Theorem rankxplim 8742

Description: The rank of a Cartesian product when the rank of the union of its arguments is a limit ordinal. Part of Exercise 4 of [Kunen] p. 107. See rankxpsuc 8745 for the successor case. (Contributed by NM, 19-Sep-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
rankxplim.1	|- A e. _V
rankxplim.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
rankxplim	|- ( ( Lim ( rank ` ( A u. B ) ) /\ ( A X. B ) =/= (/) ) -> ( rank ` ( A X. B ) ) = ( rank ` ( A u. B ) ) )

Proof of Theorem rankxplim

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwuni 4474	. . . . . . . . . 10 |- <. x , y >. C_ ~P U. <. x , y >.
2		vex 3203	. . . . . . . . . . . 12 |- x e. _V
3		vex 3203	. . . . . . . . . . . 12 |- y e. _V
4	2, 3	uniop 4977	. . . . . . . . . . 11 |- U. <. x , y >. = { x , y }
5	4	pweqi 4162	. . . . . . . . . 10 |- ~P U. <. x , y >. = ~P { x , y }
6	1, 5	sseqtri 3637	. . . . . . . . 9 |- <. x , y >. C_ ~P { x , y }
7		pwuni 4474	. . . . . . . . . . 11 |- { x , y } C_ ~P U. { x , y }
8	2, 3	unipr 4449	. . . . . . . . . . . 12 |- U. { x , y } = ( x u. y )
9	8	pweqi 4162	. . . . . . . . . . 11 |- ~P U. { x , y } = ~P ( x u. y )
10	7, 9	sseqtri 3637	. . . . . . . . . 10 |- { x , y } C_ ~P ( x u. y )
11		sspwb 4917	. . . . . . . . . 10 |- ( { x , y } C_ ~P ( x u. y ) <-> ~P { x , y } C_ ~P ~P ( x u. y ) )
12	10, 11	mpbi 220	. . . . . . . . 9 |- ~P { x , y } C_ ~P ~P ( x u. y )
13	6, 12	sstri 3612	. . . . . . . 8 |- <. x , y >. C_ ~P ~P ( x u. y )
14	2, 3	unex 6956	. . . . . . . . . . 11 |- ( x u. y ) e. _V
15	14	pwex 4848	. . . . . . . . . 10 |- ~P ( x u. y ) e. _V
16	15	pwex 4848	. . . . . . . . 9 |- ~P ~P ( x u. y ) e. _V
17	16	rankss 8712	. . . . . . . 8 |- ( <. x , y >. C_ ~P ~P ( x u. y ) -> ( rank ` <. x , y >. ) C_ ( rank ` ~P ~P ( x u. y ) ) )
18	13, 17	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( rank ` <. x , y >. ) C_ ( rank ` ~P ~P ( x u. y ) )
19		rankxplim.1	. . . . . . . . . . 11 |- A e. _V
20	19	rankel 8702	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. A -> ( rank ` x ) e. ( rank ` A ) )
21		rankxplim.2	. . . . . . . . . . 11 |- B e. _V
22	21	rankel 8702	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. B -> ( rank ` y ) e. ( rank ` B ) )
23	2, 3, 19, 21	rankelun 8735	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( rank ` x ) e. ( rank ` A ) /\ ( rank ` y ) e. ( rank ` B ) ) -> ( rank ` ( x u. y ) ) e. ( rank ` ( A u. B ) ) )
24	20, 22, 23	syl2an 494	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( rank ` ( x u. y ) ) e. ( rank ` ( A u. B ) ) )
25	24	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( Lim ( rank ` ( A u. B ) ) /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) -> ( rank ` ( x u. y ) ) e. ( rank ` ( A u. B ) ) )
26		ranklim 8707	. . . . . . . . . 10 |- ( Lim ( rank ` ( A u. B ) ) -> ( ( rank ` ( x u. y ) ) e. ( rank ` ( A u. B ) ) <-> ( rank ` ~P ( x u. y ) ) e. ( rank ` ( A u. B ) ) ) )
27		ranklim 8707	. . . . . . . . . 10 |- ( Lim ( rank ` ( A u. B ) ) -> ( ( rank ` ~P ( x u. y ) ) e. ( rank ` ( A u. B ) ) <-> ( rank ` ~P ~P ( x u. y ) ) e. ( rank ` ( A u. B ) ) ) )
28	26, 27	bitrd 268	. . . . . . . . 9 |- ( Lim ( rank ` ( A u. B ) ) -> ( ( rank ` ( x u. y ) ) e. ( rank ` ( A u. B ) ) <-> ( rank ` ~P ~P ( x u. y ) ) e. ( rank ` ( A u. B ) ) ) )
29	28	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( Lim ( rank ` ( A u. B ) ) /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) -> ( ( rank ` ( x u. y ) ) e. ( rank ` ( A u. B ) ) <-> ( rank ` ~P ~P ( x u. y ) ) e. ( rank ` ( A u. B ) ) ) )
30	25, 29	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ( Lim ( rank ` ( A u. B ) ) /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) -> ( rank ` ~P ~P ( x u. y ) ) e. ( rank ` ( A u. B ) ) )
31		rankon 8658	. . . . . . . 8 |- ( rank ` <. x , y >. ) e. On
32		rankon 8658	. . . . . . . 8 |- ( rank ` ( A u. B ) ) e. On
33		ontr2 5772	. . . . . . . 8 |- ( ( ( rank ` <. x , y >. ) e. On /\ ( rank ` ( A u. B ) ) e. On ) -> ( ( ( rank ` <. x , y >. ) C_ ( rank ` ~P ~P ( x u. y ) ) /\ ( rank ` ~P ~P ( x u. y ) ) e. ( rank ` ( A u. B ) ) ) -> ( rank ` <. x , y >. ) e. ( rank ` ( A u. B ) ) ) )
34	31, 32, 33	mp2an 708	. . . . . . 7 |- ( ( ( rank ` <. x , y >. ) C_ ( rank ` ~P ~P ( x u. y ) ) /\ ( rank ` ~P ~P ( x u. y ) ) e. ( rank ` ( A u. B ) ) ) -> ( rank ` <. x , y >. ) e. ( rank ` ( A u. B ) ) )
35	18, 30, 34	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( ( Lim ( rank ` ( A u. B ) ) /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) -> ( rank ` <. x , y >. ) e. ( rank ` ( A u. B ) ) )
36	31, 32	onsucssi 7041	. . . . . 6 |- ( ( rank ` <. x , y >. ) e. ( rank ` ( A u. B ) ) <-> suc ( rank ` <. x , y >. ) C_ ( rank ` ( A u. B ) ) )
37	35, 36	sylib 208	. . . . 5 |- ( ( Lim ( rank ` ( A u. B ) ) /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) -> suc ( rank ` <. x , y >. ) C_ ( rank ` ( A u. B ) ) )
38	37	ralrimivva 2971	. . . 4 |- ( Lim ( rank ` ( A u. B ) ) -> A. x e. A A. y e. B suc ( rank ` <. x , y >. ) C_ ( rank ` ( A u. B ) ) )
39		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( z = <. x , y >. -> ( rank ` z ) = ( rank ` <. x , y >. ) )
40		suceq 5790	. . . . . . . 8 |- ( ( rank ` z ) = ( rank ` <. x , y >. ) -> suc ( rank ` z ) = suc ( rank ` <. x , y >. ) )
41	39, 40	syl 17	. . . . . . 7 |- ( z = <. x , y >. -> suc ( rank ` z ) = suc ( rank ` <. x , y >. ) )
42	41	sseq1d 3632	. . . . . 6 |- ( z = <. x , y >. -> ( suc ( rank ` z ) C_ ( rank ` ( A u. B ) ) <-> suc ( rank ` <. x , y >. ) C_ ( rank ` ( A u. B ) ) ) )
43	42	ralxp 5263	. . . . 5 |- ( A. z e. ( A X. B ) suc ( rank ` z ) C_ ( rank ` ( A u. B ) ) <-> A. x e. A A. y e. B suc ( rank ` <. x , y >. ) C_ ( rank ` ( A u. B ) ) )
44	19, 21	xpex 6962	. . . . . 6 |- ( A X. B ) e. _V
45	44	rankbnd 8731	. . . . 5 |- ( A. z e. ( A X. B ) suc ( rank ` z ) C_ ( rank ` ( A u. B ) ) <-> ( rank ` ( A X. B ) ) C_ ( rank ` ( A u. B ) ) )
46	43, 45	bitr3i 266	. . . 4 |- ( A. x e. A A. y e. B suc ( rank ` <. x , y >. ) C_ ( rank ` ( A u. B ) ) <-> ( rank ` ( A X. B ) ) C_ ( rank ` ( A u. B ) ) )
47	38, 46	sylib 208	. . 3 |- ( Lim ( rank ` ( A u. B ) ) -> ( rank ` ( A X. B ) ) C_ ( rank ` ( A u. B ) ) )
48	47	adantr 481	. 2 |- ( ( Lim ( rank ` ( A u. B ) ) /\ ( A X. B ) =/= (/) ) -> ( rank ` ( A X. B ) ) C_ ( rank ` ( A u. B ) ) )
49	19, 21	rankxpl 8738	. . 3 |- ( ( A X. B ) =/= (/) -> ( rank ` ( A u. B ) ) C_ ( rank ` ( A X. B ) ) )
50	49	adantl 482	. 2 |- ( ( Lim ( rank ` ( A u. B ) ) /\ ( A X. B ) =/= (/) ) -> ( rank ` ( A u. B ) ) C_ ( rank ` ( A X. B ) ) )
51	48, 50	eqssd 3620	1 |- ( ( Lim ( rank ` ( A u. B ) ) /\ ( A X. B ) =/= (/) ) -> ( rank ` ( A X. B ) ) = ( rank ` ( A u. B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   _Vcvv 3200   u. cun 3572   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {cpr 4179   <.cop 4183   U.cuni 4436   X. cxp 5112   Oncon0 5723   Lim wlim 5724   suc csuc 5725   ` cfv 5888   rankcrnk 8626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-reg 8497  ax-inf2 8538

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-r1 8627  df-rank 8628

This theorem is referenced by:  rankxplim3  8744