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Theorem rankxplim3 8744

Description: The rank of a Cartesian product is a limit ordinal iff its union is. (Contributed by NM, 19-Sep-2006.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
rankxplim.1
rankxplim.2

**Assertion**
Ref	Expression
rankxplim3

Proof of Theorem rankxplim3 Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limuni2 5786	. 2
2		0ellim 5787	. . . 4
3		n0i 3920	. . . 4
4		unieq 4444	. . . . . 6
5		uni0 4465	. . . . . 6
6	4, 5	syl6eq 2672	. . . . 5
7	6	con3i 150	. . . 4
8	2, 3, 7	3syl 18	. . 3
9		rankon 8658	. . . . . . . . . 10
10	9	onsuci 7038	. . . . . . . . 9
11	10	onsuci 7038	. . . . . . . 8
12	11	elexi 3213	. . . . . . 7
13	12	sucid 5804	. . . . . 6
14	11	onsuci 7038	. . . . . . . 8
15		ontri1 5757	. . . . . . . 8 $/\$
16	14, 11, 15	mp2an 708	. . . . . . 7
17	16	con2bii 347	. . . . . 6
18	13, 17	mpbi 220	. . . . 5
19		rankxplim.1	. . . . . . 7
20		rankxplim.2	. . . . . . 7
21	19, 20	rankxpu 8739	. . . . . 6
22		sstr 3611	. . . . . 6 $/\$
23	21, 22	mpan2 707	. . . . 5
24	18, 23	mto 188	. . . 4
25		reeanv 3107	. . . . 5 $/\$ $/\$
26		simprl 794	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
27		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
28		rankuni 8726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
29		rankuni 8726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
30	29	unieqi 4445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
31	28, 30	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
32		df-ne 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
33	19, 20	xpex 6962	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
34	33	rankeq0 8724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
35	34	notbii 310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
36	32, 35	bitr2i 265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
37	8, 36	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
38		unixp 5668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
39	37, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
40	39	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
41	31, 40	syl5reqr 2671	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
42		eqimss 3657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
43	41, 42	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
44	43	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
45	27, 44	eqsstr3d 3640	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
46	45	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
47		limuni 5785	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
48	47	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
49	46, 48	sseqtr4d 3642	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
50		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . 16
51		rankon 8658	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
52	51	onordi 5832	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
53		orduni 6994	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
54	52, 53	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16
55		ordelsuc 7020	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
56	50, 54, 55	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . 15
57	49, 56	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
58		limsuc 7049	. . . . . . . . . . . . . . 15
59	58	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
60	57, 59	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
61	26, 60	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
62		limsuc 7049	. . . . . . . . . . . . 13
63	62	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
64	61, 63	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
65		ordsucelsuc 7022	. . . . . . . . . . . 12
66	54, 65	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11
67	64, 66	sylib 208	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
68		onsucuni2 7034	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
69	51, 68	mpan 706	. . . . . . . . . . 11
70	69	ad2antll 765	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
71	67, 70	eleqtrd 2703	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
72	11, 51	onsucssi 7041	. . . . . . . . 9
73	71, 72	sylib 208	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
74	73	ex 450	. . . . . . 7 $/\$
75	74	a1d 25	. . . . . 6 $/\$ $/\$
76	75	rexlimdvv 3037	. . . . 5 $/\$
77	25, 76	syl5bir 233	. . . 4 $/\$
78	24, 77	mtoi 190	. . 3 $/\$
79		ianor 509	. . . . . 6 $/\$ $\/$
80		un00 4011	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
81		olc 399	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\/$
82	81	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $\/$
83	80, 82	sylbir 225	. . . . . . . . . . . . 13 $\/$
84		xpeq0 5554	. . . . . . . . . . . . 13 $\/$
85	83, 84	sylibr 224	. . . . . . . . . . . 12
86	85	con3i 150	. . . . . . . . . . 11
87	35, 86	sylbir 225	. . . . . . . . . 10
88	19, 20	unex 6956	. . . . . . . . . . . 12
89	88	rankeq0 8724	. . . . . . . . . . 11
90	89	notbii 310	. . . . . . . . . 10
91	87, 90	sylib 208	. . . . . . . . 9
92	9	onordi 5832	. . . . . . . . . . 11
93		ordzsl 7045	. . . . . . . . . . 11 $\/$ $\/$
94	92, 93	mpbi 220	. . . . . . . . . 10 $\/$ $\/$
95	94	3ori 1388	. . . . . . . . 9 $/\$
96	91, 95	sylan 488	. . . . . . . 8 $/\$
97	96	ex 450	. . . . . . 7
98		ordzsl 7045	. . . . . . . . . 10 $\/$ $\/$
99	52, 98	mpbi 220	. . . . . . . . 9 $\/$ $\/$
100	99	3ori 1388	. . . . . . . 8 $/\$
101	100	ex 450	. . . . . . 7
102	97, 101	orim12d 883	. . . . . 6 $\/$ $\/$
103	79, 102	syl5bi 232	. . . . 5 $/\$ $\/$
104	103	imp 445	. . . 4 $/\$ $/\$ $\/$
105		simpl 473	. . . . . . . 8 $/\$
106	34	necon3abii 2840	. . . . . . . . . 10
107	19, 20	rankxplim 8742	. . . . . . . . . 10 $/\$
108	106, 107	sylan2br 493	. . . . . . . . 9 $/\$
109		limeq 5735	. . . . . . . . 9
110	108, 109	syl 17	. . . . . . . 8 $/\$
111	105, 110	mpbird 247	. . . . . . 7 $/\$
112	111	expcom 451	. . . . . 6
113		idd 24	. . . . . 6
114	112, 113	jaod 395	. . . . 5 $\/$
115	114	adantr 481	. . . 4 $/\$ $/\$ $\/$
116	104, 115	mpd 15	. . 3 $/\$ $/\$
117	8, 78, 116	syl2anc 693	. 2
118	1, 117	impbii 199	1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $\/$ wo 383 $/\$ wa 384 $\/$ w3o 1036

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794

wrex 2913

cvv 3200

cun 3572

wss 3574

c0 3915

cuni 4436

cxp 5112

word 5722

con0 5723

wlim 5724

csuc 5725

cfv 5888

crnk 8626

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-reg 8497 ax-inf2 8538

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-om 7066 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-r1 8627 df-rank 8628

This theorem is referenced by: rankxpsuc 8745

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