Theorem ressascl 19344

Description: The injection of scalars is invariant between subalgebras and superalgebras. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressascl.a	|- A = (algSc ` W )
ressascl.x	|- X = ( W ↾s S )

Assertion

Ref	Expression
ressascl	|- ( S e. (SubRing ` W ) -> A = (algSc ` X ) )

Proof of Theorem ressascl

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressascl.x	. . . . 5 |- X = ( W ↾s S )
2		eqid 2622	. . . . 5 |- (Scalar ` W ) = (Scalar ` W )
3	1, 2	resssca 16031	. . . 4 |- ( S e. (SubRing ` W ) -> (Scalar ` W ) = (Scalar ` X ) )
4	3	fveq2d 6195	. . 3 |- ( S e. (SubRing ` W ) -> ( Base ` (Scalar ` W ) ) = ( Base ` (Scalar ` X ) ) )
5		eqid 2622	. . . . 5 |- ( .s ` W ) = ( .s ` W )
6	1, 5	ressvsca 16032	. . . 4 |- ( S e. (SubRing ` W ) -> ( .s ` W ) = ( .s ` X ) )
7		eqidd 2623	. . . 4 |- ( S e. (SubRing ` W ) -> x = x )
8		eqid 2622	. . . . 5 |- ( 1r ` W ) = ( 1r ` W )
9	1, 8	subrg1 18790	. . . 4 |- ( S e. (SubRing ` W ) -> ( 1r ` W ) = ( 1r ` X ) )
10	6, 7, 9	oveq123d 6671	. . 3 |- ( S e. (SubRing ` W ) -> ( x ( .s ` W ) ( 1r ` W ) ) = ( x ( .s ` X ) ( 1r ` X ) ) )
11	4, 10	mpteq12dv 4733	. 2 |- ( S e. (SubRing ` W ) -> ( x e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) |-> ( x ( .s ` W ) ( 1r ` W ) ) ) = ( x e. ( Base ` (Scalar ` X ) ) |-> ( x ( .s ` X ) ( 1r ` X ) ) ) )
12		ressascl.a	. . 3 |- A = (algSc ` W )
13		eqid 2622	. . 3 |- ( Base ` (Scalar ` W ) ) = ( Base ` (Scalar ` W ) )
14	12, 2, 13, 5, 8	asclfval 19334	. 2 |- A = ( x e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) |-> ( x ( .s ` W ) ( 1r ` W ) ) )
15		eqid 2622	. . 3 |- (algSc ` X ) = (algSc ` X )
16		eqid 2622	. . 3 |- (Scalar ` X ) = (Scalar ` X )
17		eqid 2622	. . 3 |- ( Base ` (Scalar ` X ) ) = ( Base ` (Scalar ` X ) )
18		eqid 2622	. . 3 |- ( .s ` X ) = ( .s ` X )
19		eqid 2622	. . 3 |- ( 1r ` X ) = ( 1r ` X )
20	15, 16, 17, 18, 19	asclfval 19334	. 2 |- (algSc ` X ) = ( x e. ( Base ` (Scalar ` X ) ) |-> ( x ( .s ` X ) ( 1r ` X ) ) )
21	11, 14, 20	3eqtr4g 2681	1 |- ( S e. (SubRing ` W ) -> A = (algSc ` X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   ↾_s cress 15858  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   1rcur 18501  SubRingcsubrg 18776  algSccascl 19311

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-subg 17591  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-subrg 18778  df-ascl 19314

This theorem is referenced by:  evlseu  19516