ) ) = (ℂfld gsumg ( X oF + Y ) ) )
30	25, 29	syl 17	. 2 |- ( ( I e. V /\ X e. A /\ Y e. A ) -> ( H ` ( X oF + Y ) ) = (ℂfld gsumg ( X oF + Y ) ) )
31		oveq2 6658	. . . . 5 |- ( h = X -> (ℂfld gsumg h ) = (ℂfld gsumg X ) )
32		ovex 6678	. . . . 5 |- (ℂfld gsumg X ) e. _V
33	31, 27, 32	fvmpt 6282	. . . 4 |- ( X e. A -> ( H ` X ) = (ℂfld gsumg X ) )
34		oveq2 6658	. . . . 5 |- ( h = Y -> (ℂfld gsumg h ) = (ℂfld gsumg Y ) )
35		ovex 6678	. . . . 5 |- (ℂfld gsumg Y ) e. _V
36	34, 27, 35	fvmpt 6282	. . . 4 |- ( Y e. A -> ( H ` Y ) = (ℂfld gsumg Y ) )
37	33, 36	oveqan12d 6669	. . 3 |- ( ( X e. A /\ Y e. A ) -> ( ( H ` X ) + ( H ` Y ) ) = ( (ℂfld gsumg X ) + (ℂfld gsumg Y ) ) )
38	37	3adant1 1079	. 2 |- ( ( I e. V /\ X e. A /\ Y e. A ) -> ( ( H ` X ) + ( H ` Y ) ) = ( (ℂfld gsumg X ) + (ℂfld gsumg Y ) ) )
39	24, 30, 38	3eqtr4d 2666	1 |- ( ( I e. V /\ X e. A /\ Y e. A ) -> ( H ` ( X oF + Y ) ) = ( ( H ` X ) + ( H ` Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   {crab 2916   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   "cima 5117   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   finSupp cfsupp 8275   CCcc 9934   0cc0 9936   + caddc 9939   NNcn 11020   NN0cn0 11292   gsum_g cgsu 16101  CMndccmn 18193   Ringcrg 18547  ℂ_fldccnfld 19746

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-cnfld 19747

This theorem is referenced by:  mdegmullem  23838